量子光学笔记 3 相干态（一）定义、Fock 态展开、光子数泊松分布、最小不确定关系、位置表象波函数

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• 量子光学笔记 1 简谐振子、连续场的量子化
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量子光学笔记 3 相干态（一）

• 一、相干态的定义：湮灭算符的本征态
• • [1. 本征方程与Fock态展开](#1. 本征方程与Fock态展开)
  • [2. 相干态的Fock态展开式](#2. 相干态的Fock态展开式)
  • [3. 相干态的粒子表象表达式](#3. 相干态的粒子表象表达式)
• 二、位移算符作用真空态得到相干态
• • [1. 位移算符的定义与幺正性](#1. 位移算符的定义与幺正性)
  • [2. 位移算符作用于真空态得到相干态](#2. 位移算符作用于真空态得到相干态)
• 三、相干态的光子数分布：泊松分布
• • [1. 光子数的概率分布](#1. 光子数的概率分布)
  • [2. 光子数算符的期望值](#2. 光子数算符的期望值)
  • [3. 物理意义：散粒噪声与激光的量子特征](#3. 物理意义：散粒噪声与激光的量子特征)
• 四、相干态满足最小不确定关系
• 五、相干态的位置表象波函数
• • [1. 位置表象下的湮灭算符形式](#1. 位置表象下的湮灭算符形式)
  • [2. 位置表象下的本征方程和波函数](#2. 位置表象下的本征方程和波函数)
  • [3. 波函数的物理意义](#3. 波函数的物理意义)
• 参考资料

由于篇幅过长，本文分为两篇。

相干态是量子光学中连接经典光学与量子光学的核心概念，其作为湮灭算符的本征态，既保留了量子体系的涨落特性，又能复现经典平面波的运动规律。本文将基于量子光学基本原理，对相干态的定义、波函数、核心性质及相关物理量的进行推导。

一、相干态的定义：湮灭算符的本征态

1. 本征方程与Fock态展开

量子力学中，谐振子的湮灭算符 a ^ \hat{a} a^和产生算符 a ^ † \hat{a}^\dagger a^†满足基本对易关系 [ a ^ , a ^ † ] = 1 [\hat{a},\hat{a}^\dagger]=1 [a^,a^†]=1，Fock态 ∣ n ⟩ |n\rangle ∣n⟩为粒子数算符 N ^ = a ^ † a ^ \hat{N}=\hat{a}^\dagger\hat{a} N^=a^†a^的本征态，满足 a ^ ∣ n ⟩ = n ∣ n − 1 ⟩ \hat{a}|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle a^∣n⟩=n ∣n−1⟩、 a ^ † ∣ n ⟩ = n + 1 ∣ n + 1 ⟩ \hat{a}^\dagger|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle a^†∣n⟩=n+1 ∣n+1⟩。

相干态的核心定义 ：对于单模相干态来说，相干态定义为光场湮灭算符的本征态 ∣ α ⟩ |\alpha\rangle ∣α⟩。满足本征方程
a ^ ∣ α ⟩ = α ∣ α ⟩ \hat{a}|\alpha\rangle = \alpha |\alpha\rangle a^∣α⟩=α∣α⟩

其中 α \alpha α为复常数 （由于 a ^ \hat{a} a^是非厄米算符，这里的 α \alpha α不同于厄米算符的实数本征值）， ∣ α ⟩ |\alpha\rangle ∣α⟩为相干态，可展开在完备的Fock态基底上：
∣ α ⟩ = ∑ n = 0 ∞ b n ∣ n ⟩ |\alpha\rangle = \sum_{n=0}^{\infty} b_n |n\rangle ∣α⟩=n=0∑∞bn∣n⟩
b n b_n bn为展开系数，是待求的复常数。

2. 相干态的Fock态展开式

将Fock态展开式代入本征方程，左侧作湮灭算符运算：
a ^ ∣ α ⟩ = ∑ n = 0 ∞ b n a ^ ∣ n ⟩ = ∑ n = 1 ∞ b n n ∣ n − 1 ⟩ \hat{a}|\alpha\rangle = \sum_{n=0}^{\infty} b_n \hat{a}|n\rangle = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sqrt{n}|n-1\rangle a^∣α⟩=n=0∑∞bna^∣n⟩=n=1∑∞bnn ∣n−1⟩

令 m = n − 1 m=n-1 m=n−1（换元后 n = m + 1 n=m+1 n=m+1， m m m从0到 ∞ \infty ∞），上式可改写为：
a ^ ∣ α ⟩ = ∑ m = 0 ∞ b m + 1 m + 1 ∣ m ⟩ \hat{a}|\alpha\rangle = \sum_{m=0}^{\infty} b_{m+1} \sqrt{m+1}|m\rangle a^∣α⟩=m=0∑∞bm+1m+1 ∣m⟩

将哑标 m m m换回 n n n，得：
a ^ ∣ α ⟩ = ∑ n = 0 ∞ b n + 1 n + 1 ∣ n ⟩ \hat{a}|\alpha\rangle = \sum_{n=0}^{\infty} b_{n+1} \sqrt{n+1}|n\rangle a^∣α⟩=n=0∑∞bn+1n+1 ∣n⟩

本征方程右侧为：
α ∣ α ⟩ = ∑ n = 0 ∞ b n α ∣ n ⟩ \alpha |\alpha\rangle = \sum_{n=0}^{\infty} b_n \alpha|n\rangle α∣α⟩=n=0∑∞bnα∣n⟩

左右两侧Fock态基底的系数必须相等，因此得到展开系数的递推关系 ：
b n + 1 n + 1 = α b n    ⟹    b n + 1 = α n + 1 b n b_{n+1} \sqrt{n+1} = \alpha b_n \implies b_{n+1} = \frac{\alpha}{\sqrt{n+1}} b_n bn+1n+1 =αbn⟹bn+1=n+1 αbn

