实分析入门：Cantor 集
在前面几篇文章里，我们已经讲了测度、外测度、Lebesgue 测度这些内容。现在我们来看一个非常经典、也非常反直觉的集合：Cantor 集。Cantor 集之所以重要，是因为它同时具有很多看起来"不应该同时出现"的性质：
- 它是闭集，所以是 Borel 集；
- 它没有任何区间，甚至内部为空；
- 它的 Lebesgue 测度是 000；
- 但是它又是不可数集，而且和 0,10,10,1 一样多。
也就是说，Cantor 集是一个"长度为 000，但点又多到不可数"的集合。这个例子非常适合帮助我们理解：测度意义上的大小 和基数意义上的多少其实是两回事。
Cantor 集的构造
第一步，去掉中间的三分之一：
U1,1=(13,23). U_{1,1}=\left(\frac13,\frac23\right). U1,1=(31,32).
这时剩下
0,13∪23,1. \left0,\\frac13\\right\cup\left\\frac23,1\\right. 0,31∪32,1.
第二步，再从剩下的两个小区间中分别去掉它们中间的三分之一：
U2,1=(19,29),U2,2=(79,89). U_{2,1}=\left(\frac19,\frac29\right), \qquad U_{2,2}=\left(\frac79,\frac89\right). U2,1=(91,92),U2,2=(97,98).
第三步继续这样做：从每个剩下的小闭区间里去掉中间的三分之一。
所以第 jjj 步一共会去掉
2j−1 2^{j-1} 2j−1
个开区间，每个开区间的长度都是
13j. \frac{1}{3^j}. 3j1.
讲义里把第 jjj 步去掉的这些开区间记作
Uj,1,Uj,2,⋯ ,Uj,2j−1. U_{j,1},U_{j,2},\cdots,U_{j,2^{j-1}}. Uj,1,Uj,2,⋯,Uj,2j−1.
比如：
U1,1=(13,23), U_{1,1}=\left(\frac13,\frac23\right), U1,1=(31,32),
U2,1=(19,29),U2,2=(79,89). U_{2,1}=\left(\frac19,\frac29\right), \qquad U_{2,2}=\left(\frac79,\frac89\right). U2,1=(91,92),U2,2=(97,98).
然后令
On=⋃j=1n⋃k=12j−1Uj,k, O_n=\bigcup_{j=1}^{n}\bigcup_{k=1}^{2^{j-1}}U_{j,k}, On=j=1⋃nk=1⋃2j−1Uj,k,
也就是前 nnn 步被挖掉的所有开区间的并。
再令
Cn=0,1∖On. C_n=0,1\setminus O_n. Cn=0,1∖On.
也就是说，CnC_nCn 是前 nnn 步挖完之后剩下的集合。
最后定义 Cantor 集为
C=⋂n=1∞Cn. C=\bigcap_{n=1}^{\infty}C_n. C=n=1⋂∞Cn.
也就是说，Cantor 集就是在这个"不断挖掉中间三分之一"的过程中，永远没有被挖掉的那些点。
直觉上的误解
看到这个构造之后，很多人第一反应会觉得：我们一直在挖区间，而且越挖越多，那最后剩下来的东西是不是只剩下一些端点？比如这些点：
13,23,19,29,79,89,⋯ \frac13,\frac23,\frac19,\frac29,\frac79,\frac89,\cdots 31,32,91,92,97,98,⋯
确实，这些端点都属于 Cantor 集，因为每次我们去掉的是开区间，端点并没有被去掉。但是 Cantor 集远远不止这些端点。这些端点只有可数多个，因为每一步只产生有限多个端点，总共是可数个有限集合的并。但是 Cantor 集本身是不可数的。所以 Cantor 集的反直觉之处就在这里：
C 不是一堆可数端点，而是一个不可数的零测集。 \boxed{ C\text{ 不是一堆可数端点，而是一个不可数的零测集。} } C 不是一堆可数端点，而是一个不可数的零测集。
用三进制展开理解 Cantor 集
我们说了这么久 Cantor 集里有不可数个点，但是这到底是为什么呢？根据 Cantor 集的构造方式，我们可以很自然的想到用三进制来表示 Cantor 集里的点
当然，我直接这么说的话可能没这么自然，但是我们用 101010 进制打个比方就非常好理解了：在 Cantor 集中，我们每次把集合等分成 333 份，而如果用 101010 进制举例的话我们就考虑把集合等分成 101010 份：
(0,0.1),(0.1,0.2),(0.2,0.3),(0.3,0.4),(0.4,0.5),(0.5,0.6),(0.6,0.7),(0.7,0.8),(0.8,0.9),(0.9,1.0) (0, 0.1) , (0.1, 0.2), (0.2, 0.3), (0.3, 0.4), (0.4, 0.5), (0.5, 0.6), (0.6, 0.7), (0.7, 0.8), (0.8, 0.9), (0.9, 1.0) (0,0.1),(0.1,0.2),(0.2,0.3),(0.3,0.4),(0.4,0.5),(0.5,0.6),(0.6,0.7),(0.7,0.8),(0.8,0.9),(0.9,1.0)
于是我们可以发现，在十进制小数中，第 iii 个区间（也就是 (0.(i−1),0.i)(0.(i-1), 0.i)(0.(i−1),0.i)）中的数字 xxx 的十分位肯定就是 i−1i - 1i−1，如果我们接着对小区间再进行划分，比如把 (0,7,0.8)(0,7,0.8)(0,7,0.8) 再等分成 101010 份，然后再取比如说第 333 个区间，那么这个区间里数字 yyy 的十进制小数表示的百分位就肯定是 222。于是我们可以说这个区间中的所有数字都是 0.72xyz....0.72xyz....0.72xyz.... 这样的形式
类比到 Cantor 集上也是一样的，我们每次三等分并把中间的那一个集合剔除，也就是说在三进制小数表示下，我们第一次把第一位为 111 的所有数字剔除掉了，第二次把第二位为 111 的所有数字剔除掉了，第三次把第三位为 111 的所有数字剔除掉了...
