[简化版 GAMES 101] 计算机图形学 07：图形学投影完全推导

[Bilibili 同步视频](#Bilibili 同步视频)
[0. 前置约定 📌](#0. 前置约定 📌)
[一、正交投影 Orthographic Projection](#一、正交投影 Orthographic Projection)
- [1.1 直观理解](#1.1 直观理解)
- [1.2 变换两步走](#1.2 变换两步走)
[二、透视投影 Perspective Projection](#二、透视投影 Perspective Projection)
- [2.1 核心思路](#2.1 核心思路)
- [2.2 挤压规则](#2.2 挤压规则)
- [2.3 相似三角形推导 XY 变换](#2.3 相似三角形推导 XY 变换)
- - [✍️ 补充：第三行为什么是 [0,0,A,B]](#✍️ 补充：第三行为什么是 [0,0,A,B])
- [2.4 解方程求 A、B](#2.4 解方程求 A、B)
- [2.5 透视→正交矩阵](#2.5 透视→正交矩阵)
- [2.6 完整透视投影矩阵](#2.6 完整透视投影矩阵)
[三、关键结论 💡](#三、关键结论 💡)
[四、经典思考题 🤔](#四、经典思考题 🤔)

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[简化版 GAMES 101] 计算机图形学 07：图形学投影完全推导

在计算机图形学中，投影变换 是连接 3D 世界与 2D 屏幕的唯一桥梁✨。正交投影（Orthographic）与透视投影（Perspective）是所有渲染、相机、视图系统的底层根基。本文严格依照经典图形学推导，完整复现矩阵由来，不跳步、不省略，带你一次吃透两种投影的数学本质。

0. 前置约定 📌

相机位于原点 (0,0,0)
看向 -Z 方向
向上为 +Y 方向
使用右手坐标系
近平面：n（较大 Z），远平面：f（较小 Z）

➡️ n > f

一、正交投影 Orthographic Projection

1.1 直观理解

正交投影 = 相机在无限远处

平行光线射入 → 无近大远小 → 平行线永远平行

适合：工程制图、CAD、蓝图

核心：把一个任意长方体 映射到标准立方体 NDC。

1.2 变换两步走

平移：把长方体中心移到原点
缩放：把长宽高缩到 [-1,1]

平移矩阵

c x = f r a c l + r 2 , c y = f r a c b + t 2 , c z = f r a c n + f 2 c_x = frac{l+r}{2}, c_y = frac{b+t}{2}, c_z = frac{n+f}{2} cx=fracl+r2,cy=fracb+t2,cz=fracn+f2
KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 21: ...egin{bmatrix}1 &̲ 0 & 0 & -c_x ...

缩放矩阵

KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 32: ...x}frac{2}{r-l} &̲ 0 & 0 & 0 0 &...

正交投影矩阵（最终）

KaTeX parse error: Expected '}', got '&' at position 46: ...x}frac{2}{r-l} &̲ 0 & 0 & -frac{...

二、透视投影 Perspective Projection

2.1 核心思路

透视投影观测空间是 视锥体 Frustum ，直接求矩阵很难 → 拆成两步

把 Frustum 挤成长方体（Perspective → Ortho）
做正交投影

2.2 挤压规则

近平面任意点完全不变
远平面 Z 不变，仅 XY 收缩
中心点不变

2.3 相似三角形推导 XY 变换

x ′ = x c d o t f r a c n z , y ′ = y c d o t f r a c n z x' = x cdot frac{n}{z}, y' = y cdot frac{n}{z} x′=xcdotfracnz,y′=ycdotfracnz

齐次坐标同乘 z：
( x , y , z , 1 ) t o ( n x , n y , ? , z ) (x,y,z,1) to (nx, ny, ?, z) (x,y,z,1)to(nx,ny,?,z)

得到矩阵雏形：
KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 27: ...egin{bmatrix}n &̲ 0 & 0 & 0 0 &...

✍️ 补充：第三行为什么是 [0,0,A,B]

第三行计算输出深度 z' ，z' 只和原深度 z 相关，与 x、y 无关，因此前两位必须为 0，只保留 z 与常数项的系数 A、B。

2.4 解方程求 A、B

近平面条件：
A n + B = n 2 A n + B = n^2 An+B=n2

远平面中心点条件：
A f + B = f 2 A f + B = f^2 Af+B=f2

联立解得：
b o x e d A = n + f , q u a d b o x e d B = − n f boxed{A = n+f},quad boxed{B = -n f} boxedA=n+f,quadboxedB=−nf

2.5 透视→正交矩阵

KaTeX parse error: Expected '}', got '&' at position 33: ...egin{bmatrix}n &̲ 0 & 0 & 0 0 &...

2.6 完整透视投影矩阵

b o x e d M p e r s p = M o r t h o c d o t M p 2 o boxed{M_{persp} = M_{ortho} cdot M_{p2o}} boxedMpersp=MorthocdotMp2o

三、关键结论 💡

正交：无近大远小，仅平移 + 缩放
透视：有近大远小，先挤压再正交
右手系下：n > f
挤压矩阵第三行前两位为 0，因深度与 x、y 无关

四、经典思考题 🤔

视锥体中间点 z=(n+f)/2，挤压后会被推向远平面，这是深度精度与 Z‑fighting 的核心原因。