量子光学笔记 1 简谐振子、连续场的量子化

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量子光学笔记 1 简谐振子、连续场的量子化

• 前言
• 一、单简谐振子：哈密顿量与升降算符的构造
• • [1. 哈密顿量的变形](#1. 哈密顿量的变形)
  • [2. 湮灭/产生算符的定义与对易关系](#2. 湮灭/产生算符的定义与对易关系)
  • [3. 哈密顿量的升降算符形式](#3. 哈密顿量的升降算符形式)
• 二、能量本征值的推导：从基态到激发态
• • [1. 湮灭算符对本征态的作用：能量降低 ℏ ω \hbar\omega ℏω](#1. 湮灭算符对本征态的作用：能量降低 ℏ ω \hbar\omega ℏω)
  • [2. 基态的定义与基态能量](#2. 基态的定义与基态能量)
  • [3. 产生算符对本征态的作用：能量升高 ℏ ω \hbar\omega ℏω](#3. 产生算符对本征态的作用：能量升高 ℏ ω \hbar\omega ℏω)
  • [4. 所有激发态的能量本征值](#4. 所有激发态的能量本征值)
• 三、升降算符对本征态的作用系数：归一化推导
• • [1. 产生算符的作用系数 n + 1 \sqrt{n+1} n+1](#1. 产生算符的作用系数 n + 1 \sqrt{n+1} n+1)
  • [2. 湮灭算符的作用系数 n \sqrt{n} n](#2. 湮灭算符的作用系数 n \sqrt{n} n)
  • [3. 光子数态（Fock态）的表达式](#3. 光子数态（Fock态）的表达式)
• 四、坐标表象下的波函数：基态到任意激发态
• • [1. 基态波函数的推导](#1. 基态波函数的推导)
  • [2. 任意激发态的波函数](#2. 任意激发态的波函数)
• 五、海森堡绘景下的算符演化：与经典谐振子的对应
• • [1. 海森堡方程：算符的时间演化公式](#1. 海森堡方程：算符的时间演化公式)
  • [2. 升降算符的时间演化](#2. 升降算符的时间演化)
  • [3. 坐标和动量算符的时间演化](#3. 坐标和动量算符的时间演化)
  • [4. 坐标算符的平均值：与经典谐振子对应](#4. 坐标算符的平均值：与经典谐振子对应)
• 六、多简谐振子与连续场量子化：从耦合到简正模式
• • [1. 两耦合谐振子的简正模式分解](#1. 两耦合谐振子的简正模式分解)
  • [2. N个耦合谐振子的对角化](#2. N个耦合谐振子的对角化)
  • [3. 连续场的量子化：从分立谐振子到连续谐振子](#3. 连续场的量子化：从分立谐振子到连续谐振子)
  • [4. 傅里叶变换：连续场的简正模式分解](#4. 傅里叶变换：连续场的简正模式分解)
• 七、总结
• 参考资料

前言

简谐振子是量子力学和量子光学的核心模型，电磁场的量子化本质上就是无穷多简谐振子的量子化。本文对简谐振子的核心公式进行了详细推导，从哈密顿量变形到升降算符构造、能量本征值求解，再到多谐振子耦合与连续场量子化，为后续量子光学的学习打下坚实的基础。

一、单简谐振子：哈密顿量与升降算符的构造

经典力学中，一维简谐振子的哈密顿量为 H = p 2 2 m + 1 2 m ω 2 x 2 H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2 H=2mp2+21mω2x2，量子力学中需将坐标 x x x和动量 p p p替换为算符 x ^ \hat{x} x^、 p ^ \hat{p} p^，且满足基本对易关系 ：
x \^ , p \^ = i ℏ \\hat{x},\\hat{p}=i\hbar x\^,p\^=iℏ

这是所有量子化推导的基础，后续升降算符的对易关系均由此推导而来。

1. 哈密顿量的变形

量子哈密顿量为：
H ^ = p ^ 2 2 m + 1 2 m ω 2 x ^ 2 \hat{H}= \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2}m \omega^2\hat{x}^2 H^=2mp^2+21mω2x^2

为构造升降算符，先将哈密顿量化为含 x ^ 2 \hat{x}^2 x^2和 p ^ 2 \hat{p}^2 p^2的对称形式，令 A = m ω 2 ℏ A=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} A=2ℏmω ， B = 1 2 m ℏ ω B=\sqrt{\frac{1}{2m\hbar\omega}} B=2mℏω1 ，则 2 A 2 = m ω ℏ 2A^2=\frac{m\omega}{\hbar} 2A2=ℏmω， 2 B 2 = 1 m ℏ ω 2B^2=\frac{1}{m\hbar\omega} 2B2=mℏω1，代入得：
H ^ = 1 2 ℏ ω ( 2 A 2 x ^ 2 + 2 B 2 p ^ 2 ) = 1 2 ℏ ω ( m ω ℏ x ^ 2 + 1 m ℏ ω p ^ 2 ) \hat{H}=\frac{1}{2}\hbar\omega\left(2A^2\hat{x}^2+2B^2\hat{p}^2\right)=\frac{1}{2}\hbar\omega\left(\frac{m\omega}{\hbar}\hat{x}^2+\frac{1}{m\hbar\omega}\hat{p}^2\right) H^=21ℏω(2A2x^2+2B2p^2)=21ℏω(ℏmωx^2+mℏω1p^2)

验证：将右侧展开， 1 2 ℏ ω ⋅ m ω ℏ x ^ 2 = 1 2 m ω 2 x ^ 2 \frac{1}{2}\hbar\omega\cdot\frac{m\omega}{\hbar}\hat{x}^2=\frac{1}{2}m\omega^2\hat{x}^2 21ℏω⋅ℏmωx^2=21mω2x^2， 1 2 ℏ ω ⋅ 1 m ℏ ω p ^ 2 = p ^ 2 2 m \frac{1}{2}\hbar\omega\cdot\frac{1}{m\hbar\omega}\hat{p}^2=\frac{\hat{p}^2}{2m} 21ℏω⋅mℏω1p^2=2mp^2，与原哈密顿量完全一致，变形的目的是为了匹配后续升降算符的乘积形式。

2. 湮灭/产生算符的定义与对易关系

构造湮灭算符 a ^ \hat{a} a^和产生算符 a ^ † \hat{a}^\dagger a^†（厄米共轭）：
a ^ = m ω 2 ℏ ( x ^ + i p ^ m ω ) , a ^ † = m ω 2 ℏ ( x ^ − i p ^ m ω ) \hat{a}=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \left( \hat{x}+\frac{i\hat{p}}{m\omega}\right),\quad \hat{a}^\dagger=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \left( \hat{x}-\frac{i\hat{p}}{m\omega}\right) a^=2ℏmω (x^+mωip^),a^†=2ℏmω (x^−mωip^)
核心推导：证明 a \^ , a \^ † = 1 \\hat{a},\\hat{a}\^\\dagger=1 a\^,a\^†=1

将对易式展开：
a \^ , a \^ † = a ^ a ^ † − a ^ † a ^ \\hat{a},\\hat{a}\^\\dagger=\hat{a}\hat{a}^\dagger-\hat{a}^\dagger\hat{a} a\^,a\^†=a^a^†−a^†a^

先计算 a ^ a ^ † \hat{a}\hat{a}^\dagger a^a^†：
a ^ a ^ † = m ω 2 ℏ ( x ^ + i p ^ m ω ) ( x ^ − i p ^ m ω ) = m ω 2 ℏ x \^ 2 − i m ω x \^ p \^ + i m ω p \^ x \^ + 1 m 2 ω 2 p \^ 2 \hat{a}\hat{a}^\dagger=\frac{m\omega}{2\hbar}\left( \hat{x}+\frac{i\hat{p}}{m\omega}\right)\left( \hat{x}-\frac{i\hat{p}}{m\omega}\right)=\frac{m\omega}{2\hbar}\left\\hat{x}\^2-\\frac{i}{m\\omega}\\hat{x}\\hat{p}+\\frac{i}{m\\omega}\\hat{p}\\hat{x}+\\frac{1}{m\^2\\omega\^2}\\hat{p}\^2\\right a^a^†=2ℏmω(x^+mωip^)(x^−mωip^)=2ℏmωx\^2−mωix\^p\^+mωip\^x\^+m2ω21p\^2

