P1873 [COCI 2011/2012 #5] EKO / 砍树

记录114

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
long long a[N];
int main(){
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	//sort(a+1,a+n+1);
	int L=1,R=4e5,mid=0;//二分答案，mid当作可能的结果带入 
	long long sum=0,ans=0;//sum注意数据范围 
	while(L<=R){
		sum=0;
		mid=(L+R)/2;
		for(int i=1;i<=n;i++){//存每棵树的多余高度 
			if(a[i]-mid>0) sum+=a[i]-mid;
		}
		if(sum>=m){//长度至少m,总和>=m 
			ans=mid;//存符合条件的值，然后更新 
			L=mid+1;
		}  
		else R=mid-1;
	}
	cout<<ans;//输出 
	return 0;//结束程序 
}

前言

我是一名专注信奥赛（CSP-J/S、NOIP）的教练。

如果你觉得这篇题解对你有帮助，欢迎点击关注我的CSDN账号，我会持续更新高质量算法解析。

我深知算法思维的构建远比单纯通过题目更重要，本系列题解不局限于AC代码的堆砌，而是致力于拆解题目背后的逻辑链条与核心知识点

备赛路上若遇瓶颈，欢迎随时评论或私信，我将甄选典型疑难问题，通过视频讲解或撰写专项文章的形式，为你提供深度答疑。

题目传送门https://www.luogu.com.cn/problem/P1873

突破口

伐木工人 Mirko 需要砍 M 米长的木材。对 Mirko 来说这是很简单的工作，因为他有一个漂亮的新伐木机，可以如野火一般砍伐森林。不过，Mirko 只被允许砍伐一排树。

Mirko 的伐木机工作流程如下：Mirko 设置一个高度参数 H（米），伐木机升起一个巨大的锯片到高度 H，并锯掉所有树比 H 高的部分（当然，树木不高于 H 米的部分保持不变）。Mirko 就得到树木被锯下的部分。例如，如果一排树的高度分别为 20,15,10 和 17，Mirko 把锯片升到 15 米的高度，切割后树木剩下的高度将是 15,15,10 和 15，而 Mirko 将从第 1 棵树得到 5 米，从第 4 棵树得到 2 米，共得到 7 米木材。

Mirko 非常关注生态保护，所以他不会砍掉过多的木材。这也是他尽可能高地设定伐木机锯片的原因。请帮助 Mirko 找到伐木机锯片的最大的整数高度 H，使得他能得到的木材至少为 M 米。换句话说，如果再升高 1 米，他将得不到 M 米木材。

🔍 一、题目本质与目标

🎯 问题重述

有 N 棵树，高度为 a[1..N]
设置一个锯片高度 H
对每棵树：若 a[i] > H，则获得 a[i] - H 米木材；否则获得 0
目标：找到最大的整数 H ，使得 总木材 ≥ M

✅ 关键词：

"最大 H" → 最优化目标

"至少 M 米" → 约束条件

"再升高 1 米就不够 " → H 是满足条件的上界

📌 样例解析（输入 #1）

cpp 复制代码

树高：20, 15, 10, 17
M = 7

H = 15 → 得到 (20-15)+(17-15) = 5+2 = 7 ✅
H = 16 → (20-16)+(17-16) = 4+1 = 5 < 7 ❌
所以最大 H = 15

🧠 二、核心思路：二分答案（Binary Search on Answer）

为什么能用二分？

观察 H 与总木材量 sum(H) 的关系：

H 越大 → 锯得越少 → sum(H) 单调不增
H 越小 → 锯得越多 → sum(H) 单调不减

💡 单调性是二分搜索的前提！

我们要找：最大的 H，使得 sum(H) ≥ M

这正是典型的 "二分答案" 问题。

二分策略

搜索空间 ：H ∈ [0, max_height]
（题目中树高 ≤ 4e5，但代码用了 R=1e9，更保险）
判断函数 ：给定 H，计算 sum = Σ max(0, a[i] - H)
调整方向 ：
- 若 sum ≥ M → H 可能还能更高 → L = mid + 1
- 否则 → H 太高了 → R = mid - 1

✅ 最终答案记录在 ans 中（每次满足条件时更新）

代码分析

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
long long a[N]; // 存储树高，注意：虽然树高 ≤4e5，但用 long long 无妨

cpp 复制代码

int main(){
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        cin >> a[i];

读入数据，1-based 存储

cpp 复制代码

    int L = 1, R = 4e5, mid = 0; // 二分边界
    long long sum = 0, ans = 0;   // sum 必须 long long！

⚠️ 关键细节：

R = 4e5：虽然树高 ≤ 4e5，但设大一点无妨（安全）
sum 类型为 long long：因为 M 可达 2e9，且每棵树最多贡献 4e5，N=1e6 → 最大 sum ≈ 4e11，必须用 long long！
ans = 0：初始化答案

cpp 复制代码

    while(L <= R){
        sum = 0;
        mid = (L + R) / 2; // 当前尝试的高度 H = mid

cpp 复制代码

        for(int i = 1; i <= n; i++){
            if(a[i] - mid > 0) 
                sum += a[i] - mid;
        }

计算在高度 mid 下能获得的总木材量
等价于：sum += max(0LL, a[i] - mid);

cpp 复制代码

        if(sum >= m){ // 满足"至少 M 米"
            ans = mid;   // 记录当前可行解
            L = mid + 1; // 尝试更高的 H（更优解）
        }  
        else 
            R = mid - 1; // H 太高，降低
    }

🔥 这是二分答案的核心逻辑！

我们要最大化 H ，所以当 sum ≥ M 时，不 return，而是继续尝试更大的 H

最终 ans 保存的是最后一个满足条件的 H

cpp 复制代码

    cout << ans;
    return 0;
}

⚠️ 四、关键问题与优化建议

问题	说明
二分下界	`L = 1` 不够严谨，应设 `L = 0`（H 可为 0）但题目保证"总和 > M"，且树高 ≥1，所以 H=0 总能满足，不影响答案
mid 溢出	`(L+R)/2` 在 L,R ≤1e9 时安全（和 ≤2e9 < 2^31）
时间复杂度	O(log(maxH) × N) ≈ log₂(1e9) × 1e6 ≈ 30 × 1e6 = 3e7，C++ 可接受

与其他方法对比

方法	可行性	缺点
暴力枚举 H	❌ 不可行（H 可达 4e5，N=1e6 → 4e11 操作）
二分答案 + 暴力求和	✅ 本题解法，O(N log maxH)
二分 + 前缀和优化	✅ 可进一步优化到 O(N log N + log maxH × log N) （排序后用 upper_bound 找分界点，再用前缀和快速计算）

💡 前缀和优化思路（供拓展）：

排序数组

预处理前缀和 pre[i] = a[1]+...+a[i]

对给定 H，用 upper_bound 找第一个 > H 的位置 pos

则 sum = (pre[n] - pre[pos-1]) - H × (n - pos + 1)

这样每次 check 为 O(log N)，总复杂度 O(N log N)

但本题 N=1e6，O(30×1e6)=3e7 已足够，无需复杂优化。