1. 定义与对应关系
SO(3)（特殊正交群）是三维旋转矩阵的集合：
SO(3) = { R ∈ ℝ³ˣ³ | RᵀR = I, det(R) = 1 }
so(3) 是 SO(3) 在单位元处的切空间，由所有 3×3 反对称矩阵组成：
so(3) = { φ∧ ∈ ℝ³ˣ³ | φ∧ᵀ = −φ∧ }
其中 φ = (φ₁, φ₂, φ₃)ᵀ 是一个三维向量，φ∧ 是其反对称矩阵：
φ∧ = [ 0 −φ₃ φ₂ ]
φ₃ 0 −φ₁
−φ₂ φ₁ 0
核心映射关系：
- 指数映射（so(3) → SO(3)）：exp(φ∧) = R（即罗德里格斯公式）
- 对数映射（SO(3) → so(3)）：log(R) = φ∧
- hat 映射（向量 → 反对称矩阵）：φ∧ = hat(φ)
- vee 映射（反对称矩阵 → 向量）：φ = vee(φ∧)
2. 怎么从so(3) 变回 SO(3)：绕 Z 轴旋转 90°
设旋转向量 φ = (0, 0, π/2)ᵀ，即绕 Z 轴旋转 90°。 （Ps:个人认为 φ就是惯导里面讲的等效旋转矢量）
步骤一：构造 so(3) 反对称矩阵
φ∧ = [ 0 −π/2 0 ]
π/2 0 0
0 0 0
步骤二：指数映射得到旋转矩阵
利用罗德里格斯公式：R = I + (sinθ/θ)·φ∧ + ((1−cosθ)/θ²)·(φ∧)²
其中 θ = π/2，sinθ = 1，cosθ = 0：
R = [ 0 −1 0 ]
1 0 0
0 0 1
这正是绕 Z 轴旋转 90° 的标准旋转矩阵。
步骤三：对数映射（反向验证）
Tr(R)是R的迹：1；
从 R 可以提取转角 θ = arccos((Tr(R)−1)/2) = arccos(0) = π/2，转轴为 (0,0,1)，恢复出 φ = (0, 0, π/2)。
怎么从 SO(3) 变回 so(3)？------对数映射
给定一个旋转矩阵 RR，要找回它的旋转向量，先求转角
θ = arccos((Tr(R)−1)/2)
然后反对称矩阵部分由下式给出：
从反对称矩阵中读出 (ux,uy,uz)，就得到了单位转轴，再乘上 θ 就是 so(3) 的向量形式。