利用对易关系 x \^ , p \^ = x ^ p ^ − p ^ x ^ = i ℏ \\hat{x},\\hat{p}=\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x}=i\hbar x\^,p\^=x^p^−p^x^=iℏ，即 p ^ x ^ = x ^ p ^ − i ℏ \hat{p}\hat{x}=\hat{x}\hat{p}-i\hbar p^x^=x^p^−iℏ，代入上式交叉项：
− i m ω x ^ p ^ + i m ω p ^ x ^ = − i m ω ( x ^ p ^ − p ^ x ^ ) = − i m ω ⋅ i ℏ = ℏ m ω -\frac{i}{m\omega}\hat{x}\hat{p}+\frac{i}{m\omega}\hat{p}\hat{x}=-\frac{i}{m\omega}\left(\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x}\right)=-\frac{i}{m\omega}\cdot i\hbar=\frac{\hbar}{m\omega} −mωix^p^+mωip^x^=−mωi(x^p^−p^x^)=−mωi⋅iℏ=mωℏ

因此 a ^ a ^ † \hat{a}\hat{a}^\dagger a^a^†简化为：
a ^ a ^ † = m ω 2 ℏ ( x ^ 2 + ℏ m ω + 1 m 2 ω 2 p ^ 2 ) \hat{a}\hat{a}^\dagger=\frac{m\omega}{2\hbar}\left(\hat{x}^2+\frac{\hbar}{m\omega}+\frac{1}{m^2\omega^2}\hat{p}^2\right) a^a^†=2ℏmω(x^2+mωℏ+m2ω21p^2)

同理计算 a ^ † a ^ \hat{a}^\dagger\hat{a} a^†a^（交叉项符号相反，最终得到 − ℏ m ω -\frac{\hbar}{m\omega} −mωℏ）：
a ^ † a ^ = m ω 2 ℏ ( x ^ 2 − ℏ m ω + 1 m 2 ω 2 p ^ 2 ) \hat{a}^\dagger\hat{a}=\frac{m\omega}{2\hbar}\left(\hat{x}^2-\frac{\hbar}{m\omega}+\frac{1}{m^2\omega^2}\hat{p}^2\right) a^†a^=2ℏmω(x^2−mωℏ+m2ω21p^2)

将两者相减，消去 x ^ 2 \hat{x}^2 x^2和 p ^ 2 \hat{p}^2 p^2项：
a \^ , a \^ † = m ω 2 ℏ ( x \^ 2 + ℏ m ω + p \^ 2 m 2 ω 2 ) − ( x \^ 2 − ℏ m ω + p \^ 2 m 2 ω 2 ) = m ω 2 ℏ ⋅ 2 ℏ m ω = 1 \\hat{a},\\hat{a}\^\\dagger=\frac{m\omega}{2\hbar}\left\\left(\\hat{x}\^2+\\frac{\\hbar}{m\\omega}+\\frac{\\hat{p}\^2}{m\^2\\omega\^2}\\right)-\\left(\\hat{x}\^2-\\frac{\\hbar}{m\\omega}+\\frac{\\hat{p}\^2}{m\^2\\omega\^2}\\right)\\right=\frac{m\omega}{2\hbar}\cdot\frac{2\hbar}{m\omega}=1 a\^,a\^†=2ℏmω(x\^2+mωℏ+m2ω2p\^2)−(x\^2−mωℏ+m2ω2p\^2)=2ℏmω⋅mω2ℏ=1

对易关系 a \^ , a \^ † = 1 \\hat{a},\\hat{a}\^\\dagger=1 a\^,a\^†=1是升降算符的核心性质，后续能量本征值、算符对本征态的作用均依赖此关系。

3. 哈密顿量的升降算符形式

利用对易关系 a ^ a ^ † = a ^ † a ^ + a \^ , a \^ † = a ^ † a ^ + 1 \hat{a}\hat{a}^\dagger=\hat{a}^\dagger\hat{a}+\\hat{a},\\hat{a}\^\\dagger=\hat{a}^\dagger\hat{a}+1 a^a^†=a^†a^+a\^,a\^†=a^†a^+1，将哈密顿量表示为升降算符的乘积：

先直接计算 a ^ † a ^ + a ^ a ^ † \hat{a}^\dagger\hat{a}+\hat{a}\hat{a}^\dagger a^†a^+a^a^†：
a ^ † a ^ + a ^ a ^ † = m ω 2 ℏ ( 2 x ^ 2 + 2 p ^ 2 m 2 ω 2 ) = 2 ℏ ω ( 1 2 m ω 2 x ^ 2 + p ^ 2 2 m ) = 2 H ^ ℏ ω \hat{a}^\dagger\hat{a}+\hat{a}\hat{a}^\dagger=\frac{m\omega}{2\hbar}\left(2\hat{x}^2+\frac{2\hat{p}^2}{m^2\omega^2}\right)=\frac{2}{\hbar\omega}\left(\frac{1}{2}m\omega^2\hat{x}^2+\frac{\hat{p}^2}{2m}\right)=\frac{2\hat{H}}{\hbar\omega} a^†a^+a^a^†=2ℏmω(2x^2+m2ω22p^2)=ℏω2(21mω2x^2+2mp^2)=ℏω2H^

因此变形得：
H ^ = 1 2 ℏ ω ( a ^ † a ^ + a ^ a ^ † ) = 1 2 ℏ ω ( 2 a ^ † a ^ + 1 ) = ℏ ω ( a ^ † a ^ + 1 2 ) \hat{H}= \frac{1}{2}\hbar\omega\left(\hat{a}^\dagger\hat{a}+\hat{a}\hat{a}^\dagger\right)=\frac{1}{2}\hbar\omega\left(2\hat{a}^\dagger\hat{a}+1\right)=\hbar \omega\left(\hat{a}^\dagger\hat{a}+\frac{1}{2}\right) H^=21ℏω(a^†a^+a^a^†)=21ℏω(2a^†a^+1)=ℏω(a^†a^+21)

此形式是简谐振子量子化的关键表达式 ，引入数算符 N ^ = a ^ † a ^ \hat{N}=\hat{a}^\dagger\hat{a} N^=a^†a^后，哈密顿量可进一步简化为 H ^ = ℏ ω ( N ^ + 1 2 ) \hat{H}=\hbar\omega\left(\hat{N}+\frac{1}{2}\right) H^=ℏω(N^+21)，数算符的本征值对应谐振子的量子数 n n n。

二、能量本征值的推导：从基态到激发态

简谐振子的薛定谔方程为 H ^ ∣ ψ ⟩ = E ψ ∣ ψ ⟩ \hat{H}\ket{\psi}=E_\psi\ket{\psi} H^∣ψ⟩=Eψ∣ψ⟩，代入升降算符形式的哈密顿量得：
ℏ ω ( a ^ † a ^ + 1 2 ) ∣ ψ ⟩ = E ψ ∣ ψ ⟩ (1) \hbar\omega\left(\hat{a}^\dagger\hat{a}+\frac{1}{2}\right)\ket{\psi}=E_\psi\ket{\psi} \tag{1} ℏω(a^†a^+21)∣ψ⟩=Eψ∣ψ⟩(1)

我们通过升降算符对本征态的作用 推导能量本征值，核心逻辑是：湮灭算符降低能量，产生算符升高能量，物理系统中能量无下界，因此存在基态 ∣ 0 ⟩ \ket{0} ∣0⟩（ n = 0 n=0 n=0）。

1. 湮灭算符对本征态的作用：能量降低 ℏ ω \hbar\omega ℏω

对式(1)两边同时作用湮灭算符 a ^ \hat{a} a^，利用算符的结合律 ( A ^ B ^ ) ∣ ψ ⟩ = A ^ ( B ^ ∣ ψ ⟩ ) (\hat{A}\hat{B})\ket{\psi}=\hat{A}(\hat{B}\ket{\psi}) (A^B^)∣ψ⟩=A^(B^∣ψ⟩)，得：
ℏ ω ( a ^ † a ^ + 1 2 ) a ^ ∣ ψ ⟩ = E ψ a ^ ∣ ψ ⟩ \hbar\omega\left(\hat{a}^\dagger\hat{a}+\frac{1}{2}\right)\hat{a}\ket{\psi}=E_\psi\hat{a}\ket{\psi} ℏω(a^†a^+21)a^∣ψ⟩=Eψa^∣ψ⟩