对递推关系逐次展开（ n = 0 , 1 , 2 , ... n=0,1,2,\dots n=0,1,2,...）：

• n = 0 n=0 n=0： b 1 = α 1 b 0 b_1 = \dfrac{\alpha}{\sqrt{1}} b_0 b1=1 αb0

• n = 1 n=1 n=1： b 2 = α 2 b 1 = α 2 2 ⋅ 1 b 0 = α 2 2 ! b 0 b_2 = \dfrac{\alpha}{\sqrt{2}} b_1 = \dfrac{\alpha^2}{\sqrt{2\cdot1}} b_0 = \dfrac{\alpha^2}{\sqrt{2!}} b_0 b2=2 αb1=2⋅1 α2b0=2! α2b0

• n = 2 n=2 n=2： b 3 = α 3 b 2 = α 3 3 ⋅ 2 ⋅ 1 b 0 = α 3 3 ! b 0 b_3 = \dfrac{\alpha}{\sqrt{3}} b_2 = \dfrac{\alpha^3}{\sqrt{3\cdot2\cdot1}} b_0 = \dfrac{\alpha^3}{\sqrt{3!}} b_0 b3=3 αb2=3⋅2⋅1 α3b0=3! α3b0

由此归纳出通式：
b n = α n n ! b 0 b_n = \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} b_0 bn=n! αnb0

因此相干态的Fock态展开式 可写为：
∣ α ⟩ = b 0 ∑ n = 0 ∞ α n n ! ∣ n ⟩ |\alpha\rangle = b_0 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} |n\rangle ∣α⟩=b0n=0∑∞n! αn∣n⟩

3. 相干态的粒子表象表达式

量子态需满足归一化 ⟨ α ∣ α ⟩ = 1 \langle \alpha|\alpha\rangle = 1 ⟨α∣α⟩=1，将展开式代入：
⟨ α ∣ α ⟩ = ∣ b 0 ∣ 2 ∑ n = 0 ∞ ∑ m = 0 ∞ α ∗ n n ! α m m ! ⟨ m ∣ n ⟩ \langle \alpha|\alpha\rangle = |b_0|^2 \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{\alpha^{*n}}{\sqrt{n!}} \frac{\alpha^m}{\sqrt{m!}} \langle m|n\rangle ⟨α∣α⟩=∣b0∣2n=0∑∞m=0∑∞n! α∗nm! αm⟨m∣n⟩

由Fock态的正交归一性 ⟨ m ∣ n ⟩ = δ m n \langle m|n\rangle=\delta_{mn} ⟨m∣n⟩=δmn（克罗内克函数， m = n m=n m=n时为1，否则为0），双重求和退化为单求和：
⟨ α ∣ α ⟩ = ∣ b 0 ∣ 2 ∑ n = 0 ∞ ∣ α ∣ 2 n n ! = 1 \langle \alpha|\alpha\rangle = |b_0|^2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{|\alpha|^{2n}}{n!} = 1 ⟨α∣α⟩=∣b0∣2n=0∑∞n!∣α∣2n=1

利用指数函数的泰勒展开式 e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} ex=∑n=0∞n!xn，令 x = ∣ α ∣ 2 x=|\alpha|^2 x=∣α∣2，则：
∑ n = 0 ∞ ∣ α ∣ 2 n n ! = e ∣ α ∣ 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{|\alpha|^{2n}}{n!} = e^{|\alpha|^2} n=0∑∞n!∣α∣2n=e∣α∣2

因此有：
∣ b 0 ∣ 2 e ∣ α ∣ 2 = 1    ⟹    ∣ b 0 ∣ = e − ∣ α ∣ 2 / 2 |b_0|^2 e^{|\alpha|^2} = 1 \implies |b_0| = e^{-|\alpha|^2/2} ∣b0∣2e∣α∣2=1⟹∣b0∣=e−∣α∣2/2

取相位因子为0（相位不影响量子态的物理性质），得 b 0 = e − ∣ α ∣ 2 / 2 b_0 = e^{-|\alpha|^2/2} b0=e−∣α∣2/2，得到相干态在粒子表象下的表达式 ：
∣ α ⟩ = e − 1 2 ∣ α ∣ 2 ∑ n = 0 ∞ α n n ! ∣ n ⟩ |\alpha\rangle = e^{-\frac{1}{2}|\alpha|^2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} |n\rangle ∣α⟩=e−21∣α∣2n=0∑∞n! αn∣n⟩

由于光子数态（Fock态）的表达式为 ∣ n ⟩ = ( a ^ † ) n n ! ∣ 0 ⟩ |n \rangle=\frac{(\hat{a}^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}|0\rangle ∣n⟩=n! (a^†)n∣0⟩，上式可写成
∣ α ⟩ = e − 1 2 ∣ α ∣ 2 ∑ n = 0 ∞ ( α a ^ † ) n n ! ∣ 0 ⟩ = e − 1 2 ∣ α ∣ 2 e ( α a ^ † ) n ∣ 0 ⟩ |\alpha\rangle = e^{-\frac{1}{2}|\alpha|^2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\alpha\hat{a}^\dagger)^n}{n!} |0\rangle = e^{-\frac{1}{2}|\alpha|^2} e^{(\alpha\hat{a}^\dagger)^n} |0\rangle ∣α⟩=e−21∣α∣2n=0∑∞n!(αa^†)n∣0⟩=e−21∣α∣2e(αa^†)n∣0⟩

记得这个公式，下面讲到位移算符时会进行对比。

二、位移算符作用真空态得到相干态

相干态可由位移算符 作用于真空态 ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩得到，位移算符是量子光学中描述"态平移"的幺正算符，其定义和性质与相干态紧密相关。

