csp信奥赛C++高频考点专项训练之贪心算法 --【反悔贪心】：建筑抢修

题目描述

小刚在玩 JSOI 提供的一个称之为"建筑抢修"的电脑游戏：经过了一场激烈的战斗，T 部落消灭了所有 Z 部落的入侵者。但是 T 部落的基地里已经有 N N N 个建筑设施受到了严重的损伤，如果不尽快修复的话，这些建筑设施将会完全毁坏。现在的情况是：T 部落基地里只有一个修理工人，虽然他能瞬间到达任何一个建筑，但是修复每个建筑都需要一定的时间。同时，修理工人修理完一个建筑才能修理下一个建筑，不能同时修理多个建筑。如果某个建筑在一段时间之内没有完全修理完毕，这个建筑就报废了。你的任务是帮小刚合理的制订一个修理顺序，以抢修尽可能多的建筑。

输入格式

第一行，一个整数 N N N。

接下来 N N N 行，每行两个整数 T 1 , T 2 T_1,T_2 T1,T2 描述一个建筑：修理这个建筑需要 T 1 T_1 T1 秒，如果在 T 2 T_2 T2 秒之内还没有修理完成，这个建筑就报废了。

输出格式

输出一个整数 S S S，表示最多可以抢修 S S S 个建筑。

输入输出样例 1

输入 1

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输出 1

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说明/提示

对于 100 % 100 \% 100% 的数据， 1 ≤ N < 150000 1 \le N < 150000 1≤N<150000， 1 ≤ T 1 < T 2 < 2 31 1 \le T_1 < T_2 < 2^{31} 1≤T1<T2<231。

思路分析

1. 题目理解

我们有：

N 个建筑，每个建筑有两个参数：
- T1：修复时间（必须连续占用修理工人）
- T2：截止时间（必须在 T2 之前完成修复）
工人一次只能修一个建筑
修复从 0 时刻开始，按某种顺序修复
目标是修尽可能多的建筑

2. 为什么简单贪心不行？

容易想到的两种贪心策略：

按截止时间 T2 升序排序
- 这符合"尽早完成截止早的任务"的想法
- 但可能因为某个任务耗时很长，导致后面的任务虽然截止晚但也被耽误
按修复时间 T1 升序排序
- 先修耗时短的，可以在有限时间内多完成几个
- 但可能错过一个截止时间早但耗时稍长的任务，导致总数量更少

3. 简单贪心反例

反例一：按截止时间 T2升序排序的贪心

建筑	修复时间 T1	截止时间 T2
1	100	101
2	1	102
3	1	102
...	...	...
101	1	102

共 101 个建筑：1 个耗时 100、截止 101 的建筑，和 100 个耗时 1、截止 102 的建筑。

贪心过程（按 T2升序）：

按 T2升序，建筑 1 最先。修复建筑 1 花费 100 秒，当前时间 = 100。

接着依次尝试修复建筑 2~101：

修复建筑 2：时间 = 101 ≤ 102 ✓，当前时间 = 101
修复建筑 3：时间 = 102 ≤ 102 ✓，当前时间 = 102
修复建筑 4：时间 = 103 > 102 ✗，无法修复
最终只能修复建筑 1、2、3，共 3 个。

最优解：

放弃建筑 1，只修复 100 个耗时 1 的建筑。总耗时 = 100 ≤ 102，共修复 100 个。

贪心结果远小于最优解。

反例二：按修复时间 T1 升序排序的贪心

建筑	T1	T2
1	2	2
2	2	2
3	1	100

贪心过程（按 T1升序）：

排序后顺序为：建筑 3（1,100）、建筑 1（2,2）、建筑 2（2,2）

修建筑 3：耗时 1，当前时间 = 1
尝试修建筑 1：需要时间 2，结束时间 = 3 > 2 ✗
尝试修建筑 2：同样 3 > 2 ✗
结果只能修 1 个建筑。