利用对易关系 a \^ † a \^ , a \^ = a ^ † a \^ , a \^ + a \^ † , a \^ a ^ = − a ^ \\hat{a}\^\\dagger\\hat{a},\\hat{a}=\hat{a}^\dagger\\hat{a},\\hat{a}+\\hat{a}\^\\dagger,\\hat{a}\hat{a}=-\hat{a} a\^†a\^,a\^=a^†a\^,a\^+a\^†,a\^a^=−a^（推导： a \^ † a \^ , a \^ = a ^ † a ^ a ^ − a ^ a ^ † a ^ = ( a ^ † a ^ − a ^ a ^ † ) a ^ = − a \^ , a \^ † a ^ = − a ^ \\hat{a}\^\\dagger\\hat{a},\\hat{a}=\hat{a}^\dagger\hat{a}\hat{a}-\hat{a}\hat{a}^\dagger\hat{a}=(\hat{a}^\dagger\hat{a}-\hat{a}\hat{a}^\dagger)\hat{a}=-\\hat{a},\\hat{a}\^\\dagger\hat{a}=-\hat{a} a\^†a\^,a\^=a^†a^a^−a^a^†a^=(a^†a^−a^a^†)a^=−a\^,a\^†a^=−a^），即 a ^ † a ^ a ^ = a ^ a ^ † a ^ − a ^ \hat{a}^\dagger\hat{a}\hat{a}=\hat{a}\hat{a}^\dagger\hat{a}-\hat{a} a^†a^a^=a^a^†a^−a^，代入上式：
ℏ ω ( a ^ a ^ † a ^ − a ^ + 1 2 a ^ ) ∣ ψ ⟩ = E ψ a ^ ∣ ψ ⟩ \hbar\omega\left(\hat{a}\hat{a}^\dagger\hat{a}-\hat{a}+\frac{1}{2}\hat{a}\right)\ket{\psi}=E_\psi\hat{a}\ket{\psi} ℏω(a^a^†a^−a^+21a^)∣ψ⟩=Eψa^∣ψ⟩

整理得：
ℏ ω ( a ^ † a ^ + 1 2 ) a ^ ∣ ψ ⟩ = ( E ψ − ℏ ω ) a ^ ∣ ψ ⟩ \hbar\omega\left(\hat{a}^\dagger\hat{a}+\frac{1}{2}\right)\hat{a}\ket{\psi}=\left(E_\psi-\hbar\omega\right)\hat{a}\ket{\psi} ℏω(a^†a^+21)a^∣ψ⟩=(Eψ−ℏω)a^∣ψ⟩

可见 a ^ ∣ ψ ⟩ \hat{a}\ket{\psi} a^∣ψ⟩是哈密顿量的新本征态，本征值为 E ψ − ℏ ω E_\psi-\hbar\omega Eψ−ℏω，即湮灭算符将本征态的能量降低 ℏ ω \hbar\omega ℏω。

2. 基态的定义与基态能量

物理系统中能量不能为 − ∞ -\infty −∞，因此存在基态 ∣ 0 ⟩ \ket{0} ∣0⟩（最低能态），满足基态条件 ： a ^ ∣ 0 ⟩ = 0 \hat{a}\ket{0}=0 a^∣0⟩=0（湮灭算符作用于基态得到0，无法再降低能量）。

将基态条件代入薛定谔方程，求基态能量 E 0 E_0 E0：
ℏ ω ( a ^ † a ^ + 1 2 ) ∣ 0 ⟩ = ℏ ω ( a ^ † ⋅ 0 + 1 2 ∣ 0 ⟩ ) = 1 2 ℏ ω ∣ 0 ⟩ = E 0 ∣ 0 ⟩ \hbar\omega\left(\hat{a}^\dagger\hat{a}+\frac{1}{2}\right)\ket{0}=\hbar\omega\left(\hat{a}^\dagger\cdot0+\frac{1}{2}\ket{0}\right)=\frac{1}{2}\hbar\omega\ket{0}=E_0\ket{0} ℏω(a^†a^+21)∣0⟩=ℏω(a^†⋅0+21∣0⟩)=21ℏω∣0⟩=E0∣0⟩

因此基态能量为：
E 0 = 1 2 ℏ ω E_0=\frac{1}{2}\hbar\omega E0=21ℏω

这一结果称为零点能，是量子效应的重要体现------即使在绝对零度，简谐振子仍具有最低能量，不存在能量为0的态，与经典力学完全不同。

3. 产生算符对本征态的作用：能量升高 ℏ ω \hbar\omega ℏω

对式(1)两边同时作用产生算符 a ^ † \hat{a}^\dagger a^†，类似湮灭算符的推导，利用对易关系 a \^ † a \^ , a \^ † = a ^ † \\hat{a}\^\\dagger\\hat{a},\\hat{a}\^\\dagger=\hat{a}^\dagger a\^†a\^,a\^†=a^†，可得：
ℏ ω ( a ^ † a ^ + 1 2 ) a ^ † ∣ ψ ⟩ = ( E ψ + ℏ ω ) a ^ † ∣ ψ ⟩ \hbar\omega\left(\hat{a}^\dagger\hat{a}+\frac{1}{2}\right)\hat{a}^\dagger\ket{\psi}=\left(E_\psi+\hbar\omega\right)\hat{a}^\dagger\ket{\psi} ℏω(a^†a^+21)a^†∣ψ⟩=(Eψ+ℏω)a^†∣ψ⟩

即产生算符将本征态的能量升高 ℏ ω \hbar\omega ℏω。

4. 所有激发态的能量本征值

基态能量为 E 0 = 1 2 ℏ ω E_0=\frac{1}{2}\hbar\omega E0=21ℏω，对基态连续作用 n n n次产生算符，得到第 n n n个激发态 ∣ n ⟩ \ket{n} ∣n⟩，能量每次升高 ℏ ω \hbar\omega ℏω，因此第 n n n个本征态的能量 为：
E n = ( n + 1 2 ) ℏ ω ( n = 0 , 1 , 2 , ...   ) E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega \quad (n=0,1,2,\dots) En=(n+21)ℏω(n=0,1,2,...)

其中 n n n为量子数（数算符 N ^ = a ^ † a ^ \hat{N}=\hat{a}^\dagger\hat{a} N^=a^†a^关于 ∣ n ⟩ \ket{n} ∣n⟩的本征值， N ^ ∣ n ⟩ = n ∣ n ⟩ \hat{N}\ket{n}=n\ket{n} N^∣n⟩=n∣n⟩），表示简谐振子的激发量子数，在量子光学中对应光子数。

三、升降算符对本征态的作用系数：归一化推导

我们已知 a ^ † ∣ n ⟩ ∝ ∣ n + 1 ⟩ \hat{a}^\dagger\ket{n}\propto\ket{n+1} a^†∣n⟩∝∣n+1⟩， a ^ ∣ n ⟩ ∝ ∣ n − 1 ⟩ \hat{a}\ket{n}\propto\ket{n-1} a^∣n⟩∝∣n−1⟩，现在通过内积归一化 推导比例系数，本征态满足归一化条件： ⟨ n ∣ n ⟩ = 1 \braket{n|n}=1 ⟨n∣n⟩=1。

