csp信奥赛C++高频考点专项训练之贪心算法 --【反悔贪心】：种树

题目描述

cyrcyr 今天在种树，他在一条直线上挖了 n n n 个坑。这 n n n 个坑都可以种树，但为了保证每一棵树都有充足的养料，cyrcyr 不会在相邻的两个坑中种树。而且由于 cyrcyr 的树种不够，他至多会种 k k k 棵树。假设 cyrcyr 有某种神能力，能预知自己在某个坑种树的获利会是多少（可能为负），请你帮助他计算出他的最大获利。

输入格式

第一行，两个正整数 n , k n,k n,k。

第二行， n n n 个整数，第 i i i 个数表示在直线上从左往右数第 i i i 个坑种树的获利。

输出格式

输出一个数，表示 cyrcyr 种树的最大获利。

输入输出样例 1

输入 1

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6 3 
100 1 -1 100 1 -1

输出 1

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说明/提示

对于 20 % 20\% 20% 的数据， n ≤ 20 n\leq 20 n≤20。

对于 50 % 50\% 50% 的数据， n ≤ 6000 n\leq 6000 n≤6000。

对于 100 % 100\% 100% 的数据， 1 ≤ n ≤ 300000 1 \le n\leq 300000 1≤n≤300000， 1 ≤ k ≤ n 2 1 \le k\leq \dfrac{n}{2} 1≤k≤2n，在一个地方种树获利的绝对值在 10 6 10^6 106 以内。

思路分析

题目大意：有 n 个坑位（编号1到n），每个坑位种树有美观度 a[i]。不能选择相邻的两个坑位（即选了i就不能选i-1和i+1），总共要选 k 个坑位，求最大总美观度。

核心思路 ：

这道题如果直接贪心每次选最大的，可能会遇到问题：选了最大的，它的左右两边就不能选了，但可能"选左边+右边"比"选中间"更优。反悔贪心可以解决这个问题。

数据结构准备：
- 用大根堆存储每个坑位的（美观度, 位置），堆顶是当前可选的最大值。
- 用双向链表维护每个坑位的前驱 l[i] 和后继 r[i]，方便删除操作。
- 增加一个数组 vis 标记某个坑位是否已被删除（不可选）。
反悔机制设计 ：

当我们选中一个坑位 x 时，不能简单地把 x 删掉就完事。我们需要给未来的反悔留一个机会。
- 如果直接选了 x，那么 x 的左右邻居 l[x] 和 r[x] 被标记为不可选。
- 但将来可能会发现，不选 x，而是选 l[x] + r[x] 更优。
- 所以，当我们选中 x 时，我们不删除 x，而是修改 x 的值 为：a[l[x]] + a[r[x]] - a[x]，然后把修改后的 x 重新入堆。
- 这个新值代表什么？将来如果选中这个修改后的 x，就相当于放弃了之前选的 x，转而选择它的左右两个（相当于用两个替换一个，净收益是 a[l[x]] + a[r[x]] - a[x]）。这就是反悔机制。
具体步骤：
- 初始化链表：l[i] = i-1, r[i] = i+1。
- 将所有坑位入大根堆。
- 循环 k 次（每次选一个坑）：
  - 取出堆顶 (val, id)，如果该位置已被删除，则跳过。
  - 如果当前 val <= 0，继续选只会减少总和，直接结束。
  - 累加答案 ans += val。
  - 记录左右邻居 L = l[id], R = r[id]。
  - 将左右邻居标记为删除（因为它们被选了，不能再用）。
  - 更新当前坑位的美观度为 a[L] + a[R] - a[id]，存入 a[id]。
  - 更新链表：l[id] = l[L], r[id] = r[R]，同时修改前后节点的链接。
  - 将更新后的 id 重新入堆（提供反悔机会）。
为什么正确 ：

通过这种"选一个加两个"的转换，我们实际上是在维护一个可反悔的决策序列。每次选的都是当前最优的"决策块"，这个块可以是一个单独坑位，也可以是"左右+中间"的组合。通过堆和链表，我们始终能保证在选了 k 个不相邻坑位的前提下，总美观度最大。

代码实现

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long

const int N = 500010;
ll a[N]; // 美观度
int l[N], r[N]; // 双向链表
bool vis[N]; // 是否已被删除
struct T {
    ll v; // 美观度
    int i; // 位置
    bool operator < (const T& t) const {
        return v < t.v; // 大根堆
    }
};
priority_queue<T> q;

int main() {
    int n, k;
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%lld", &a[i]);
        l[i] = i - 1; // 前驱
        r[i] = i + 1; // 后继
        q.push({a[i], i});
    }
    
    ll ans = 0;
    while (k--) {
        // 取出堆顶有效元素
        while (vis[q.top().i]) q.pop();
        T t = q.top(); q.pop();
        
        // 如果当前最大值<=0，后续只会减少，直接结束
        if (t.v <= 0) break;
        
        ans += t.v;
        int x = t.i;
        int L = l[x], R = r[x];
        
        // 标记左右节点为删除
        vis[L] = vis[R] = 1;
        
        // 更新当前节点的美观度为"反悔值"
        a[x] = a[L] + a[R] - a[x];
        q.push({a[x], x});
        
        // 更新链表：跳过L和R
        l[x] = l[L];
        r[x] = r[R];
        if (l[x] >= 1) r[l[x]] = x;
        if (r[x] <= n) l[r[x]] = x;
    }
    
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}

功能分析

数据结构：
- 大根堆 q：存放 (美观度, 位置)，快速获取当前可选的最大值。
- 数组 l[], r[]：双向链表，维护坑位的前后关系，支持 O(1) 删除。
- 数组 vis[]：标记某个坑位是否已被删除（即被选中作为左右邻居），不可再选。
- 数组 a[]：动态更新，当选中一个坑位后，它的值变为"反悔值"，代表将来可以反悔的选择。
核心逻辑：
- 选坑：每次选堆顶最大值的坑位 x。
- 反悔准备：把 x 的左右邻居 L、R 标记为删除（因为它们被 x 占了）。
- 反悔值 ：把 x 的值更新为 a[L] + a[R] - a[x]，并重新入堆。这个值的意思是：如果以后选这个更新后的 x，就相当于"撤销选 x，改选 L 和 R"，净收益就是 a[L] + a[R] - a[x]。
- 链表维护：更新链表，让 x 直接跳过 L、R，指向更远的前后节点。
时间复杂度：每个坑位最多入堆、出堆两次（一次原值，一次反悔值），堆操作 O(log n)，总复杂度 O(n log n)，完美通过。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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	cout<<"######  课程购买后永久学习，不受限制!   ######";
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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	cout<<"  csp信奥赛一等奖属于你!   ";
	return 0;
}