csp信奥赛C++高频考点专项训练之贪心算法 --【部分背包问题】：部分背包问题

#### 题目描述

阿里巴巴走进了装满宝藏的藏宝洞。藏宝洞里面有 N ( N ≤ 100 ) N(N \le 100) N(N≤100) 堆金币，第 i i i 堆金币的总重量和总价值分别是 m i , v i ( 1 ≤ m i , v i ≤ 100 ) m_i,v_i(1\le m_i,v_i \le 100) mi,vi(1≤mi,vi≤100)。阿里巴巴有一个承重量为 T ( T ≤ 1000 ) T(T \le 1000) T(T≤1000) 的背包，但并不一定有办法将全部的金币都装进去。他想装走尽可能多价值的金币。所有金币都可以随意分割，分割完的金币重量价值比（也就是单位价格）不变。请问阿里巴巴最多可以拿走多少价值的金币？

输入格式

第一行两个整数 N , T N,T N,T。

接下来 N N N 行，每行两个整数 m i , v i m_i,v_i mi,vi。

输出格式

一个实数表示答案，输出两位小数。

输入输出样例 1

输入 1

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输出 1

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240.00

思路分析

这是一个典型的部分背包问题 （也称为分数背包问题）。与 0/1 背包不同，金币可以任意分割，因此最优策略是优先选择单位价值（价值/重量）最高的金币堆，直到背包装满。

具体步骤：

计算每堆金币的单位价值 avg = v / m。
将所有金币堆按 avg 降序排序。
遍历排序后的金币堆：
- 如果当前堆可以全部装入，则全部拿走，背包容量减少，总价值增加。
- 否则，只装入剩余容量所能容纳的部分（按比例计算价值），然后结束。
输出总价值，保留两位小数。

时间复杂度：排序 O(N log N)，遍历 O(N)，满足 N ≤ 100 的约束。

代码实现

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;

struct node {  
    double m, v, avg;   // 重量、总价值、单位价值
} a[110];  

bool cmp(node x, node y) {  
    return x.avg > y.avg; // 按单位价值降序排序
}

int main() {
    int n, t; // n:堆数, t:背包容量
    cin >> n >> t;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i].m >> a[i].v;
        a[i].avg = a[i].v / a[i].m; // 计算单位价值
    }
    sort(a + 1, a + n + 1, cmp);  // 贪心排序

    double ans = 0; // 记录最大价值
    for (int i = 1; i <= n && t > 0; i++) {
        if (t >= a[i].m) { // 能全部装下
            ans += a[i].v;
            t -= a[i].m;
        } else { // 只能装部分
            ans += t * a[i].avg; // 按比例计算价值
            t = 0;// 背包已满
        }
    }
    printf("%.2lf\n", ans); // 输出两位小数
    return 0;
}

功能分析

输入处理 ：读取金币堆数 n 和背包容量 t，再依次读取每堆的重量 m 和价值 v。
单位价值计算 ：avg = v / m，用于贪心决策。
排序：按单位价值从高到低排列，确保优先取"性价比"最高的金币。
贪心装载 ：
- 若当前堆能完全装入，则全部拿走。
- 否则只取剩余容量对应的部分（重量 × 单位价值），背包随即装满。
输出：使用 printf 格式化输出两位小数的最大价值。

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cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	cout<<"##########  一站式掌握信奥赛知识!  ##########";
	cout<<"#############  冲刺信奥赛拿奖!  #############";
	cout<<"######  课程购买后永久学习，不受限制!   ######";
	return 0;
}

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	cout<<"跟着王老师一起学习信奥赛C++";
	cout<<"    成就更好的自己！       ";
	cout<<"  csp信奥赛一等奖属于你!   ";
	return 0;
}