1. 产生算符的作用系数 n + 1 \sqrt{n+1} n+1

设 a ^ † ∣ n ⟩ = α ∣ n + 1 ⟩ \hat{a}^\dagger\ket{n}=\alpha\ket{n+1} a^†∣n⟩=α∣n+1⟩，其中 α \alpha α为待求复系数，对等式两边取厄米共轭 （算符厄米共轭满足 ( A B ^ ) † = B ^ † A ^ † (\hat{AB})^\dagger=\hat{B}^\dagger\hat{A}^\dagger (AB^)†=B^†A^†，态矢厄米共轭为左矢 ∣ ψ ⟩ † = ⟨ ψ ∣ \ket{\psi}^\dagger=\bra{\psi} ∣ψ⟩†=⟨ψ∣）：
⟨ n ∣ a ^ = α ∗ ⟨ n + 1 ∣ \bra{n}\hat{a}=\alpha^*\bra{n+1} ⟨n∣a^=α∗⟨n+1∣

将原等式 与厄米共轭等式 做内积（左矢乘右矢）：
⟨ n ∣ a ^ a ^ † ∣ n ⟩ = α ∗ α ⟨ n + 1 ∣ n + 1 ⟩ \bra{n}\hat{a}\hat{a}^\dagger\ket{n}=\alpha^*\alpha\braket{n+1|n+1} ⟨n∣a^a^†∣n⟩=α∗α⟨n+1∣n+1⟩

右侧： α ∗ α = ∣ α ∣ 2 \alpha^*\alpha=|\alpha|^2 α∗α=∣α∣2， ⟨ n + 1 ∣ n + 1 ⟩ = 1 \braket{n+1|n+1}=1 ⟨n+1∣n+1⟩=1（归一化），因此右侧为 ∣ α ∣ 2 |\alpha|^2 ∣α∣2；

左侧：利用对易关系 a ^ a ^ † = a ^ † a ^ + 1 = N ^ + 1 \hat{a}\hat{a}^\dagger=\hat{a}^\dagger\hat{a}+1=\hat{N}+1 a^a^†=a^†a^+1=N^+1，且 N ^ ∣ n ⟩ = n ∣ n ⟩ \hat{N}\ket{n}=n\ket{n} N^∣n⟩=n∣n⟩，因此：
⟨ n ∣ ( N ^ + 1 ) ∣ n ⟩ = ⟨ n ∣ ( n + 1 ) ∣ n ⟩ = ( n + 1 ) ⟨ n ∣ n ⟩ = n + 1 \bra{n}(\hat{N}+1)\ket{n}=\bra{n}(n+1)\ket{n}=(n+1)\braket{n|n}=n+1 ⟨n∣(N^+1)∣n⟩=⟨n∣(n+1)∣n⟩=(n+1)⟨n∣n⟩=n+1

因此有 ∣ α ∣ 2 = n + 1 |\alpha|^2=n+1 ∣α∣2=n+1，取正实系数（相位可吸收到态矢中，不影响物理结果），得 α = n + 1 \alpha=\sqrt{n+1} α=n+1 ，即：
a ^ † ∣ n ⟩ = n + 1 ∣ n + 1 ⟩ \hat{a}^\dagger\ket{n}=\sqrt{n+1}\ket{n+1} a^†∣n⟩=n+1 ∣n+1⟩

2. 湮灭算符的作用系数 n \sqrt{n} n

同理，设 a ^ ∣ n ⟩ = β ∣ n − 1 ⟩ \hat{a}\ket{n}=\beta\ket{n-1} a^∣n⟩=β∣n−1⟩，取厄米共轭得 ⟨ n ∣ a ^ † = β ∗ ⟨ n − 1 ∣ \bra{n}\hat{a}^\dagger=\beta^*\bra{n-1} ⟨n∣a^†=β∗⟨n−1∣，做内积：
⟨ n ∣ a ^ † a ^ ∣ n ⟩ = β ∗ β ⟨ n − 1 ∣ n − 1 ⟩ \bra{n}\hat{a}^\dagger\hat{a}\ket{n}=\beta^*\beta\braket{n-1|n-1} ⟨n∣a^†a^∣n⟩=β∗β⟨n−1∣n−1⟩

左侧： a ^ † a ^ = N ^ \hat{a}^\dagger\hat{a}=\hat{N} a^†a^=N^，因此 ⟨ n ∣ N ^ ∣ n ⟩ = n ⟨ n ∣ n ⟩ = n \bra{n}\hat{N}\ket{n}=n\braket{n|n}=n ⟨n∣N^∣n⟩=n⟨n∣n⟩=n；

右侧： ∣ β ∣ 2 ⋅ 1 = ∣ β ∣ 2 |\beta|^2\cdot1=|\beta|^2 ∣β∣2⋅1=∣β∣2；

得 ∣ β ∣ 2 = n |\beta|^2=n ∣β∣2=n，取正实系数 β = n \beta=\sqrt{n} β=n ，即：
a ^ ∣ n ⟩ = n ∣ n − 1 ⟩ \hat{a}\ket{n}=\sqrt{n}\ket{n-1} a^∣n⟩=n ∣n−1⟩

3. 光子数态（Fock态）的表达式

由产生算符的作用关系，对基态 ∣ 0 ⟩ \ket{0} ∣0⟩连续作用 n n n次产生算符，可得激发态 ∣ n ⟩ \ket{n} ∣n⟩：

• 1次作用： a ^ † ∣ 0 ⟩ = 1 ∣ 1 ⟩ ⇒ ∣ 1 ⟩ = a ^ † ∣ 0 ⟩ \hat{a}^\dagger\ket{0}=\sqrt{1}\ket{1}\Rightarrow\ket{1}=\hat{a}^\dagger\ket{0} a^†∣0⟩=1 ∣1⟩⇒∣1⟩=a^†∣0⟩
• 2次作用： a ^ † ∣ 1 ⟩ = 2 ∣ 2 ⟩ ⇒ ∣ 2 ⟩ = 1 2 a ^ † ∣ 1 ⟩ = 1 2 ! ( a ^ † ) 2 ∣ 0 ⟩ \hat{a}^\dagger\ket{1}=\sqrt{2}\ket{2}\Rightarrow\ket{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{a}^\dagger\ket{1}=\frac{1}{\sqrt{2!}}(\hat{a}^\dagger)^2\ket{0} a^†∣1⟩=2 ∣2⟩⇒∣2⟩=2 1a^†∣1⟩=2! 1(a^†)2∣0⟩
• n n n次作用：递推得 ∣ n ⟩ = ( a ^ † ) n n ! ∣ 0 ⟩ \ket{n}=\frac{(\hat{a}^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}\ket{0} ∣n⟩=n! (a^†)n∣0⟩

该式为光子数态（Fock态）的核心表达式，光子数态的特点是光子数确定，相位未知，是量子光学中描述光场的基本态。

四、坐标表象下的波函数：基态到任意激发态

上述推导均在狄拉克表象（态矢表象）中进行，现在转换到坐标表象 ，求简谐振子的本征波函数，核心是先求基态波函数，再通过产生算符推导激发态波函数。

1. 基态波函数的推导

基态满足 a ^ ∣ 0 ⟩ = 0 \hat{a}\ket{0}=0 a^∣0⟩=0，对等式两边作用左矢 ⟨ x ∣ \bra{x} ⟨x∣，得：
⟨ x ∣ a ^ ∣ 0 ⟩ = 0 \bra{x}\hat{a}\ket{0}=0 ⟨x∣a^∣0⟩=0

将湮灭算符的坐标-动量表象形式 a ^ = m ω 2 ℏ ( x ^ + i p ^ m ω ) \hat{a}=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \left( \hat{x}+\frac{i\hat{p}}{m\omega}\right) a^=2ℏmω (x^+mωip^)代入，且坐标表象中 x ^ = x \hat{x}=x x^=x，动量算符 p ^ = − i ℏ ∂ ∂ x \hat{p}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x} p^=−iℏ∂x∂，因此：
m ω 2 ℏ ⟨ x ∣ ( x + i m ω ( − i ℏ ∂ ∂ x ) ) ∣ 0 ⟩ = 0 \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \bra{x}\left( x+\frac{i}{m\omega}(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x})\right)\ket{0}=0 2ℏmω ⟨x∣(x+mωi(−iℏ∂x∂))∣0⟩=0