1. 位移算符的定义与幺正性

位移算符 的定义为：
D ^ α : = e α a ^ † − α ∗ a ^ \boldsymbol{\hat{D}_{\alpha} := e^{\alpha \hat{a}^{\dagger} - \alpha^* \hat{a}}} D^α:=eαa^†−α∗a^

其中 α \alpha α为复常数，由于 a ^ \hat{a} a^和 a ^ † \hat{a}^\dagger a^†的对易子为常数，位移算符满足幺正性 ：
D ^ α † = e α ∗ a ^ − α a ^ † = D ^ − α , D ^ α † D ^ α = D ^ α D ^ α † = I \hat{D}{\alpha}^{\dagger} = e^{\alpha^* \hat{a} - \alpha \hat{a}^{\dagger}} = \hat{D}{-\alpha}, \quad \hat{D}{\alpha}^{\dagger} \hat{D}{\alpha} = \hat{D}{\alpha} \hat{D}{\alpha}^{\dagger} = \mathrm{I} D^α†=eα∗a^−αa^†=D^−α,D^α†D^α=D^αD^α†=I

即位移算符的逆算符为 D ^ − α \hat{D}_{-\alpha} D^−α，物理意义为："沿复平面平移 α \alpha α"的逆操作是"平移 − α -\alpha −α"。

2. 位移算符作用于真空态得到相干态

此时相干态被定义为平移后的真空态
∣ α ⟩ = D ^ ( α ) ∣ 0 ⟩ |\alpha\rangle = \hat{D}(\alpha)|0\rangle ∣α⟩=D^(α)∣0⟩

为证明这一点，我们利用 BCH 公式 (见 《Baker-Campbell-Hausdorff（BCH）公式超级详细证明》)，

e A ^ + B ^ = e A ^ e B ^ e − 1 2 [ A , B ] = e B ^ e A ^ e 1 2 [ A , B ] \mathrm{e}^{\hat{A} + \hat{B}}=\mathrm{e}^{\hat{A}} \mathrm{e}^{\hat{B}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}[A,B]}=\mathrm{e}^{\hat{B}} \mathrm{e}^{\hat{A}} \mathrm{e}^{\frac{1}{2}[A,B]} eA^+B^=eA^eB^e−21[A,B]=eB^eA^e21[A,B]

将 D ^ ( α ) \hat{D}(\alpha) D^(α) 展开得到

D ^ ( α ) = e ( α a ^ † ) e ( − α ∗ a ^ ) e ( − ∣ α ∣ 2 / 2 ) = e ( − α ∗ a ^ ) e ( α a ^ † ) e ( ∣ α ∣ 2 / 2 ) . \begin{aligned} \hat{D}(\alpha) &= e^{\left(\alpha\hat{a}^{\dagger}\right)} e^{\left(-\alpha^{*}\hat{a}\right)} e^{\left(-|\alpha|^{2}/2\right)} \\ &= e^{\left(-\alpha^{*}\hat{a}\right)} e^{\left(\alpha\hat{a}^{\dagger}\right)} e^{\left(|\alpha|^{2}/2\right)}. \end{aligned} D^(α)=e(αa^†)e(−α∗a^)e(−∣α∣2/2)=e(−α∗a^)e(αa^†)e(∣α∣2/2).

提示

令： A ^ = α a ^ † , B ^ = − α ∗ a ^ \hat A = \alpha \hat a^\dagger, \quad \hat B = -\alpha^* \hat a A^=αa^†,B^=−α∗a^

A \^ , B \^ \] = \[ α a \^ † , − α ∗ a \^ \] = − α α ∗ \[ a \^ † , a \^ \] \[\\hat A, \\hat B\] = \[\\alpha \\hat a\^\\dagger, -\\alpha\^\* \\hat a\] = -\\alpha \\alpha\^\* \[\\hat a\^\\dagger, \\hat a\] \[A\^,B\^\]=\[αa\^†,−α∗a\^\]=−αα∗\[a\^†,a\^

由 [ a ^ , a ^ † ] = 1 [\hat a, \hat a^\dagger] = 1 [a^,a^†]=1，可知 [ a ^ † , a ^ ] = − 1 [\hat a^\dagger, \hat a] = -1 [a^†,a^]=−1，代入得：

A \^ , B \^ \] = − α α ∗ ( − 1 ) = ∣ α ∣ 2 \[\\hat A, \\hat B\] = -\\alpha \\alpha\^\* (-1) = \|\\alpha\|\^2 \[A\^,B\^\]=−αα∗(−1)=∣α∣2

利用上面公式的第一行，即有

D ^ ( α ) ∣ 0 ⟩ = e ( − ∣ α ∣ 2 / 2 ) e ( α a ^ † ) ∣ 0 ⟩ , \hat{D}(\alpha)|0\rangle = e^{\left(-|\alpha|^{2}/2\right)} e^{\left(\alpha\hat{a}^{\dagger}\right)} |0\rangle, D^(α)∣0⟩=e(−∣α∣2/2)e(αa^†)∣0⟩,

这与前面的定义完全一致。

这一结论的物理意义：相干态是真空态在复平面上的"平移态"，位移算符的作用就是将真空态的量子涨落整体平移，保持涨落大小不变。

三、相干态的光子数分布：泊松分布

相干态由Fock态叠加而成，其光子数（粒子数）具有统计分布，该分布为泊松分布，这是激光的重要量子特征（激光可近似为相干态）。

1. 光子数的概率分布

相干态中测得光子数为 n n n的概率 ，为Fock态投影的模平方：
P ( n ) = ∣ ⟨ n ∣ α ⟩ ∣ 2 P(n) = |\langle n|\alpha\rangle|^2 P(n)=∣⟨n∣α⟩∣2

