【引理1】
首先设齐次线性方程组为
Ax=0\mathbf{Ax} = \mathbf{0}Ax=0
其中A\mathbf{A}A是m×nm \times nm×n大小的矩阵，这表示方程个数为mmm，未知变量个数为nnn，若m<nm < nm<n，则该齐次线性方程组必然有非零解。
【证明】
求解方程的过程就是对A\mathbf{A}A进行初等行变换的过程，由于矩阵A\mathbf{A}A的行最简形唯一，而m<nm < nm<n，所以必然多出至少一个列向量（假设是第jjj列）可以用其他列向量线性表示，
αj=k1αt1+k1αt1+...+klαtl\mathbf{\alpha}{\mathbf{j}} = k{1}\mathbf{\alpha}{\mathbf{t}{\mathbf{1}}} + k_{1}\mathbf{\alpha}{\mathbf{t}{\mathbf{1}}} + \ldots + k_{l}\mathbf{\alpha}{\mathbf{t}{\mathbf{l}}}αj=k1αt1+k1αt1+...+klαtl
这是因为其它主列（αt1,αt2...αtl\mathbf{\alpha}{\mathbf{t}{\mathbf{1}}},\mathbf{\alpha}{\mathbf{t}{\mathbf{2}}}\ldots\mathbf{\alpha}{\mathbf{t}{\mathbf{l}}}αt1,αt2...αtl）有且仅有一个非零元111。于是设该列对应的xj=1x_{j} = 1xj=1，主列向量为线性表示系数k1,k2...klk_{1},k_{2}\ldots k_{l}k1,k2...kl，剩余的xxx的分量值均为000。这样就找到了一个非零解。
【引理2】
若向量组β1,β2...βt\mathbf{\beta}{\mathbf{1}}\mathbf{},\mathbf{\beta}{\mathbf{2}}\ldots\mathbf{\beta}{\mathbf{t}}β1,β2...βt 线性无关，且每个βj\mathbf{\beta}{\mathbf{j}}βj都能被向量组α1,α2...αr\mathbf{\alpha}{\mathbf{1}},\mathbf{\alpha}{\mathbf{2}}\ldots\mathbf{\alpha}_{\mathbf{r}}α1,α2...αr线性表示，则必有t≤rt \leq rt≤r。
【证明】
设
{β1=k11α1+k12α2+...+k1rαrβ2=k21α1+k22α2+...+k2rαr⋮βt=kt1α1+kt2α2+...+ktrαr \left\{ \begin{aligned} \mathbf{\beta}{\mathbf{1}} & = k{11}\mathbf{\alpha}{\mathbf{1}} + k{12}\mathbf{\alpha}{\mathbf{2}} + \ldots + k{1r}\mathbf{\alpha}{\mathbf{r}} \\ \mathbf{\beta}{\mathbf{2}} & = k_{21}\mathbf{\alpha}{\mathbf{1}} + k{22}\mathbf{\alpha}{\mathbf{2}} + \ldots + k{2r}\mathbf{\alpha}{\mathbf{r}} \\ \vdots \\ \mathbf{\beta}{\mathbf{t}} & = k_{t1}\mathbf{\alpha}{\mathbf{1}} + k{t2}\mathbf{\alpha}{\mathbf{2}} + \ldots + k{tr}\mathbf{\alpha}_{\mathbf{r}} \end{aligned} \right.\ ⎩ ⎨ ⎧β1β2⋮βt=k11α1+k12α2+...+k1rαr=k21α1+k22α2+...+k2rαr=kt1α1+kt2α2+...+ktrαr
写成矩阵便是
(β1,β2...βt)=(α1,α2...αr)(k11k12⋯k1tk21k22⋯k2t⋮⋮⋱⋮kr1kr2⋯krt)=(α1,α2...αr)K\left( \mathbf{\beta}{\mathbf{1}}\mathbf{},\mathbf{\beta}{\mathbf{2}}\ldots\mathbf{\beta}{\mathbf{t}} \right) = \left( \mathbf{\alpha}{\mathbf{1}},\mathbf{\alpha}{\mathbf{2}}\ldots\mathbf{\alpha}{\mathbf{r}} \right)\begin{pmatrix} k_{11} & k_{12} & \cdots & k_{1t} \\ k_{21} & k_{22} & \cdots & k_{2t} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_{r1} & k_{r2} & \cdots & k_{rt} \end{pmatrix} = \left( \mathbf{\alpha}{\mathbf{1}},\mathbf{\alpha}{\mathbf{2}}\ldots\mathbf{\alpha}_{\mathbf{r}} \right)\mathbf{K}(β1,β2...βt)=(α1,α2...αr) k11k21⋮kr1k12k22⋮kr2⋯⋯⋱⋯k1tk2t⋮krt =(α1,α2...αr)K
由于向量组β1,β2...βt\mathbf{\beta}{\mathbf{1}}\mathbf{},\mathbf{\beta}{\mathbf{2}}\ldots\mathbf{\beta}_{\mathbf{t}}β1,β2...βt线性无关，所以
x1β1+x2β2+...+xtβt=0⇒x1=x2=...xt=0x_{1}\mathbf{\beta}{\mathbf{1}} + x{2}\mathbf{\beta}{\mathbf{2}} + \ldots + x{t}\mathbf{\beta}{\mathbf{t}}\mathbf{= 0} \Rightarrow x{1} = x_{2} = \ldots x_{t} = 0x1β1+x2β2+...+xtβt=0⇒x1=x2=...xt=0
代入前面的矩阵等式可得
(α1,α2...αr)(k11k12⋯k1tk21k22⋯k2t⋮⋮⋱⋮kr1kr2⋯krt)(x1x2⋮xt)=0\left( \mathbf{\alpha}{\mathbf{1}},\mathbf{\alpha}{\mathbf{2}}\ldots\mathbf{\alpha}{\mathbf{r}} \right)\begin{pmatrix} k{11} & k_{12} & \cdots & k_{1t} \\ k_{21} & k_{22} & \cdots & k_{2t} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_{r1} & k_{r2} & \cdots & k_{rt} \end{pmatrix}\left( \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{t} \end{array} \right) = \mathbf{0}(α1,α2...αr) k11k21⋮kr1k12k22⋮kr2⋯⋯⋱⋯k1tk2t⋮krt x1x2⋮xt =0
若t>rt > rt>r，根据前面的【**引理1】**可知存在非全零的x1,x2...x_tx_{1},x_{2}\ldots x\_ tx1,x2...x_t使得
(k11k12⋯k1tk21k22⋯k2t⋮⋮⋱⋮kr1kr2⋯krt)(x1x2⋮xt)=0\begin{pmatrix} k_{11} & k_{12} & \cdots & k_{1t} \\ k_{21} & k_{22} & \cdots & k_{2t} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_{r1} & k_{r2} & \cdots & k_{rt} \end{pmatrix}\left( \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{t} \end{array} \right) = \mathbf{0} k11k21⋮kr1k12k22⋮kr2⋯⋯⋱⋯k1tk2t⋮krt x1x2⋮xt =0
这就与向量组β1,β2...βt\mathbf{\beta}{\mathbf{1}}\mathbf{},\mathbf{\beta}{\mathbf{2}}\ldots\mathbf{\beta}_{\mathbf{t}}β1,β2...βt 线性无关矛盾，故而只能是t≤rt \leq rt≤r。
【定理】
对于任意的向量组，它们的极大线性无关组向量个数唯一。
【证明】
根据定义，不同的极大线性无关组之间可以互相线性表示，所以根据前面的**【引理2】**，所以它们的向量个数是相等的，所以极大线性无关组向量个数唯一。