题目是实现一个函数 pow(x, n)，计算 xnx^nxn。约束里 n 可以到 ±231−1\pm 2^{31}-1±231−1，如果用最朴素的「循环 n 次相乘」，时间复杂度是 O(∣n∣)O(|n|)O(∣n∣)，在这个范围明显不可接受。leetcode
这篇就从「最直观的数学思路」开始，一步步推到快速幂，让你真的明白为什么是 O(logn)O(\log n)O(logn)。
朴素做法：按定义来，O(n)
最直观的定义是：
xn=x⋅x⋅x⋯x⏟n 个x^n = \underbrace{x \cdot x \cdot x \cdots x}_{n\ \text{个}}xn=n 个x⋅x⋅x⋯x
实现思路：
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准备一个 result，从 1 开始。
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循环 n 次，每次乘上一个 x。
这个做法的特点：
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思路简单，完全符合直觉。
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时间复杂度是 O(∣n∣)O(|n|)O(∣n∣)。当 ∣n∣|n|∣n∣ 接近 10910^9109 时，完全跑不动。leetcode
所以我们需要换一个角度看「幂」，而不是一口一口「吃 x」。
换个视角：把 n 拆成若干个 2 的幂
关键想法不是「乘 n 个 x」，而是「用几块大积木拼出 xnx^nxn」。
积木的规格只有这些：
x1, x2, x4, x8, x16, x32, ...x^1,\ x^2,\ x^4,\ x^8,\ x^{16},\ x^{32},\ \dotsx1, x2, x4, x8, x16, x32, ...
也就是所有 x2kx^{2^k}x2k 这种形式。
数学上的事实：
任何正整数 n，都可以唯一写成若干个不同的 2 的幂之和。
例如：
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13=8+4+113 = 8 + 4 + 113=8+4+1
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10=8+210 = 8 + 210=8+2
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7=4+2+17 = 4 + 2 + 17=4+2+1
于是：
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x13=x8+4+1=x8⋅x4⋅x1x^{13} = x^{8+4+1} = x^8 \cdot x^4 \cdot x^1x13=x8+4+1=x8⋅x4⋅x1
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x10=x8+2=x8⋅x2x^{10} = x^{8+2} = x^8 \cdot x^2x10=x8+2=x8⋅x2
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x7=x4+2+1=x4⋅x2⋅x1x^7 = x^{4+2+1} = x^4 \cdot x^2 \cdot x^1x7=x4+2+1=x4⋅x2⋅x1
这就是快速幂的核心：只要我能高效拿到这些「规格为 2k2^k2k 的幂积木」，再选对几块乘起来，就能得到 xnx^nxn。
base 和 result：谁负责什么？
快速幂里有两个核心变量：
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base：当前这一轮代表的「幂积木」。
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result：到目前为止已经选中的那些积木的乘积，也就是部分结果。
职责分工：
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base 从 x1x^1x1 开始，每一轮变为自己的平方：
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第 1 轮：base = x1x^1x1
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第 2 轮：base = x2x^2x2
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第 3 轮：base = x4x^4x4
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第 4 轮：base = x8x^8x8
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...