为了区分我们将相干态 ∣ α ⟩ |\alpha\rangle ∣α⟩写成

∣ α ⟩ = e − ∣ α ∣ 2 / 2 ∑ k = 0 ∞ α k k ! ∣ k ⟩ |\alpha\rangle = e^{-|\alpha|^2/2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\alpha^k}{\sqrt{k!}} |k\rangle ∣α⟩=e−∣α∣2/2k=0∑∞k! αk∣k⟩

现在计算内积：

⟨ n ∣ α ⟩ = e − ∣ α ∣ 2 / 2 ∑ k = 0 ∞ α k k ! ⟨ n ∣ k ⟩ \langle n | \alpha \rangle = e^{-|\alpha|^2/2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\alpha^k}{\sqrt{k!}} \langle n | k \rangle ⟨n∣α⟩=e−∣α∣2/2k=0∑∞k! αk⟨n∣k⟩

利用正交归一性

数态满足：

⟨ n ∣ k ⟩ = δ n k \langle n | k \rangle = \delta_{nk} ⟨n∣k⟩=δnk

所以整个求和只留下一项（k = n）：

⟨ n ∣ α ⟩ = e − ∣ α ∣ 2 / 2 α n n ! \langle n | \alpha \rangle = e^{-|\alpha|^2/2} \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} ⟨n∣α⟩=e−∣α∣2/2n! αn

那么
P ( n ) = ∣ ⟨ n ∣ α ⟩ ∣ 2 = e − ∣ α ∣ 2 ∣ α ∣ 2 n n ! = N ˉ n n ! e − N ˉ P(n) = |\langle n|\alpha\rangle|^2 = e^{-|\alpha|^2} \frac{|\alpha|^{2n}}{n!}= \frac{\bar{N}^n}{n!} e^{-\bar{N}} P(n)=∣⟨n∣α⟩∣2=e−∣α∣2n!∣α∣2n=n!Nˉne−Nˉ

其中，平均值 N ˉ = ∣ α ∣ 2 \bar{N}=|\alpha|^2 Nˉ=∣α∣2。这正是泊松分布 的标准形式，泊松分布的核心特征为方差等于平均值： σ 2 = N ˉ \sigma^2 = \bar{N} σ2=Nˉ。

下面我们用代码来画出相干态的粒子分布情况：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math

# 设置全局字体
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei', 'Microsoft YaHei', 'SimSun', 'Arial Unicode MS'] 
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 必须设置，否则坐标轴负号显示为方块

# ===================== 1. 相干态泊松分布核心公式 =====================
def coherent_state_poisson(alpha, n_max=20):
    """
    计算相干态 |α> 的光子数概率分布 P(n)
    :param alpha: 相干态复振幅（实数即可，常用 α 为实数）
    :param n_max: 计算到的最大光子数
    :return: 光子数 n 数组，概率 P(n) 数组
    """
    # 平均光子数：相干态的平均光子数 <n> = |α|²
    n_bar = np.abs(alpha) ** 2
    
    # 光子数 n
    n = np.arange(0, n_max + 1)
    
    # 泊松分布（相干态光子数分布）
    # P(n) = (n_bar^n / n!) * exp(-n_bar)
    p_n = (n_bar ** n / np.array([math.factorial(i) for i in n])) * np.exp(-n_bar)
    
    return n, p_n

# ===================== 2. 绘图展示 =====================
if __name__ == '__main__':
    # 你要求的参数
    alpha_list = [0.3, 1.0, 3.0]
    n_max = 20
    
    colors = ['r', 'g', 'b']
    labels = [r'$\alpha=0.3$', r'$\alpha=1.0$', r'$\alpha=3.0$']

    plt.figure(figsize=(10, 6))

    # 绘制不同 α 对应的泊松分布
    for alpha, c, label in zip(alpha_list, colors, labels):
        n, p_n = coherent_state_poisson(alpha, n_max=n_max)
        plt.bar(n, p_n, color=c, alpha=0.6, label=label)
        plt.plot(n, p_n, color=c, linewidth=2)

    # 图像设置
    plt.xlabel('光子数 n', fontsize=12)
    plt.ylabel('概率 P(n)', fontsize=12)
    plt.title('相干态 |α> 的光子数泊松分布', fontsize=14)
    plt.legend(fontsize=12)
    plt.grid(alpha=0.3)
    plt.xlim(-0.5, n_max + 0.5)
    plt.show()

2. 光子数算符的期望值

我们再来计算一下数算符 N ^ = a ^ † a ^ \hat{N}=\hat{a}^\dagger\hat{a} N^=a^†a^ 的期望值：

⟨ α ∣ N ^ ∣ α ⟩ = ⟨ α ∣ a ^ † a ^ ∣ α ⟩ = α ∗ α ⟨ α ∣ α ⟩ = ∣ α ∣ 2 \langle \alpha|\hat{N}|\alpha\rangle= \langle \alpha|\hat{a}^\dagger\hat{a}|\alpha\rangle = \alpha^* \alpha \langle \alpha|\alpha\rangle = |\alpha|^2 ⟨α∣N^∣α⟩=⟨α∣a^†a^∣α⟩=α∗α⟨α∣α⟩=∣α∣2