化简虚数项： i m ω ⋅ ( − i ℏ ) = ℏ m ω \frac{i}{m\omega}\cdot(-i\hbar)=\frac{\hbar}{m\omega} mωi⋅(−iℏ)=mωℏ，消去前置系数 m ω 2 ℏ \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} 2ℏmω ，得
⟨ x ∣ ( x + ℏ m ω ∂ ∂ x ) ∣ 0 ⟩ = 0 \langle x| \left( x + \frac{\hbar}{m\omega} \frac{\partial}{\partial x} \right) | 0 \rangle = 0 ⟨x∣(x+mωℏ∂x∂)∣0⟩=0

态矢量 ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩ 在坐标表象 ⟨ x ∣ \langle x| ⟨x∣ 下的投影，定义为该态的波函数： ⟨ x ∣ 0 ⟩ = ψ 0 ( x ) \langle x | 0 \rangle = \psi_0(x) ⟨x∣0⟩=ψ0(x)

于是得到微分方程：
( x + ℏ m ω d d x ) ψ 0 ( x ) = 0 \left( x+\frac{\hbar}{m\omega}\frac{d}{dx}\right)\psi_0(x)=0 (x+mωℏdxd)ψ0(x)=0

整理为一阶常微分方程的标准形式：
d ψ 0 ( x ) d x = − m ω ℏ x ψ 0 ( x ) \frac{d\psi_0(x)}{dx}=-\frac{m\omega}{\hbar}x\psi_0(x) dxdψ0(x)=−ℏmωxψ0(x)
分离变量求解 ：
d ψ 0 ψ 0 = − m ω ℏ x d x \frac{d\psi_0}{\psi_0}=-\frac{m\omega}{\hbar}xdx ψ0dψ0=−ℏmωxdx

两边积分：
ln ⁡ ψ 0 = − m ω 2 ℏ x 2 + C \ln\psi_0=-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2+C lnψ0=−2ℏmωx2+C

取指数得：
ψ 0 ( x ) = C e − m ω 2 ℏ x 2 \psi_0(x)=Ce^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2} ψ0(x)=Ce−2ℏmωx2

其中 C C C为归一化常数，由归一化条件 ∫ − ∞ ∞ ∣ ψ 0 ( x ) ∣ 2 d x = 1 \int_{-\infty}^{\infty}|\psi_0(x)|^2dx=1 ∫−∞∞∣ψ0(x)∣2dx=1可求得 C = ( m ω π ℏ ) 1 4 C=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{\frac{1}{4}} C=(πℏmω)41（归一化推导略），因此归一化基态波函数 为：
ψ 0 ( x ) = ( m ω π ℏ ) 1 4 e − m ω 2 ℏ x 2 \psi_0(x)=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{\frac{1}{4}}e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2} ψ0(x)=(πℏmω)41e−2ℏmωx2

2. 任意激发态的波函数

由Fock态表达式 ∣ n ⟩ = ( a ^ † ) n n ! ∣ 0 ⟩ \ket{n}=\frac{(\hat{a}^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}\ket{0} ∣n⟩=n! (a^†)n∣0⟩，坐标表象下波函数为：
ψ n ( x ) = ⟨ x ∣ ∣ n ⟩ = 1 n ! ⟨ x ∣ ( a ^ † ) n ∣ 0 ⟩ \psi_n(x)=\bra{x}\ket{n}=\frac{1}{\sqrt{n!}}\bra{x}(\hat{a}^\dagger)^n\ket{0} ψn(x)=⟨x∣∣n⟩=n! 1⟨x∣(a^†)n∣0⟩

产生算符的坐标-动量表象形式 a ^ † = m ω 2 ℏ ( x − ℏ m ω d d x ) = m ω 2 ℏ ( x − λ d d x ) = A ( x − λ ∂ ∂ x ) \hat{a}^\dagger=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(x-\frac{\hbar}{m\omega}\frac{d}{dx}\right)=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(x-\lambda\frac{d}{dx}\right)=A\left(x-\lambda\frac{\partial}{\partial x}\right) a^†=2ℏmω (x−mωℏdxd)=2ℏmω (x−λdxd)=A(x−λ∂x∂)

其中， λ = ℏ m ω ， A = m ω 2 ℏ \lambda=\frac{\hbar}{m\omega}，A=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} λ=mωℏ，A=2ℏmω 。

因此：
ψ n ( x ) = A n n ! ( x − λ d d x ) n ψ 0 ( x ) \psi_n(x)=\frac{A^n}{\sqrt{n!}}\left(x-\lambda\frac{d}{dx}\right)^n\psi_0(x) ψn(x)=n! An(x−λdxd)nψ0(x)

该式表明：激发态波函数是基态波函数经过 n n n次 ( x − λ d d x ) (x-\lambda\frac{d}{dx}) (x−λdxd)的微分运算得到的 ，运算结果为厄米多项式与高斯函数的乘积，这也是简谐振子波函数的经典形式。

五、海森堡绘景下的算符演化：与经典谐振子的对应

1. 海森堡方程：算符的时间演化公式

量子力学中有两种常用绘景：薛定谔绘景 （态矢随时间演化，算符不演化）和海森堡绘景（算符随时间演化，态矢不演化），两者的物理结果（平均值）等价。我们推导海森堡绘景下升降算符、坐标和动量算符的时间演化，发现其与经典简谐振子的振动规律一致。

海森堡方程为：
d O ^ H ( t ) d t = 1 i ℏ O \^ H ( t ) , H \^ + ∂ O ^ H ∂ t \frac{d\hat{O}_H(t)}{dt} = \frac{1}{i\hbar} \\hat{O}_H(t), \\hat{H} + \frac{\partial \hat{O}_H}{\partial t} dtdO^H(t)=iℏ1O\^H(t),H\^+∂t∂O^H

假设算符本身不含显时间依赖（ ∂ O ^ H ∂ t = 0 \frac{\partial \hat{O}_H}{\partial t}=0 ∂t∂O^H=0），因此简化公式得到标准形式的海森堡运动方程 ：
d O ^ d t = 1 i ℏ O \^ , H \^ \frac{d\hat{O}}{dt} = \frac{1}{i\hbar}\\hat{O}, \\hat{H} dtdO^=iℏ1O\^,H\^

具体推导请查看 《量子力学 20 海森堡绘景运动方程》。

2. 升降算符的时间演化

升降算符、坐标和动量算符均为不含时算符 （ ∂ O ^ ∂ t = 0 \frac{\partial\hat{O}}{\partial t}=0 ∂t∂O^=0）。

哈密顿量 H ^ = ℏ ω ( N ^ + 1 2 ) = ℏ ω ( a ^ † a ^ + 1 2 ) \hat{H}=\hbar\omega\left(\hat{N}+\frac{1}{2}\right)=\hbar\omega\left(\hat{a}^\dagger\hat{a}+\frac{1}{2}\right) H^=ℏω(N^+21)=ℏω(a^†a^+21)，先求湮灭算符的时间导数：
d a ^ d t = 1 i ℏ a \^ , H \^ = 1 i ℏ a \^ , ℏ ω ( a \^ † a \^ + 1 2 ) = ω i a \^ , a \^ † a \^ \frac{d\hat{a}}{dt}=\frac{1}{i\hbar}\\hat{a},\\hat{H}=\frac{1}{i\hbar}\\hat{a},\\hbar\\omega\\left(\\hat{a}\^\\dagger\\hat{a}+\\frac{1}{2}\\right)=\frac{\omega}{i}\\hat{a},\\hat{a}\^\\dagger\\hat{a} dtda^=iℏ1a\^,H\^=iℏ1a\^,ℏω(a\^†a\^+21)=iωa\^,a\^†a\^

利用对易关系 a \^ , a \^ † a \^ = a ^ \\hat{a},\\hat{a}\^\\dagger\\hat{a}=\hat{a} a\^,a\^†a\^=a^（前文已推导），得：
d a ^ d t = ω i a ^ = − i ω a ^ \frac{d\hat{a}}{dt}=\frac{\omega}{i}\hat{a}=-i\omega\hat{a} dtda^=iωa^=−iωa^

将方程中含有 a ^ \hat{a} a^ 的项移到等号左边，含有 t t t 的项移到等号右边：
d a ^ a ^ = − i ω d t \frac{d\hat{a}}{\hat{a}} = -i\omega dt a^da^=−iωdt

