P2249 【深基13.例1】查找

记录112

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int a[N];
int n,m,q;
int f_first(int x){//找到第一个下标(二分查找修改版) 
	int l=1,r=n;//左右边界 
	int pos=-1;//返回下标位置 
	while(l<=r){//满足查找 
		int mid=(l+r)/2;//中间值 
		if(a[mid]==x){//找到了 
			pos=mid;//记录下标 
			r=mid-1;//缩小右边界(找第一个下标) 
		}else if(a[mid]>x) r=mid-1;//缩小有边界 
		else l=mid+1;//缩小左边界 
	}
	return pos;//返回下标 
} 
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=m;i++){
		cin>>q;
		cout<<f_first(q)<<" ";
	}
	return 0;//结束程序 
}

前言

我是一名专注信奥赛（CSP-J/S、NOIP）的教练。

如果你觉得这篇题解对你有帮助，欢迎点击关注我的CSDN账号，我会持续更新高质量算法解析。

我深知算法思维的构建远比单纯通过题目更重要，本系列题解不局限于AC代码的堆砌，而是致力于拆解题目背后的逻辑链条与核心知识点

备赛路上若遇瓶颈，欢迎随时评论或私信，我将甄选典型疑难问题，通过视频讲解或撰写专项文章的形式，为你提供深度答疑。

题目传送门https://www.luogu.com.cn/problem/P2249

突破口

输入 n 个不超过 10的9次方的单调不减的（就是后面的数字不小于前面的数字）非负整数 a1,a2,...,an，然后进行 m 次询问。对于每次询问，给出一个整数 q，要求输出这个数字在序列中第一次出现的编号，如果没有找到的话输出 −1 。

🔍 一、题目本质与核心要求

🎯 问题重述

给定一个 长度为 n 的非负整数序列 a[1..n]
序列满足：单调不减 （即 a[i] ≤ a[i+1]）
进行 m 次查询，每次给一个整数 q
要求：输出 q 在序列中第一次出现的下标（从 1 开始）
若未出现，输出 -1

✅ 关键词提炼：

有序数组 → 可用二分查找

第一次出现 → 需要"左边界"二分

多次查询 → 每次 O(log n) 比 O(n) 快得多

数据量大（n ≤ 1e6, m ≤ 1e5）→ 必须用高效算法

📌 样例解析（输入 #1）

cpp 复制代码

n=11, m=3
a = [1, 3, 3, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 15]
queries: q = 1, 3, 6

q=1：首次出现在位置 1
q=3：首次出现在位置 2（不是 3 或 4！）
q=6：不存在 → -1

输出：1 2 -1

🧠 二、核心知识点拆解

1. 为什么能用二分？

因为数组 单调不减（sorted non-decreasing）
二分查找的前提是 有序性

2. 普通二分 vs "找第一个出现位置"

普通二分：找到任意一个等于 x 的位置即可
本题要求：最左边的等于 x 的位置
解法：在找到 a[mid] == x 后，不立即返回，而是继续向左搜索

💡 这称为 "lower_bound"（下界）问题

3. 时间复杂度分析

每次查询：O(log n)
总时间：O(m log n) ≈ 1e5 × log₂(1e6) ≈ 1e5 × 20 = 2e6 操作 ✅ 可接受
若暴力扫描：O(m × n) ≈ 1e11 ❌ 超时

4. 边界处理

数组下标从 1 开始（题目要求输出从 1 编号）
二分初始：l = 1, r = n
未找到时返回 -1

代码分析

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int a[N]; // 存储序列，下标从1开始
int n, m, q;

N = 1e6 + 10：略大于最大 n（1e6），防越界
全局变量自动初始化为 0

cpp 复制代码

int f_first(int x) { // 找 x 第一次出现的位置（1-based）
    int l = 1, r = n;   // 搜索区间 [1, n]
    int pos = -1;       // 默认未找到

cpp 复制代码

    while (l <= r) {
        int mid = (l + r) / 2; // 中点（注意：此处无溢出风险，因 n ≤ 1e6）

标准二分循环条件：l <= r

cpp 复制代码

        if (a[mid] == x) {
            pos = mid;     // 记录当前位置
            r = mid - 1;   // 继续向左找更早的出现位置！
        }

🔥 这是本题最关键的逻辑！

即使找到了 x，也不能停

必须尝试在 [l, mid-1] 中找更靠左的 x

cpp 复制代码

        else if (a[mid] > x) 
            r = mid - 1;   // x 在左半部分
        else 
            l = mid + 1;   // a[mid] < x，x 在右半部分
    }
    return pos; // 若从未找到，pos 保持 -1
}

cpp 复制代码

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        cin >> a[i]; // 读入序列，1-based

cpp 复制代码

    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        cin >> q;
        cout << f_first(q) << " ";
    }
    return 0;
}

潜在优化与注意事项

问题	说明
IO 速度	题目提示"输入输出量较大"，建议加 `ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);` 但原代码未加，可能在极限数据下 TLE
mid 计算	`(l + r) / 2` 在 n ≤ 1e6 时安全（l+r ≤ 2e6 < 2³¹）
返回值	正确处理了"未找到"情况（`pos` 初始为 -1）
下标一致性	全程使用 1-based，与题目要求一致

✅ 建议优化 IO（虽原代码没写，但实际竞赛应加上）：

cpp 复制代码

ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);

与其他方法对比

方法	时间复杂度	是否可行
暴力线性扫描	O(m × n) ≈ 1e11	❌ 超时
哈希表预处理	O(n + m)，但无法保证"第一次出现"顺序	❌ 错误（哈希存的是任意位置）
二分查找（左边界）	O(m log n) ≈ 2e6	✅ 正确高效