最优解：

先修建筑 1（2,2）：结束时间 2

再修建筑 3（1,100）：结束时间 3 ≤ 100

共修 2 个建筑（建筑 1 和 3）。

贪心结果（1 个）小于最优解（2 个）。

4. 简单贪心思路总结

上面的两个反例清楚地说明了：

单纯按截止时间贪心，可能被一个耗时很长的早期任务拖累，导致后面大量短任务无法完成。
单纯按修复时间贪心，可能因为优先修了一个耗时短但截止很晚的任务，错过了两个耗时稍长但截止极早的任务。

这也是为什么需要"反悔贪心"------在按截止时间排序的基础上，用最大堆维护已选任务的耗时，当新任务无法加入时，用更短的任务替换掉已选中最耗时的任务，从而在保证截止时间的前提下最大化数量。

反悔贪心思路

思路：

排序：按截止时间 T 2 T_2 T2从小到大排序。这样可以保证我们优先考虑那些时间紧迫的建筑。
贪心选择 ：遍历每个建筑，若当前已用总时间 now加上当前建筑的修理时间 t 1 t_1 t1不超过其截止时间 t 2 t_2 t2，则直接选择修理，将 t 1 t_1 t1加入最大堆（记录已选建筑的修理时间），并更新 n o w now now。
反悔操作 ：若当前建筑无法直接加入（即 n o w + t 1 > t 2 now + t_1 > t_2 now+t1>t2），但堆非空且堆顶（已选建筑中修理时间最长的）大于当前建筑的 t 1 t_1 t1，则用当前建筑替换掉那个耗时最长的建筑。这样操作后，now 减小（减去原最长耗时，加上当前 t 1 t_1 t1），总时间更优，且修理数量不变。这相当于反悔了之前的一个选择，为后续可能更优的建筑腾出时间。
结果：最终堆的大小即为最多能修理的建筑数量。

正确性：

通过反悔操作，我们始终维护一个在已考虑的建筑中，在保证数量最多的前提下，总耗时最小的方案。由于是按截止时间顺序处理，且每次反悔都使总耗时减小，因此最终得到最优解。

代码实现

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 建筑结构体
struct B {
    int t1; // 修理耗时
    int t2; // 截止时间
} a[150005]; 

// 按截止时间排序
bool cmp(B x, B y) {
    return x.t2 < y.t2;
}

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d%d", &a[i].t1, &a[i].t2);
    }
    sort(a + 1, a + n + 1, cmp); // 按截止时间升序

    priority_queue<int> q; // 大根堆，存放已选建筑的修理时间
    long long now = 0;     // 当前已用总时间
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // 如果能直接修当前建筑
        if (now + a[i].t1 <= a[i].t2) {
            now += a[i].t1;
            q.push(a[i].t1);
        } 
        // 不能直接修，考虑反悔：用当前建筑替换一个耗时最长的已修建筑
        else if (!q.empty() && q.top() > a[i].t1) {
            now = now - q.top() + a[i].t1; // 替换后总时间变化
            q.pop();
            q.push(a[i].t1);
        }
    }
    printf("%d\n", q.size()); // 堆的大小即为最多建筑数
    return 0;
}

功能分析

结构体 B ：存储每个建筑的修理时间 t1 和截止时间 t2。
排序 cmp：按截止时间升序排列，确保先考虑时间要求紧的建筑。
大根堆 q：维护已选建筑的修理时间，堆顶是当前已选建筑中耗时最长的。
变量 now：记录当前已选建筑的总修理时间。
主循环 ：
- 情况1 ：若当前建筑可以直接加入（总时间不超过截止时间），则直接加入，更新 now 和堆。
- 情况2：若不能直接加入，但堆顶耗时大于当前建筑耗时，说明用当前建筑替换堆顶建筑可以使总时间减少，且数量不变，故执行反悔操作：减去原堆顶时间，加上当前时间，更新堆。
输出：堆的大小即为能修理的最大建筑数。

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cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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