对等号两边分别进行积分。设定时间从 0 0 0 到 t t t，算符相应地从 a ^ ( 0 ) \hat{a}(0) a^(0) 演化到 a ^ ( t ) \hat{a}(t) a^(t)：
∫ a ^ ( 0 ) a ^ ( t ) 1 a ^ d a ^ = ∫ 0 t − i ω d t \int_{\hat{a}(0)}^{\hat{a}(t)} \frac{1}{\hat{a}} d\hat{a} = \int_{0}^{t} -i\omega dt ∫a^(0)a^(t)a^1da^=∫0t−iωdt

计算积分结果左边是自然对数的形式，右边是对时间的线性积分：
ln ⁡ ( a ^ ) ∣ a ^ ( 0 ) a ^ ( t ) = − i ω t ∣ 0 t \ln(\hat{a}) \Big|{\hat{a}(0)}^{\hat{a}(t)} = -i\omega t \Big|{0}^{t} ln(a^) a^(0)a^(t)=−iωt 0t

代入上下限：
ln ⁡ ( a ^ ( t ) ) − ln ⁡ ( a ^ ( 0 ) ) = − i ω t \ln(\hat{a}(t)) - \ln(\hat{a}(0)) = -i\omega t ln(a^(t))−ln(a^(0))=−iωt

利用对数性质合并
ln ⁡ ( a ^ ( t ) a ^ ( 0 ) ) = − i ω t \ln\left( \frac{\hat{a}(t)}{\hat{a}(0)} \right) = -i\omega t ln(a^(0)a^(t))=−iωt

取指数求解两边同时取底数为 e e e 的指数：
a ^ ( t ) a ^ ( 0 ) = e − i ω t \frac{\hat{a}(t)}{\hat{a}(0)} = e^{-i\omega t} a^(0)a^(t)=e−iωt

最后将 a ^ ( 0 ) \hat{a}(0) a^(0) 乘到右边，即可得到：
a ^ ( t ) = a ^ ( 0 ) e − i ω t \hat{a}(t) = \hat{a}(0)e^{-i\omega t} a^(t)=a^(0)e−iωt

同理，产生算符的时间演化为：
a ^ † ( t ) = a ^ † ( 0 ) e i ω t \hat{a}^\dagger(t)=\hat{a}^\dagger(0)e^{i\omega t} a^†(t)=a^†(0)eiωt

3. 坐标和动量算符的时间演化

由于
a ^ = m ω 2 ℏ ( x ^ + i p ^ m ω ) , a ^ † = m ω 2 ℏ ( x ^ − i p ^ m ω ) \hat{a}=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \left( \hat{x}+\frac{i\hat{p}}{m\omega}\right),\quad \hat{a}^\dagger=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \left( \hat{x}-\frac{i\hat{p}}{m\omega}\right) a^=2ℏmω (x^+mωip^),a^†=2ℏmω (x^−mωip^)

由升降算符与坐标、动量算符的关系（反解可得）：
x ^ = ℏ 2 m ω ( a ^ + a ^ † ) , p ^ = m ℏ ω 2 ( a ^ − a ^ † i ) \hat{x}=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left(\hat{a}+\hat{a}^\dagger\right),\quad \hat{p}=\sqrt{\frac{m\hbar\omega}{2}}\left(\frac{\hat{a}-\hat{a}^\dagger}{i}\right) x^=2mωℏ (a^+a^†),p^=2mℏω (ia^−a^†)

代入升降算符的时间演化，得海森堡绘景下的坐标算符：
x ^ ( t ) = ℏ 2 m ω a \^ ( 0 ) e − i ω t + a \^ † ( 0 ) e i ω t \hat{x}(t)=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left\\hat{a}(0)e\^{-i\\omega t}+\\hat{a}\^\\dagger(0)e\^{i\\omega t}\\right x^(t)=2mωℏ a\^(0)e−iωt+a\^†(0)eiωt

同理，动量算符：
p ^ ( t ) = m ℏ ω 2 a \^ ( 0 ) e − i ω t − a \^ † ( 0 ) e i ω t i \hat{p}(t)=\sqrt{\frac{m\hbar\omega}{2}}\left\\frac{\\hat{a}(0)e\^{-i\\omega t}-\\hat{a}\^\\dagger(0)e\^{i\\omega t}}{i}\\right p^(t)=2mℏω ia\^(0)e−iωt−a\^†(0)eiωt

4. 坐标算符的平均值：与经典谐振子对应

算符的平均值反映物理观测结果，初态 ∣ ψ ( 0 ) ⟩ \ket{\psi(0)} ∣ψ(0)⟩下坐标算符的平均值为：
⟨ x ^ ( t ) ⟩ = ⟨ ψ ( 0 ) ∣ x ^ ( t ) ∣ ψ ( 0 ) ⟩ \langle\hat{x}(t)\rangle=\bra{\psi(0)}\hat{x}(t)\ket{\psi(0)} ⟨x^(t)⟩=⟨ψ(0)∣x^(t)∣ψ(0)⟩

将 x ^ ( t ) \hat{x}(t) x^(t)代入，利用欧拉公式 e i θ + e − i θ = 2 cos ⁡ θ e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos\theta eiθ+e−iθ=2cosθ，可得：
⟨ x ^ ( t ) ⟩ ∝ cos ⁡ ( ω t + ϕ ) \langle\hat{x}(t)\rangle\propto\cos(\omega t+\phi) ⟨x^(t)⟩∝cos(ωt+ϕ)

其中 ϕ \phi ϕ为初相位，这一结果与经典简谐振子的坐标振动规律 完全一致------量子简谐振子的坐标平均值以角频率 ω \omega ω做简谐振动，体现了量子力学的对应原理 （当量子数 n → ∞ n\to\infty n→∞时，量子结果趋近于经典结果）。

六、多简谐振子与连续场量子化：从耦合到简正模式

量子光学中，电磁场是无穷多耦合简谐振子 (振动)的集合，量子化电磁场就相当于量子化简谐振子。因此需要将单简谐振子的结论推广到多谐振子，核心是通过坐标变换（对角化）将耦合的谐振子分解为独立的简正模式，再推广到连续场（如弦振动、电磁场）。

1. 两耦合谐振子的简正模式分解

考虑两个质量均为 m m m、耦合系数为 κ \kappa κ的简谐振子，其经典拉格朗日量为：
L = T − V = 1 2 m x 1 ˙ 2 + 1 2 m x 2 ˙ 2 − 1 2 κ ( x 1 − x 2 ) 2 L=T-V=\frac{1}{2}m\dot{x_1}^2+\frac{1}{2}m\dot{x_2}^2-\frac{1}{2}\kappa \left(x_1-x_2\right)^2 L=T−V=21mx1˙2+21mx2˙2−21κ(x1−x2)2

其中 1 2 m x ˙ 2 \frac{1}{2}m\dot{x}^2 21mx˙2为动能项 T T T， 1 2 κ ( x 1 − x 2 ) 2 \frac{1}{2}\kappa (x_1-x_2)^2 21κ(x1−x2)2为耦合势能项 V V V（势能由两振子的相对位移决定）。

为消去耦合项，做正交坐标变换 （简正坐标），设：
X = 1 2 ( x 1 + x 2 ) ( 质心坐标，中点性质 ) d = 1 2 ( x 1 − x 2 ) ( 相对坐标，距离性质 ) X=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x_1+x_2\right) \quad (\text{质心坐标，中点性质})\\ d=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x_1-x_2\right) \quad (\text{相对坐标，距离性质}) X=2 1(x1+x2)(质心坐标，中点性质)d=2 1(x1−x2)(相对坐标，距离性质)

求导得 X ˙ = 1 2 ( x 1 ˙ + x 2 ˙ ) \dot{X}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\dot{x_1}+\dot{x_2}) X˙=2 1(x1˙+x2˙)， d ˙ = 1 2 ( x 1 ˙ − x 2 ˙ ) \dot{d}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\dot{x_1}-\dot{x_2}) d˙=2 1(x1˙−x2˙)，