其中，

⟨ α ∣ a ^ † = ( a ^ ∣ α ⟩ ) † = ( α ∣ α ⟩ ) † = α ∗ ⟨ α ∣ \langle\alpha|\hat{a}^{\dagger} = (\hat{a}|\alpha\rangle)^{\dagger} = (\alpha|\alpha\rangle)^{\dagger} = \alpha^{*}\langle\alpha| ⟨α∣a^†=(a^∣α⟩)†=(α∣α⟩)†=α∗⟨α∣

a ^ ∣ α ⟩ = α ∣ α ⟩ \hat{a}|\alpha\rangle =\alpha|\alpha\rangle a^∣α⟩=α∣α⟩

可以看到正好等于平均值 N ˉ \bar{N} Nˉ。

3. 物理意义：散粒噪声与激光的量子特征

1. 相对涨落随平均光子数减小 ：泊松分布的相对涨落为 N ˉ N ˉ = 1 N ˉ \frac{\sqrt{\bar{N}}}{\bar{N}} = \frac{1}{\sqrt{\bar{N}}} NˉNˉ =Nˉ 1，说明平均光子数越大，光子数的相对涨落越小；
2. 散粒噪声 ：光子数的涨落为散粒噪声 ，是粒子计数测量的终极精度极限 ，导致信噪比与 N ˉ \sqrt{\bar{N}} Nˉ 成正比；
3. 激光的近似：激光的光子数分布近似为泊松分布，因此激光可视为相干态，这也是激光具有良好相干性的量子根源；
4. 突破经典极限 ：散粒噪声是经典极限，通过压缩态（非相干态）可降低某一物理量的涨落，突破该极限，这是量子光学的重要应用方向。

四、相干态满足最小不确定关系

我们来看位置算符和动量算符：

x ^ = 1 2 l T ( a ^ + a ^ † ) p ^ = 1 i 2 ℏ l T ( a ^ − a ^ † ) \hat{x} = \frac{1}{\sqrt{2}} l_T \left( \hat{a} + \hat{a}^\dagger \right) \quad\quad \hat{p} = \frac{1}{i\sqrt{2}} \frac{\hbar}{l_T} \left( \hat{a} - \hat{a}^\dagger \right) x^=2 1lT(a^+a^†)p^=i2 1lTℏ(a^−a^†)

其中 l T = ℏ m ω l_T = \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}} lT=mωℏ 。

我们先来看一个简单转换，对相干态的定义式两边同时取厄米共轭：

( a ^ ∣ α ⟩ ) † = ( α ∣ α ⟩ ) † \left( \hat{a}|\alpha\rangle \right)^\dagger = \left( \alpha|\alpha\rangle \right)^\dagger (a^∣α⟩)†=(α∣α⟩)†

左边：

( a ^ ∣ α ⟩ ) † = ⟨ α ∣ a ^ † \left( \hat{a}|\alpha\rangle \right)^\dagger = \langle\alpha|\hat{a}^\dagger (a^∣α⟩)†=⟨α∣a^†

右边：复数的共轭是 α ∗ \alpha^* α∗，且 ∣ α ⟩ |\alpha\rangle ∣α⟩ 的共轭是 ⟨ α ∣ \langle\alpha| ⟨α∣，所以

( α ∣ α ⟩ ) † = ⟨ α ∣ α ∗ \left( \alpha|\alpha\rangle \right)^\dagger = \langle\alpha|\alpha^* (α∣α⟩)†=⟨α∣α∗

于是我们就得到了：

⟨ α ∣ a ^ † = ⟨ α ∣ α ∗ \langle\alpha|\hat{a}^\dagger = \langle\alpha|\alpha^* ⟨α∣a^†=⟨α∣α∗

⟨ α ∣ a ^ † ∣ α ⟩ = ⟨ α ∣ α ∗ ∣ α ⟩ = α ∗ ⟨ α ∣ α ⟩ = α ∗ \langle \alpha | \hat{a}^\dagger | \alpha \rangle=\langle\alpha|\alpha^*| \alpha \rangle=\alpha^* \langle \alpha | \alpha \rangle=\alpha^* ⟨α∣a^†∣α⟩=⟨α∣α∗∣α⟩=α∗⟨α∣α⟩=α∗

结合相干态定义，得到
⟨ α ∣ a ^ ∣ α ⟩ = α ⟨ α ∣ α ⟩ = α \langle \alpha | \hat{a} | \alpha \rangle=\alpha \langle \alpha | \alpha \rangle=\alpha ⟨α∣a^∣α⟩=α⟨α∣α⟩=α

相干态是归一的， ⟨ α ∣ α ⟩ = 1 \langle\alpha|\alpha\rangle=1 ⟨α∣α⟩=1。

另外

⟨ α ∣ a ^ 2 ∣ α ⟩ = α 2 , ⟨ α ∣ ( a ^ † ) 2 ∣ α ⟩ = ( α ∗ ) 2 , ⟨ α ∣ a ^ a ^ † ∣ α ⟩ = ⟨ α ∣ a ^ † a ^ + 1 ∣ α ⟩ = ∣ α ∣ 2 + 1 , ⟨ α ∣ a ^ † a ^ ∣ α ⟩ = ∣ α ∣ 2 . \begin{align*} \langle \alpha | \hat{a}^2 | \alpha \rangle &= \alpha^2, \\ \langle \alpha | (\hat{a}^\dagger)^2 | \alpha \rangle &= (\alpha^*)^2, \\ \langle \alpha | \hat{a}\hat{a}^\dagger | \alpha \rangle &= \langle \alpha | \hat{a}^\dagger\hat{a} + 1 | \alpha \rangle = |\alpha|^2 + 1, \\ \langle \alpha | \hat{a}^\dagger\hat{a} | \alpha \rangle &= |\alpha|^2. \end{align*} ⟨α∣a^2∣α⟩⟨α∣(a^†)2∣α⟩⟨α∣a^a^†∣α⟩⟨α∣a^†a^∣α⟩=α2,=(α∗)2,=⟨α∣a^†a^+1∣α⟩=∣α∣2+1,=∣α∣2.

