动态规划专题Day1——打家劫舍系列

最近很久没有刷算法了感觉脑子被糊住了，因此复习一些基本的算法，路线参考自Claude Ops4.7体感下来确实是很好的路线。

Day1主要是从一维到环形到树形，理解"选 / 不选"两个状态，但是个人感觉这一部分其实是最简单的DP题目，尤其是再定义转移公式的时候完全不用动脑子

题号	题名	难度	备注
70	爬楼梯	简单	热身 5 min，写出空间优化版
198	打家劫舍	中等	Hot 100 复习，这次必须写出滚动数组版
213	打家劫舍 II	中等	环形 → 拆成两次线性
337	打家劫舍 III	中等	树形 DP 入门题，返回二元组 $偷, 不偷$

LC 70 爬楼梯

题目

出现的问题主要是这里dp $0$ 的值到底是多少：

复制代码

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        // dp[i]表示从0到第i阶有多少种方法
        if(n < 2)return 1;
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[0] = 0; // 这里应该是1
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2;i <= n;i++){
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
}

因为DP 里的 dp $0$ 不是在问"动作"，而是在问"有多少种方案能让我停在第 0 阶 "。那因此答案是：有 1 种 ------ 就是「啥也不做」这一种

当然其实也可以从 dp $2$ 开始定义初值（绕开 dp $0$ 的哲学问题）

第一题主要出现的问题就是再定义dp $0$ 的时候其实是没有想清楚的，dp定义是从0到0没有别的方法因此是1，但是不小心理解为0到0不需要操作因此不存在方法，这个确实仔细想想是有问题的

LC 198 打家劫舍

题目

出现的问题主要是这里dp $1$ 的值的计算方式：

复制代码

class Solution {
    public int rob(int[] nums) {
        // dp[i]表示在i号房屋之前(从0开始)可以偷到的最多的钱
        if(nums.length < 2)return nums[0];
        int[] dp = new int[nums.length];
        dp[0] = nums[0];
        dp[1] = nums[1]; // 这里应该是dp[1] = Math.max(nums[0],nums[1]);
        for(int i = 2;i < dp.length;i++){
            dp[i] = Math.max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i]);
        }

        return dp[nums.length-1];
    }
}

主要是其实就算是dp $1$ 其实也是符合**dp[i] = Math.max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i]);**的关系式子的，只是因为没有dp $-1$ 而单独拎出来的而已。因此主要是初始化的问题

这个题其实更多的是自己粗心导致的问题，再dp $1$ 初始化的时候没有想清楚就动笔了，千万要记住dp数组初始化是最关键的两个步骤中的一个一定需要仔细了

LC 213 打家劫舍II →成环

题目

class Solution {
public int rob(int[] nums) {
// 两种情况进行讨论
int[] dp = new int[nums.length];
// 先考虑如果第一家开始偷了
if(nums.length < 2)return nums[0];
dp[0] = nums[0];
dp[1] = nums[0];
for(int i = 2;i < nums.length - 1;i++){
dp[i] = Math.max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i]);
}
int max = dp[nums.length - 2]; // 主要需要注意这里
//如果第一家不去偷
dp[0] = 0;
dp[1] = nums[1];
for(int i = 2;i < nums.length;i++){
dp[i] = Math.max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i]);
}
max = Math.max(max,dp[nums.length - 1]);
return max;
}
}

主要的错误就是**第一个地方的max应该是dp[nums.length - 2]，因为最后一个不允许偷盗。**而下面的第一家不偷，因此最大值才在dp[nums.length - 1]

这个题目分类讨论的想法我是想到了的，但是对于这里int max = dp[nums.length - 2]这一部分的时候定义一定需要注意，因为我第一次就是写错了的

而成环和不成环其实很多题目都是用这种思想来进行处理的->使用分类讨论等方法将其转换成普通的不成环的题目，然后正常求解

LC 337 打家劫舍III →数状

题目

class Solution {
public int rob(TreeNode root) {
int[] x = robSub(root);
return Math.max(x[0],x[1]);
}

复制代码

  private int[] robSub(TreeNode root){
      int[] x = new int[2];
      if(root == null)return x;
      // int[0]表示不偷当前节点
      int[] l = robSub(root.left);
      int[] r = robSub(root.right);
      x[0] = l[1] + r[1]; // 这个地方不应该强制子节点去偷，而是选择里面最大的方案
      // x[0] = Math.max(l[0],l[1]) + Math.max(r[0],r[1]);
      x[1] = l[0] + r[0] + root.val;
      return x;
  }

}

这个题目最主要的问题就是不应该是x[0] = l[1] + r[1];，而应该x[0] = Math.max(l[0],l[1]) + Math.max(r[0],r[1]); 因为如果是前者就相当于不偷当前节点但是强制偷子节点，显然这个不一定是最大的，因此这里需要一个继续的取舍抉择，有一个最大值

这个题目虽然说是dp问题，而且确实使用了数组进行了记忆，但是其实这个更多意义上是一个标准的树的递归求解思路，这里递归求解的时候一定需要注意这里面的公式呀，因为我就是这么出错的呢，没办法还是太菜了