第 k 轮的 base 是 x2k−1x^{2^{k-1}}x2k−1。
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result 一开始是 1（什么都没选）。
在某一轮，如果当前这块积木是「需要的」，就做：
result∗=base\text{result} \mathrel{*}= \text{base}result∗=base
否则就跳过。
可以用一句话记住这点：
base 在「生产积木」，result 在「选择积木」。
base 可以每轮平方，result 不能每轮随便平方。
只要这句不忘，就不会写出错误的实现。
怎么知道当前这块积木要不要选？
引入一个变量 e 表示「还没处理完的指数」，一开始 e = |n|。
每一轮做三件事：
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看 e 是否为奇数：
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如果 e 是奇数，说明目前的指数里有一块「单独的 1 次幂」需要用，这一块恰好对应当前 base：
- result *= base
-
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把能成对的部分合并：
- base *= base（利用 x2k=(xk)2x^{2k} = (x^k)^2x2k=(xk)2，把成对的幂打包成新的积木）
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减少还没处理的指数：
- e /= 2（向下取整，相当于把已经处理完的这一位丢掉）
循环到 e 变成 0 为止，所有需要的积木都已经选完，result 就是 x∣n∣x^{|n|}x∣n∣。
用 x13x^{13}x13 走一遍
以 n = 13 为例，13 的分解是 13=8+4+113 = 8 + 4 + 113=8+4+1，我们应该选的积木是 x1,x4,x8x^1, x^4, x^8x1,x4,x8。
初始化：
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base = x
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result = 1
-
e = 13
按轮数走：
| 轮次 | e 进入时 | e 奇偶 | base 进入时 | 操作 | result 出来时 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 13 | 奇数 | x1x^1x1 | result = base | x1x^1x1 |
| base = base² = x2x^2x2 | |||||
| e = 13 / 2 = 6 | |||||
| 2 | 6 | 偶数 | x2x^2x2 | 跳过 result | x1x^1x1 |
| base = x4x^4x4 | |||||
| e = 6 / 2 = 3 | |||||
| 3 | 3 | 奇数 | x4x^4x4 | result = base | x5x^5x5 |
| base = x8x^8x8 | |||||
| e = 3 / 2 = 1 | |||||
| 4 | 1 | 奇数 | x8x^8x8 | result = base | x13x^{13}x13 |
| base = x16x^{16}x16 | |||||
| e = 1 / 2 = 0 |
可以看到：
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用到的 base 是 x1,x4,x8x^1, x^4, x^8x1,x4,x8，刚好对应 13=1+4+813 = 1 + 4 + 813=1+4+8。
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一共 4 轮，复杂度是 O(log13)O(\log 13)O(log13)。
为什么不能"每轮都乘一次 base"？
假设循环了 k 轮，base 依次是：
x1,x2,x4,x8,...,x2k−1x^1, x^2, x^4, x^8, \dots, x^{2^{k-1}}x1,x2,x4,x8,...,x2k−1
如果你每一轮都做 result *= base，那 result 会变成：
x1+2+4+⋯+2k−1=x2k−1x^{1+2+4+\dots+2^{k-1}} = x^{2^k - 1}x1+2+4+⋯+2k−1=x2k−1
问题：
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指数固定是 2k−12^k - 12k−1，只能算出 1, 3, 7, 15, 31...，不能覆盖一般的 n。
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完全没用上「n 的具体值」，只看了循环跑了几轮。
所以在快速幂的框架里：
"每轮都更新 result" 在数学上就是错的，等于把所有积木都拿了，而正确做法是像凑钱一样，只拿能刚好拼出 n 的那几张硬币。
负指数和边界情况
完整实现里还要处理两个细节。
1. 负指数
如果 n < 0，可以先计算 x−∣n∣x^{-|n|}x−∣n∣，最后取倒数：
xn=x−∣n∣=1x∣n∣x^n = x^{-|n|} = \frac{1}{x^{|n|}}xn=x−∣n∣=x∣n∣1
实现上的常见处理：
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记录
isNegative = (n < 0)。 -
用 64 位整型保存 absN，避免最小 32 位整数取反溢出。
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循环里只处理非负指数 absN，最后如果 isNegative 为真，返回 1 / result。leetcode
2. n = 0
任何非 0 数的 0 次幂是 1，直接返回 1 即可。leetcode
算法小结
快速幂可以用一句话总结：
用 base 依次生成 x1,x2,x4,x8,...x^1, x^2, x^4, x^8, ...x1,x2,x4,x8,... 这些「2 的幂次积木」，用 result 按照指数 n 的拆分结果，挑出其中若干块相乘；每一轮都把指数缩小一半，所以整体复杂度是 O(log∣n∣)O(\log |n|)O(log∣n∣)。leetcode
更程序化地描述就是：
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处理 n = 0，直接返回 1。
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如果 n < 0，先把 n 变为正数，记住最后要取倒数。
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初始化：
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result = 1
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base = x
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e = |n|
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当 e > 0：
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如果 e 是奇数，result *= base
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base *= base
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e /= 2
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如果原来的 n 为负，返回 1 / result，否则返回 result。leetcode
理解了「积木」和「硬币凑钱」这两个类比之后，快速幂就不再是一个需要死记硬背的模板，而是一个非常自然的数学过程。