那么对于相干态 ∣ α ⟩ |\alpha\rangle ∣α⟩， 有

⟨ x ^ ⟩ = ⟨ α ∣ x ^ ∣ α ⟩ = ⟨ α ∣ 1 2 l T ( a ^ + a ^ † ) ∣ α ⟩ = 1 2 l T ( ⟨ α ∣ a ^ ∣ α ⟩ + ⟨ α ∣ a ^ † ∣ α ⟩ ) = 1 2 l T ( α + α ∗ ) \begin{align*} \langle \hat{x} \rangle &= \langle \alpha | \hat{x} | \alpha \rangle \\ &= \langle \alpha | \frac{1}{\sqrt{2}} l_T \left( \hat{a} + \hat{a}^\dagger \right) | \alpha \rangle \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} l_T \left( \langle \alpha | \hat{a} | \alpha \rangle + \langle \alpha | \hat{a}^\dagger | \alpha \rangle \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} l_T \left( \alpha + \alpha^* \right) \end{align*} ⟨x^⟩=⟨α∣x^∣α⟩=⟨α∣2 1lT(a^+a^†)∣α⟩=2 1lT(⟨α∣a^∣α⟩+⟨α∣a^†∣α⟩)=2 1lT(α+α∗)

⟨ x ^ 2 ⟩ = ⟨ α ∣ x ^ 2 ∣ α ⟩ = ⟨ α ∣ [ l T 2 ( a ^ + a ^ † ) ] 2 ∣ α ⟩ = l T 2 2 ⟨ α ∣ ( a ^ + a ^ † ) 2 ∣ α ⟩ = l T 2 2 ⟨ α ∣ a ^ 2 + a ^ a ^ † + a ^ † a ^ + ( a ^ † ) 2 ∣ α ⟩ = l T 2 2 [ ( α + α ∗ ) 2 + 1 ] \begin{align*} \langle \hat{x}^2 \rangle &= \langle \alpha | \hat{x}^2 | \alpha \rangle \\ &= \langle \alpha | \left[ \frac{l_T}{\sqrt{2}} (\hat{a} + \hat{a}^\dagger) \right]^2 | \alpha \rangle \\ &= \frac{l_T^2}{2} \langle \alpha | (\hat{a} + \hat{a}^\dagger)^2 | \alpha \rangle \\ &= \frac{l_T^2}{2} \langle \alpha | \hat{a}^2 + \hat{a}\hat{a}^\dagger + \hat{a}^\dagger\hat{a} + (\hat{a}^\dagger)^2 | \alpha \rangle\\ &= \frac{l_T^2}{2} \left[ (\alpha + \alpha^*)^2 + 1 \right] \end{align*} ⟨x^2⟩=⟨α∣x^2∣α⟩=⟨α∣[2 lT(a^+a^†)]2∣α⟩=2lT2⟨α∣(a^+a^†)2∣α⟩=2lT2⟨α∣a^2+a^a^†+a^†a^+(a^†)2∣α⟩=2lT2[(α+α∗)2+1]

( Δ x ) 2 = ⟨ x ^ 2 ⟩ − ⟨ x ^ ⟩ 2 = l T 2 2 [ ( α + α ∗ ) 2 + 1 ] − ( l T 2 ( α + α ∗ ) ) 2 = l T 2 2 ( α + α ∗ ) 2 + l T 2 2 − l T 2 2 ( α + α ∗ ) 2 = l T 2 2 \begin{align*} (\Delta x)^2 &= \langle \hat{x}^2 \rangle - \langle \hat{x} \rangle^2 \\ &= \frac{l_T^2}{2} \left[ (\alpha + \alpha^*)^2 + 1 \right] - \left( \frac{l_T}{\sqrt{2}}(\alpha + \alpha^*) \right)^2 \\ &= \frac{l_T^2}{2} (\alpha + \alpha^*)^2 + \frac{l_T^2}{2} - \frac{l_T^2}{2} (\alpha + \alpha^*)^2 \\ &= \frac{l_T^2}{2} \end{align*} (Δx)2=⟨x^2⟩−⟨x^⟩2=2lT2[(α+α∗)2+1]−(2 lT(α+α∗))2=2lT2(α+α∗)2+2lT2−2lT2(α+α∗)2=2lT2

所以：

Δ x = l T 2 \Delta x = \frac{l_T}{\sqrt{2}} Δx=2 lT

⟨ p ^ ⟩ = ⟨ α ∣ p ^ ∣ α ⟩ = ⟨ α ∣ 1 i 2 ℏ l T ( a ^ − a ^ † ) ∣ α ⟩ = 1 i 2 ℏ l T ( ⟨ α ∣ a ^ ∣ α ⟩ − ⟨ α ∣ a ^ † ∣ α ⟩ ) = 1 i 2 ℏ l T ( α − α ∗ ) \begin{align*} \langle \hat{p} \rangle &= \langle \alpha | \hat{p} | \alpha \rangle \\ &= \langle \alpha | \frac{1}{i\sqrt{2}} \frac{\hbar}{l_T} \left( \hat{a} - \hat{a}^\dagger \right) | \alpha \rangle \\ &= \frac{1}{i\sqrt{2}} \frac{\hbar}{l_T} \left( \langle \alpha | \hat{a} | \alpha \rangle - \langle \alpha | \hat{a}^\dagger | \alpha \rangle \right) \\ &= \frac{1}{i\sqrt{2}} \frac{\hbar}{l_T} \left( \alpha - \alpha^* \right) \end{align*} ⟨p^⟩=⟨α∣p^∣α⟩=⟨α∣i2 1lTℏ(a^−a^†)∣α⟩=i2 1lTℏ(⟨α∣a^∣α⟩−⟨α∣a^†∣α⟩)=i2 1lTℏ(α−α∗)

