图论入门：拓扑排序实战指南

一、上期回顾 Day29

掌握 BFS 广度优先搜索，队列层序遍历，求解迷宫、二叉树层序、无权最短路径。今天进入图论入门，学习图存储与拓扑排序，解决有向图任务依赖问题。

二、图基础概念

1. 顶点：图中的节点
2. 边：节点之间的连接关系
3. 有向图：边有方向，A→B 不等于 B→A
4. 无向图：边无方向，双向连通
5. 入度：指向当前节点的边数量
6. 出度：从当前节点出发的边数量

三、图常用存储：邻接表

刷题首选邻接表，节省空间、遍历高效

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

const int N = 1005;
vector<int> edge[N];  // 邻接表
int inDegree[N];      // 记录每个点入度

四、拓扑排序核心思想

适用场景：有先后依赖关系的任务排序

1. 不断选取入度为 0的节点输出
2. 删除该节点所有出边，相邻节点入度 - 1
3. 重复操作直到所有节点输出
4. 最终输出节点数≠总节点数 → 图存在环，无法排序

五、拓扑排序 BFS 标准模板

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;

const int N = 1005;
vector<int> edge[N];
int inDegree[N];
vector<int> res;

// n个顶点，m条边
bool topoSort(int n, int m)
{
    queue<int> q;
    // 入度为0节点入队
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if(inDegree[i] == 0)
            q.push(i);
    }

    while(!q.empty())
    {
        int u = q.front();
        q.pop();
        res.push_back(u);

        // 遍历所有邻接点
        for(int v : edge[u])
        {
            inDegree[v]--;
            if(inDegree[v] == 0)
                q.push(v);
        }
    }
    // 节点数量相等无环，否则有环
    return res.size() == n;
}

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0; i < m; i++)
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        edge[a].push_back(b);
        inDegree[b]++;
    }

    bool ok = topoSort(n, m);
    if(ok)
    {
        for(int x : res)
            cout << x << " ";
    }
    else
        cout << "图中存在环路，无法拓扑排序";
    return 0;
}

六、拓扑排序典型场景

1. 课程先后选修安排
2. 项目任务依赖执行顺序
3. 编译文件依赖排序
4. 判断有向图是否存在环

七、拓扑排序关键点

1. 依赖关系 A→B：A 先执行，B 后执行
2. 每次只选无前置依赖（入度 0）节点
3. 统计最终输出个数，快速判环
4. 基于 BFS 队列实现，逻辑简单不易出错

八、今日核心总结

1. 图存储优先使用邻接表
2. 拓扑排序专门解决有向图依赖排序
3. 核心：入度清零出队，递减邻接点入度
4. 输出节点总数判断是否存在环路
5. 队列 BFS 写法通用性最强

九、课后练习

1. 搭建简单有向图，运行拓扑排序输出执行顺序
2. 手动构造带环图，验证判环效果