因此动能项：
T = 1 2 m ( x 1 ˙ 2 + x 2 ˙ 2 ) = 1 2 m 1 2 ( X ˙ + d ˙ ) 2 + 1 2 ( X ˙ − d ˙ ) 2 = 1 2 m ( X ˙ 2 + d ˙ 2 ) T=\frac{1}{2}m(\dot{x_1}^2+\dot{x_2}^2)=\frac{1}{2}m\left\\frac{1}{2}(\\dot{X}+\\dot{d})\^2+\\frac{1}{2}(\\dot{X}-\\dot{d})\^2\\right=\frac{1}{2}m(\dot{X}^2+\dot{d}^2) T=21m(x1˙2+x2˙2)=21m21(X˙+d˙)2+21(X˙−d˙)2=21m(X˙2+d˙2)

势能项：
V = 1 2 κ ( x 1 − x 2 ) 2 = 1 2 κ ⋅ 2 d 2 = κ d 2 V=\frac{1}{2}\kappa (x_1-x_2)^2=\frac{1}{2}\kappa \cdot 2d^2=\kappa d^2 V=21κ(x1−x2)2=21κ⋅2d2=κd2

因此拉格朗日量分解为无耦合的两项 ：
L = 1 2 m X ˙ 2 ⏟ 自由粒子，无势能 + 1 2 m d ˙ 2 − 1 2 ⋅ 2 κ d 2 ⏟ 单简谐振子，角频率 ω = 2 κ m L=\underbrace{\frac{1}{2}m\dot{X}^2}{\text{自由粒子，无势能}}+\underbrace{\frac{1}{2}m\dot{d}^2-\frac{1}{2}\cdot 2\kappa d^2}{\text{单简谐振子，角频率}\omega=\sqrt{\frac{2\kappa}{m}}} L=自由粒子，无势能 21mX˙2+单简谐振子，角频率ω=m2κ 21md˙2−21⋅2κd2

第一项： 1 2 m X ˙ 2 \boldsymbol{\frac{1}{2}m\dot{X}^2} 21mX˙2（自由粒子，无势能）

• X X X 是质心坐标，描述两个小球的整体平动。
• 因为两个小球之间的弹簧只影响相对运动，不影响整体运动，所以质心不受力，做匀速直线运动，对应「自由粒子」的拉格朗日量（只有动能，没有势能）。

第二项： 1 2 m d ˙ 2 − 1 2 ⋅ 2 κ d 2 \boldsymbol{\frac{1}{2}m\dot{d}^2 - \frac{1}{2}\cdot 2\kappa d^2} 21md˙2−21⋅2κd2（单简谐振子）

• d = x 1 − x 2 d = x_1 - x_2 d=x1−x2 是相对坐标，描述两个小球的相对振动。
• 这个形式完全对应一维简谐振子的拉格朗日量： L 振子 = 1 2 m q ˙ 2 − 1 2 m ω 2 q 2 \displaystyle L_{\text{振子}} = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - \frac{1}{2}m\omega^2 q^2 L振子=21mq˙2−21mω2q2
• 对比可得： m ω 2 = 2 κ ⇒ \displaystyle m\omega^2 = 2\kappa \Rightarrow mω2=2κ⇒ 角频率 ω = 2 κ m \displaystyle \omega = \sqrt{\frac{2\kappa}{m}} ω=m2κ 。

可见：两耦合谐振子通过简正坐标变换，分解为一个自由粒子和一个独立的简谐振子，耦合项被完全消去，这是多谐振子解耦的核心方法。

2. N个耦合谐振子的对角化

对于 N N N个同质量 m m m的耦合谐振子，其拉格朗日量的矩阵形式为：
L = ∑ n 1 2 m x ˙ n 2 − ∑ n , m 1 2 κ m n ( x m − x n ) 2 = 1 2 m X ˙ T ⋅ X ˙ − 1 2 X T ⋅ K ⋅ X L = \sum_{n} \frac{1}{2} m \dot{x}{n}^{2} - \sum{n, m} \frac{1}{2} \kappa_{m n}\left(x_{m}-x_{n}\right)^{2} = \frac{1}{2} m \dot{\mathbf{X}}^{\mathrm{T}} \cdot \dot{\mathbf{X}} - \frac{1}{2} \mathbf{X}^{\mathrm{T}} \cdot \mathbf{K} \cdot \mathbf{X} L=n∑21mx˙n2−n,m∑21κmn(xm−xn)2=21mX˙T⋅X˙−21XT⋅K⋅X

其中 X = ( x 1 , x 2 , ... , x N ) T \mathrm{X}=(x_1,x_2,\dots,x_N)^T X=(x1,x2,...,xN)T为坐标列矢量， K \mathrm{K} K为耦合矩阵 （对称矩阵， K = K T \mathrm{K}=\mathrm{K}^T K=KT，由耦合系数决定）。

根据线性代数的对称矩阵对角化定理 ，对称矩阵可通过正交变换分解为对角矩阵：
K = O ⋅ D ⋅ O T \mathrm{K}=\mathrm{O}\cdot\mathrm{D}\cdot\mathrm{O}^T K=O⋅D⋅OT

其中 O \mathrm{O} O为正交矩阵（ O T O = I \mathrm{O}^T\mathrm{O}=\mathrm{I} OTO=I）， D \mathrm{D} D为对角矩阵（非主对角线元素为0，主对角线元素为 K \mathrm{K} K的特征值）。

做正交坐标变换 Y = O T ⋅ X \mathrm{Y}=\mathrm{O}^T\cdot\mathrm{X} Y=OT⋅X（简正坐标），则拉格朗日量变为：
L = 1 2 m Y ˙ T ⋅ Y ˙ − 1 2 Y T ⋅ D ⋅ Y = ∑ n = 1 N ( 1 2 m y ˙ n 2 − 1 2 K n y n 2 ) L=\frac{1}{2}m\dot{\mathrm{Y}}^T\cdot\dot{\mathrm{Y}}-\frac{1}{2}\mathrm{Y}^T\cdot\mathrm{D}\cdot\mathrm{Y}=\sum_{n=1}^N\left(\frac{1}{2}m\dot{y}_n^2-\frac{1}{2}K_n y_n^2\right) L=21mY˙T⋅Y˙−21YT⋅D⋅Y=n=1∑N(21my˙n2−21Knyn2)

其中， y n y_n yn​是简正坐标 Y Y Y的分量， K n K_n Kn为对角矩阵 D \mathrm{D} D的主对角线元素（ K \mathrm{K} K的特征值），可见：

N个耦合谐振子通过正交对角化，分解为N个独立的简谐振子 ，每个简正模式 y n y_n yn对应一个独立的振动频率 ω n = K n m \omega_n=\sqrt{\frac{K_n}{m}} ωn=mKn 。

3. 连续场的量子化：从分立谐振子到连续谐振子

考虑一段长度为 L L L 的弦，将其等分为 N N N 段，每段的质元位移为 z 1 , z 2 , ... , z N z_1, z_2, \dots, z_N z1,z2,...,zN（分立坐标），则分立弦的拉格朗日量为：

L = ∑ n 1 2 m z ˙ n 2 − 1 2 κ ( z n − z n + 1 ) 2 L = \sum_n \frac{1}{2} m \dot{z}n^2 - \frac{1}{2} \kappa (z_n - z{n+1})^2 L=n∑21mz˙n2−21κ(zn−zn+1)2

当 N → ∞ N \to \infty N→∞ 时，

• 质元的质量 m → d m = ρ d x m \to dm = \rho dx m→dm=ρdx（ ρ \rho ρ 为弦的线密度， d x dx dx 为质元的线度）
• 分立位移 z n → ϕ ( x , t ) z_n \to \phi(x, t) zn→ϕ(x,t)（连续场的振幅，是空间坐标 x x x 和时间 t t t 的函数）
• 相邻质元的位移差 z n + 1 − z n → ∂ x ϕ ⋅ d x z_{n+1} - z_n \to \partial_x \phi \cdot dx zn+1−zn→∂xϕ⋅dx，由偏导数的定义得到：
  ∂ ϕ ∂ x = lim ⁡ Δ x → 0 ϕ ( x + Δ x , t ) − ϕ ( x , t ) Δ x = z n + 1 − z n d x \frac{\partial \phi}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\phi(x + \Delta x, t) - \phi(x, t)}{\Delta x}=\frac{z_{n+1} - z_n}{dx} ∂x∂ϕ=Δx→0limΔxϕ(x+Δx,t)−ϕ(x,t)=dxzn+1−zn