⟨ p ^ 2 ⟩ = ⟨ α ∣ p ^ 2 ∣ α ⟩ = ⟨ α ∣ [ ℏ i 2 l T ( a ^ − a ^ † ) ] 2 ∣ α ⟩ = − ℏ 2 2 l T 2 ⟨ α ∣ ( a ^ − a ^ † ) 2 ∣ α ⟩ = − ℏ 2 2 l T 2 ⟨ α ∣ a ^ 2 − a ^ a ^ † − a ^ † a ^ + ( a ^ † ) 2 ∣ α ⟩ = − ℏ 2 2 l T 2 [ α 2 − ( ∣ α ∣ 2 + 1 ) − ∣ α ∣ 2 + ( α ∗ ) 2 ] = − ℏ 2 2 l T 2 [ ( α − α ∗ ) 2 − 1 ] \begin{align*} \langle \hat{p}^2 \rangle &= \langle \alpha | \hat{p}^2 | \alpha \rangle \\ &= \langle \alpha | \left[ \frac{\hbar}{i\sqrt{2}l_T} (\hat{a} - \hat{a}^\dagger) \right]^2 | \alpha \rangle \\ &= -\frac{\hbar^2}{2l_T^2} \langle \alpha | (\hat{a} - \hat{a}^\dagger)^2 | \alpha \rangle \\ &= -\frac{\hbar^2}{2l_T^2} \langle \alpha | \hat{a}^2 - \hat{a}\hat{a}^\dagger - \hat{a}^\dagger\hat{a} + (\hat{a}^\dagger)^2 | \alpha \rangle \\ &= -\frac{\hbar^2}{2l_T^2} \left[ \alpha^2 - (|\alpha|^2 + 1) - |\alpha|^2 + (\alpha^*)^2 \right] \\ &= -\frac{\hbar^2}{2l_T^2} \left[ (\alpha - \alpha^*)^2 - 1 \right] \end{align*} ⟨p^2⟩=⟨α∣p^2∣α⟩=⟨α∣[i2 lTℏ(a^−a^†)]2∣α⟩=−2lT2ℏ2⟨α∣(a^−a^†)2∣α⟩=−2lT2ℏ2⟨α∣a^2−a^a^†−a^†a^+(a^†)2∣α⟩=−2lT2ℏ2[α2−(∣α∣2+1)−∣α∣2+(α∗)2]=−2lT2ℏ2[(α−α∗)2−1]

( Δ p ) 2 = ⟨ p ^ 2 ⟩ − ⟨ p ^ ⟩ 2 = − ℏ 2 2 l T 2 [ ( α − α ∗ ) 2 − 1 ] − ( ℏ i 2 l T ( α − α ∗ ) ) 2 = − ℏ 2 2 l T 2 ( α − α ∗ ) 2 + ℏ 2 2 l T 2 + ℏ 2 2 l T 2 ( α − α ∗ ) 2 = ℏ 2 2 l T 2 \begin{align*} (\Delta p)^2 &= \langle \hat{p}^2 \rangle - \langle \hat{p} \rangle^2 \\ &= -\frac{\hbar^2}{2l_T^2} \left[ (\alpha - \alpha^*)^2 - 1 \right] - \left( \frac{\hbar}{i\sqrt{2}l_T}(\alpha - \alpha^*) \right)^2 \\ &= -\frac{\hbar^2}{2l_T^2}(\alpha - \alpha^*)^2 + \frac{\hbar^2}{2l_T^2} + \frac{\hbar^2}{2l_T^2}(\alpha - \alpha^*)^2 \\ &= \frac{\hbar^2}{2l_T^2} \end{align*} (Δp)2=⟨p^2⟩−⟨p^⟩2=−2lT2ℏ2[(α−α∗)2−1]−(i2 lTℏ(α−α∗))2=−2lT2ℏ2(α−α∗)2+2lT2ℏ2+2lT2ℏ2(α−α∗)2=2lT2ℏ2

所以：

Δ p = ℏ 2 l T \Delta p = \frac{\hbar}{\sqrt{2}l_T} Δp=2 lTℏ

有

Δ x Δ p = l T 2 ⋅ ℏ 2 l T = ℏ 2 \Delta x \Delta p = \frac{l_T}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\hbar}{\sqrt{2}l_T} = \frac{\hbar}{2} ΔxΔp=2 lT⋅2 lTℏ=2ℏ

这正是海森堡不确定关系的下界 ，因此相干态是最小不确定态。

五、相干态的位置表象波函数

1. 位置表象下的湮灭算符形式

为求相干态在位置表象的波函数 ψ α ( x ) = ⟨ x ∣ α ⟩ \psi_{\alpha}(x) = \langle x|\alpha\rangle ψα(x)=⟨x∣α⟩，先将湮灭算符 a ^ \hat{a} a^表示为位置算符 x ^ \hat{x} x^和动量算符 p ^ \hat{p} p^的形式。对于一维谐振子，湮灭算符的定义为：
a ^ = m ω 2 ℏ ( x ^ + i m ω p ^ ) \hat{a} =\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{x} + \frac{i}{m\omega}\hat{p}\right) a^=2ℏmω (x^+mωip^)

在位置表象中， x ^ → x \hat{x} \to x x^→x，动量算符 p ^ → − i ℏ ∂ ∂ x \hat{p} \to -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} p^→−iℏ∂x∂，代入得：
a ^ = m ω 2 ℏ ( x + i m ω ⋅ ( − i ℏ ∂ ∂ x ) ) = m ω 2 ℏ ( x + ℏ m ω ∂ ∂ x ) \hat{a} = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(x + \frac{i}{m\omega} \cdot (-i\hbar \frac{\partial}{\partial x})\right) = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(x + \frac{\hbar}{m\omega}\frac{\partial}{\partial x}\right) a^=2ℏmω (x+mωi⋅(−iℏ∂x∂))=2ℏmω (x+mωℏ∂x∂)

