【力扣100题】40.二叉树中的最大路径和

题目描述

二叉树中的路径被定义为一条节点序列，序列中每对相邻节点之间都存在一条边。同一个节点在一条路径序列中至多出现一次。该路径至少包含一个节点，且不一定经过根节点。

路径和是路径中各节点值的总和。

给你一个二叉树的根节点 root，返回其最大路径和。

示例 1：

输入：root = [1,2,3]
输出：6
解释：最优路径是 2 -> 1 -> 3 ，路径和为 2 + 1 + 3 = 6

树结构：
    1
   / \
  2   3

路径 2→1→3：2+1+3=6

示例 2：

输入：root = [-10,9,20,null,null,15,7]
输出：42
解释：最优路径是 15 -> 20 -> 7 ，路径和为 15 + 20 + 7 = 42

树结构：
      -10
       /
      9
       \
       20
      /  \
     15   7

路径 15→20→7：15+20+7=42

提示：

• 树中节点数目范围是 [1, 3 * 10^4]
• -1000 <= Node.val <= 1000

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解题思路总览

方法	思路	时间复杂度	空间复杂度	适用场景
后序遍历 + 最大贡献值	计算每个节点能为父路径提供的最大贡献，O(1) 更新全局最大	O(n)	O(h)	面试首选

核心原理：

• 最大路径和 = 节点值 + max(0, 左子树最大贡献) + max(0, 右子树最大贡献)
• 最大贡献值 = max(0, 节点值 + max(左贡献, 右贡献))，只能选一条边往上走

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后序遍历 + 最大贡献值（推荐）

思路

这是一道经典的后序遍历变形题，核心思想：

1. 最大路径和：路径可以从任意节点开始，到任意节点结束。但经过某个节点的最大路径和 = 节点值 + 左子树最大贡献 + 右子树最大贡献（左右贡献取正的）

2. 最大贡献值：对于父节点来说，子节点只能"贡献"一条路径上来的值。所以一个节点能贡献给父节点的最大值 = max(0, 节点值 + max(左贡献, 右贡献))，因为贡献必须往上走，不能分叉

3. 全局记录 ：用 ans 记录所有节点作为"拐点"时的最大路径和

完整代码

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    int ans = INT_MIN;  // 全局最大路径和

    int dfs(TreeNode* node) {
        if (!node) return 0;  // 空节点贡献为 0

        // 递归计算左右子树的贡献值（如果为负则取 0，表示不往下走）
        int l = dfs(node->left);
        int r = dfs(node->right);

        // 更新全局最大路径和：
        // 路径可以是：左子树 → node → 右子树，或者只有其中一边，或者只有 node 自己
        ans = max(ans, l + r + node->val);

        // 返回该节点能为父路径贡献的最大值（只能选一条路径往上走）
        // 如果贡献是负数，则不贡献（取 0）
        return max(0, max(l, r) + node->val);
    }

    int maxPathSum(TreeNode* root) {
        dfs(root);
        return ans;
    }
};

算法流程图

以示例 2 为例，root = [-10,9,20,null,null,15,7]：

树结构：
       -10
        /
       9
        \
        20
       /  \
      15   7

后序遍历过程：

Step 1: dfs(15)
  l = dfs(null) = 0
  r = dfs(null) = 0
  ans = max(-inf, 0+0+15) = 15
  return max(0, max(0,0)+15) = 15

Step 2: dfs(7)
  l = dfs(null) = 0
  r = dfs(null) = 0
  ans = max(15, 0+0+7) = 15
  return max(0, max(0,0)+7) = 7

Step 3: dfs(20)
  l = dfs(15) = 15
  r = dfs(7) = 7
  ans = max(15, 15+7+20) = max(15, 42) = 42
  return max(0, max(15,7)+(-10)) = max(0, 15-10) = 5

Step 4: dfs(9)
  l = dfs(null) = 0
  r = dfs(20) = 5
  ans = max(42, 0+5+9) = max(42, 14) = 42
  return max(0, max(0,5)+9) = 14

Step 5: dfs(-10)
  l = dfs(9) = 14
  r = dfs(null) = 0
  ans = max(42, 14+0+(-10)) = max(42, 4) = 42
  return max(0, max(14,0)+(-10)) = max(0, 4) = 4