求和变为积分 ，此时连续弦的拉格朗日量从分立形式过渡为积分形式：

L = ∫ 0 L d x { 1 2 ρ ∂ t ϕ ( x , t ) 2 − 1 2 κ ∂ x ϕ ( x , t ) 2 } L = \int_0^L dx \left\{ \frac{1}{2} \rho \\partial_t \\phi(x, t)^2 - \frac{1}{2} \kappa \\partial_x \\phi(x, t)^2 \right\} L=∫0Ldx{21ρ∂tϕ(x,t)2−21κ∂xϕ(x,t)2}

简写为 拉格朗日密度 L \mathcal{L} L 的积分：
L = ∫ d x L ϕ , ∂ μ ϕ L=\int dx\mathcal{L}\left\\phi,\\partial_\\mu\\phi\\right L=∫dxLϕ,∂μϕ

• L \boldsymbol{\mathcal{L}} L：拉格朗日密度 （Lagrangian density，也叫拉格朗日量密度），是单位空间体积（一维中为单位长度）的拉格朗日量，对应展开式中的大括号部分： L = 1 2 ρ ( ∂ t ϕ ) 2 − 1 2 κ ( ∂ x ϕ ) 2 \displaystyle \mathcal{L} = \frac{1}{2}\rho(\partial_t\phi)^2 - \frac{1}{2}\kappa(\partial_x\phi)^2 L=21ρ(∂tϕ)2−21κ(∂xϕ)2
• ρ \rho ρ为弦的线密度， κ \kappa κ为弦的劲度系数。
• ∂ μ ϕ \boldsymbol{\partial_\mu\phi} ∂μϕ：协变导数记号 （ μ = 0 , 1 \mu=0,1 μ=0,1，对应 t , x t,x t,x）， ∂ 0 = ∂ t \partial_0=\partial_t ∂0=∂t， ∂ 1 = ∂ x \partial_1=\partial_x ∂1=∂x，用来统一表示场对时间和空间的偏导数，是相对论/场论的标准简写。
• ∫ d x \boldsymbol{\int dx} ∫dx：省略了积分上下限 0 0 0到 L L L，默认对全空间积分，是场论的通用写法。

4. 傅里叶变换：连续场的简正模式分解

（PS：这部分还不是很理解，后续补）

连续场的拉格朗日量中，势能密度由 ∂ x ϕ ∂_xϕ ∂xϕ决定，说明场在不同空间点的振动存在耦合（空间耦合），需要通过傅里叶变换消去耦合。

连续场的解耦通过傅里叶变换 实现（分立正交变换的连续推广），将场量 ϕ ( x , t ) \phi(x,t) ϕ(x,t)展开为平面波的叠加：
ϕ ( x , t ) = ∑ k = − ∞ ∞ e i k x φ k ( t ) ( k = 2 π n L , n ∈ Z ) \phi \left(x,t\right)=\sum_{k=-\infty }^{\infty}e^{ikx}\varphi_{k} \left(t\right) \quad \left(k=\frac{2\pi n}{L},n\in\mathbb{Z}\right) ϕ(x,t)=k=−∞∑∞eikxφk(t)(k=L2πn,n∈Z)

其中 φ k ( t ) \varphi_k(t) φk(t)为波矢 k k k对应的复振幅，傅里叶逆变换为：
φ k ( t ) = 1 L ∫ 0 L d x e − i k x ϕ ( x , t ) \varphi_k \left(t\right)=\frac{1}{L} \int ^{L}_{0}dxe^{-ikx} \phi\left(x,t\right) φk(t)=L1∫0Ldxe−ikxϕ(x,t)

由于场量 ϕ ( x , t ) \phi(x,t) ϕ(x,t)为实数 （物理可观测），满足 ϕ ∗ ( x , t ) = ϕ ( x , t ) \phi^*(x,t)=\phi(x,t) ϕ∗(x,t)=ϕ(x,t)，因此复振幅满足厄米性条件 ： φ k ∗ ( t ) = φ − k ( t ) \varphi_k^*(t)=\varphi_{-k}(t) φk∗(t)=φ−k(t)，保证了展开式的实数性。

将傅里叶变换代入拉格朗日量，利用平面波的正交归一关系 ：
∫ 0 L d x e i ( k − q ) x = L ⋅ δ k q \int ^L_0dxe^{i(k-q)x}=L\cdot\delta_{kq} ∫0Ldxei(k−q)x=L⋅δkq

（ δ k q \delta_{kq} δkq为克罗内克函数， k = q k=q k=q时为1，否则为0），可将拉格朗日量分解为无穷多独立的简谐振子拉格朗日量 ：
L = ∑ k = − ∞ ∞ ( ρ L 2 ∣ φ k ˙ ∣ 2 − κ k 2 2 ∣ φ k ∣ 2 ) L=\sum^\infty_{k=-\infty}\left(\frac{\rho L}{2} \lvert \dot{\varphi_k}\rvert^2-\frac{\kappa k^2}{2}\lvert \varphi_k\rvert^2\right) L=k=−∞∑∞(2ρL∣φk˙∣2−2κk2∣φk∣2)

每个波矢 k k k对应一个独立的简谐振子，角频率为 ω k = κ k 2 ρ L = k κ ρ L \omega_k=\sqrt{\frac{\kappa k^2}{\rho L}}=k\sqrt{\frac{\kappa}{\rho L}} ωk=ρLκk2 =kρLκ ，这表明：连续场的量子化本质上是对其傅里叶分解后的每个简正模式进行量子化，每个简正模式的量子化对应一个光子的产生和湮灭，这也是电磁场量子化的核心思想。

七、总结

本文通过详细推导，将简谐振子的核心公式层层拆解，核心结论可归纳为以下几点，是量子光学的基础：

1. 升降算符的核心对易关系： a \^ , a \^ † = 1 \\hat{a},\\hat{a}\^\\dagger=1 a\^,a\^†=1，哈密顿量的算符形式： H ^ = ℏ ω ( a ^ † a ^ + 1 2 ) \hat{H}=\hbar\omega\left(\hat{a}^\dagger\hat{a}+\frac{1}{2}\right) H^=ℏω(a^†a^+21)；
2. 简谐振子的能量本征值： E n = ( n + 1 2 ) ℏ ω E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega En=(n+21)ℏω，存在零点能 E 0 = 1 2 ℏ ω E_0=\frac{1}{2}\hbar\omega E0=21ℏω，是量子效应的体现；
3. 升降算符对Fock态的作用： a ^ † ∣ n ⟩ = n + 1 ∣ n + 1 ⟩ \hat{a}^\dagger\ket{n}=\sqrt{n+1}\ket{n+1} a^†∣n⟩=n+1 ∣n+1⟩， a ^ ∣ n ⟩ = n ∣ n − 1 ⟩ \hat{a}\ket{n}=\sqrt{n}\ket{n-1} a^∣n⟩=n ∣n−1⟩，Fock态表达式： ∣ n ⟩ = ( a ^ † ) n n ! ∣ 0 ⟩ \ket{n}=\frac{(\hat{a}^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}\ket{0} ∣n⟩=n! (a^†)n∣0⟩；
4. 坐标表象下基态波函数为高斯函数，激发态波函数为基态波函数的微分运算结果，与厄米多项式相关；
5. 多耦合谐振子通过正交对角化 解耦为独立简正模式，连续场通过傅里叶变换分解为无穷多独立简谐振子，电磁场的量子化本质是简正模式的量子化。

简谐振子的量子化方法是量子光学的基石，后续光场的量子化、光子的产生与湮灭、光场的相干性等内容均基于此模型展开，掌握本文的推导逻辑，才能更好地理解后续量子光学的核心内容。

参考资料

1. 量子光学笔记（一）：简谐振子 在参考学习的同时，本文对其进行详细补充说明