定义谐振子特征长度 x ˉ 0 \bar{x}_0 xˉ0，满足 x ˉ 0 2 = ℏ m ω \bar{x}_0^2 = \frac{\hbar}{m\omega} xˉ02=mωℏ（量纲为长度，表征谐振子量子涨落的尺度），则 m ω 2 ℏ = 1 2 x ˉ 0 \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} = \frac{1}{\sqrt{2}\bar{x}_0} 2ℏmω =2 xˉ01，湮灭算符可简化为：

a ^ = 1 2 x ˉ 0 ( x + x ˉ 0 2 ∂ ∂ x ) ( 1 ) \hat{a} = \frac{1}{\sqrt{2}\bar{x}_0}\left(x + \bar{x}_0^2 \frac{\partial}{\partial x}\right) \qquad(1) a^=2 xˉ01(x+xˉ02∂x∂)(1)

2. 位置表象下的本征方程和波函数

由相干态的本征方程 a ^ ∣ α ⟩ = α ∣ α ⟩ \hat{a}|\alpha\rangle = \alpha |\alpha\rangle a^∣α⟩=α∣α⟩，左乘位置表象基矢 ⟨ x ∣ \langle x| ⟨x∣，得位置表象的本征方程：
⟨ x ∣ a ^ ∣ α ⟩ = α ⟨ x ∣ α ⟩    ⟹    a ^ ψ α ( x ) = α ψ α ( x ) \langle x|\hat{a}|\alpha\rangle = \alpha \langle x|\alpha\rangle \implies \hat{a} \psi_{\alpha}(x) = \alpha \psi_{\alpha}(x) ⟨x∣a^∣α⟩=α⟨x∣α⟩⟹a^ψα(x)=αψα(x)

代入 [式 1](#式 1)，整理为齐次线性微分方程：

1 2 x ˉ 0 ( x + x ˉ 0 2 ∂ ∂ x ) − α \] ψ α ( x ) = 0 \\left\[\\frac{1}{\\sqrt{2}\\bar{x}_0}\\left(x + \\bar{x}_0\^2 \\frac{\\partial}{\\partial x}\\right)-\\alpha\\right\]\\psi_{\\alpha}(x) = 0 \[2 xˉ01(x+xˉ02∂x∂)−α\]ψα(x)=0 两边同乘 2 x ˉ 0 \\sqrt{2}\\bar{x}_0 2 xˉ0消去分母，展开得： ( x − 2 x ˉ 0 α ) ψ α ( x ) + x ˉ 0 2 d ψ α ( x ) d x = 0 \\left(x - \\sqrt{2}\\bar{x}_0 \\alpha\\right) \\psi_{\\alpha}(x) + \\bar{x}_0\^2 \\frac{d\\psi_{\\alpha}(x)}{dx} = 0 (x−2 xˉ0α)ψα(x)+xˉ02dxdψα(x)=0 将变量分离，移项得： d ψ α ( x ) ψ α ( x ) = − x − 2 x ˉ 0 α x ˉ 0 2 d x \\frac{d\\psi_{\\alpha}(x)}{\\psi_{\\alpha}(x)} = -\\frac{x - \\sqrt{2}\\bar{x}_0 \\alpha}{\\bar{x}_0\^2} dx ψα(x)dψα(x)=−xˉ02x−2 xˉ0αdx 对两边积分： ∫ d ψ α ( x ) ψ α ( x ) = − 1 x ˉ 0 2 ∫ ( x − 2 x ˉ 0 α ) d x \\int \\frac{d\\psi_{\\alpha}(x)}{\\psi_{\\alpha}(x)} = -\\frac{1}{\\bar{x}_0\^2} \\int \\left(x - \\sqrt{2}\\bar{x}_0 \\alpha\\right) dx ∫ψα(x)dψα(x)=−xˉ021∫(x−2 xˉ0α)dx 左侧积分结果为 ln ⁡ ψ α ( x ) \\ln\\psi_{\\alpha}(x) lnψα(x)，右侧对 x x x积分（令积分常数为 ln ⁡ C \\ln C lnC， C C C为归一化常数）： ln ⁡ ψ α ( x ) = − 1 2 x ˉ 0 2 ( x − 2 x ˉ 0 α ) 2 + ln ⁡ C \\ln\\psi_{\\alpha}(x) = -\\frac{1}{2\\bar{x}_0\^2} \\left(x - \\sqrt{2}\\bar{x}_0 \\alpha\\right)\^2 + \\ln C lnψα(x)=−2xˉ021(x−2 xˉ0α)2+lnC 两边取指数，得到**相干态的位置表象波函数** ： ψ α ( x ) = C exp ⁡ \[ − ( x − 2 x ˉ 0 α ) 2 2 x ˉ 0 2 \] \\psi_{\\alpha}(x) = C \\exp\\left\[-\\frac{(x-\\sqrt{2}\\bar{x}_0 \\alpha)\^2}{2\\bar{x}_0\^2}\\right\] ψα(x)=Cexp\[−2xˉ02(x−2 xˉ0α)2

3. 波函数的物理意义

谐振子基态（ n = 0 n=0 n=0）的波函数为：
ψ 0 ( x ) = ⟨ x ∣ 0 ⟩ = ( 1 π x ˉ 0 2 ) 1 / 4 exp ⁡ [ − x 2 2 x ˉ 0 2 ] \psi_0(x) = \langle x|0\rangle = \left(\frac{1}{\pi \bar{x}_0^2}\right)^{1/4} \exp\left[-\frac{x^2}{2\bar{x}_0^2}\right] ψ0(x)=⟨x∣0⟩=(πxˉ021)1/4exp[−2xˉ02x2]

对比可知，相干态波函数是中心平移的高斯波包 ：基态波包中心在 x = 0 x=0 x=0，而相干态波包中心在 x = 2 x ˉ 0 α x=\sqrt{2}\bar{x}_0 \alpha x=2 xˉ0α。由于 α \alpha α是复常数，波包中心并非简单的空间实位置，而是复平面上的点，这是量子相干性的直接体现。

参考资料

1. 量子光学笔记（三）：相干态
2. 量子光学-郭光灿