最终 ans = 42

逐行解析

int ans = INT_MIN;  // 全局最大路径和

• 初始化为 INT_MIN，因为节点值可能都是负数。
• ans 记录遍历过程中遇到的最大路径和。

int dfs(TreeNode* node) {
    if (!node) return 0;  // 空节点贡献为 0

• 递归终止条件：空节点返回 0，表示没有贡献。

    int l = dfs(node->left);
    int r = dfs(node->right);

• 递归计算左子树和右子树的最大贡献值。
• 这里用的是后序遍历（左右根），确保先处理子树，再处理根。

    ans = max(ans, l + r + node->val);

• 更新全局最大路径和：
• l + r + node->val 表示经过当前节点的路径和（左边贡献 + 根 + 右边贡献）
• 这种路径的特点是：拐点在这里，可以同时走左右两边
• 注意：l 和 r 可能是负数，但在计算路径和时，负数会拉低总和，所以不会影响最大值

    return max(0, max(l, r) + node->val);

• 返回该节点对父路径的最大贡献：
• 只能选一条路径（左边或右边），所以取 max(l, r)
• 加上当前节点值 node->val
• 如果结果为负数，返回 0 表示不贡献（路径没必要往上走）

复杂度分析

复杂度	值	说明
时间	O(n)	每个节点访问一次
空间	O(h)	递归栈深度，h 为树高

优点： 一次遍历搞定，时间效率高
缺点： 需要理解"贡献值"的概念

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关键概念区分

概念	定义	用途
最大路径和	经过树中任意节点的最大路径的和	最终答案
最大贡献值	一个节点能为父路径贡献的最大值（只能走一条边往上）	递归返回值

为什么贡献值只能选一条边？

因为父路径只能从一个方向上来，不能同时从两边拐上来再往上走。所以一个节点对父节点的贡献，只能选择左子树或右子树中贡献较大的那个。

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面试追问 FAQ

问题	解答
Q1：为什么 l + r + node->val 能代表经过当前节点的最大路径和？	因为后序遍历保证了左右子树的贡献值 l 和 r 都已经是各自子树中能贡献给父节点的最大值。当路径"经过"当前节点时，可以同时吸收左子树和右子树的贡献（因为路径可以在当前节点拐弯）。所以 l + r + node->val 就是以当前节点为拐点的最大路径和。
Q2：为什么要用 max(0, ...) 限制贡献值？	因为路径可以"不走"某个子树。如果某个子树对路径的贡献是负数，那还不如不选这条路径，直接把贡献值设为 0 即可。这确保了贡献值永远是非负的，不会拉低路径和。
Q3：为什么全局 ans 初始值是 INT_MIN？	因为节点值可能是负数。如果树中只有一个节点且值为负，ans 应该就是这个负数。所以需要用一个很小的初始值来确保正确答案能被正确更新。
Q4：为什么返回值是 max(l, r) + node->val 而不是 l + r + node->val？	因为返回值表示的是"该节点对父节点的贡献"。父路径只能从一边上来（从上往下走），不能同时从两边拐。所以只能选 max(l, r) 而不是 l + r。
Q5：为什么返回值要取 max(0, ...)？	如果 max(l, r) + node->val 是负数，说明当前节点对任何路径都是"拖后腿"的，父路径不应该包含这个节点。所以返回 0 表示"不贡献"，相当于路径在这里结束或根本不走这条分支。
Q6：这道题和 437 题（路径总和 III）有什么区别？	437 题要求路径必须向下（父子关系），但可以有多个起点和终点。本题更通用，路径可以是任意形状（可以拐弯）。437 题用前缀和 + HashMap 解决；本题用后序遍历 + 贡献值解决。

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相关题目

题目	难度	关键点
124. 二叉树中的最大路径和	困难	后序遍历，贡献值
437. 路径总和 III	中等	前缀和，HashMap
112. 路径总和	简单	从根到叶子的路径和
129. 求根到叶子节点数字之和	中等	路径遍历变形

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总结

要点	说明
核心原理	后序遍历计算每个节点的贡献值，O(1) 更新全局最大路径和
最大路径和	ans = max(ans, l + r + node->val)，经过当前节点的路径和
最大贡献值	return max(0, max(l, r) + node->val)，只能选一条边往上走
为什么要 max(0,...)	贡献值不能为负，否则会拉低路径和，直接取 0 即可
时间复杂度	O(n)，每个节点访问一次
空间复杂度	O(h)，递归栈深度

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