所以我们生下来的数字都只是这种形式：
{x∣x=0.a1a2a3⋯三进制,aj∈{0,2}} \{ x | x = 0.a_1a_2a_3\cdots \text{三进制}, a_j \in \{ 0, 2\} \} {x∣x=0.a1a2a3⋯三进制,aj∈{0,2}}
具体来说，任意 x∈0,1x\in0,1x∈0,1 都可以写成三进制小数：
x=∑j=1∞aj3j,aj∈{0,1,2}. x=\sum_{j=1}^{\infty}\frac{a_j}{3^j}, \qquad a_j\in\{0,1,2\}. x=j=1∑∞3jaj,aj∈{0,1,2}.
也就是
x=0.a1a2a3⋯三进制. x=0.a_1a_2a_3\cdots\quad \text{三进制}. x=0.a1a2a3⋯三进制.
不过要注意，三进制展开不一定唯一,有些点会有两种写法。比如
13=0.1000⋯3=0.0222⋯3, \frac13=0.1000\cdots_3=0.0222\cdots_3, 31=0.1000⋯3=0.0222⋯3,
89=0.22000⋯3=0.21222⋯3. \frac89=0.22000\cdots_3=0.21222\cdots_3. 98=0.22000⋯3=0.21222⋯3.
这和十进制里
0.999⋯=1.000⋯ 0.999\cdots=1.000\cdots 0.999⋯=1.000⋯
是同一个现象。
现在我们来看 Cantor 集和三进制的关系，第一步去掉的是
(13,23). \left(\frac13,\frac23\right). (31,32).
这对应三进制展开中第一位是 111 的那些数，也就是
0.1a2a3⋯3. 0.1a_2a_3\cdots_3. 0.1a2a3⋯3.
第二步去掉的是
(19,29)和(79,89). \left(\frac19,\frac29\right) \quad\text{和}\quad \left(\frac79,\frac89\right). (91,92)和(97,98).
这对应第一位不是 111，但是第二位是 111 的那些数，继续这样看下去，第 jjj 步去掉的就是：前面 j−1j-1j−1 位只出现 000 或 222，但是第 jjj 位出现 111 的那些数，所以一个点没有被任何一步去掉，当且仅当它存在一个三进制展开，其中没有数字 111。因此 Cantor 集可以写成：
C={∑j=1∞aj3j:aj∈{0,2}}. C= \left\{ \sum_{j=1}^{\infty}\frac{a_j}{3^j}: a_j\in\{0,2\} \right\}. C={j=1∑∞3jaj:aj∈{0,2}}.
换句话说：
C 就是那些三进制展开中只含 0 和 2 的点。 \boxed{ C\text{ 就是那些三进制展开中只含 }0\text{ 和 }2\text{ 的点。} } C 就是那些三进制展开中只含 0 和 2 的点。
这个刻画非常重要，后面证明 Cantor 集不可数的时候就会用到它。
Cantor 集是闭集，因此是紧集
接下来我们来看 Cantor 集的一些性质，首先，Cantor 集是闭集。
为什么呢？因为每一步挖掉的 OnO_nOn 都是开集的有限并，所以 OnO_nOn 是开集。于是 Cn=0,1∖OnC_n=0,1\setminus O_nCn=0,1∖On 是闭集，而 Cantor 集是这些闭集的交：
C=⋂n=1∞Cn. C=\bigcap_{n=1}^{\infty}C_n. C=n=1⋂∞Cn.
任意多个闭集的交仍然是闭集，所以 CCC 是闭集。
又因为
C⊂0,1, C\subset0,1, C⊂0,1,
所以 CCC 有界。因此 CCC 是闭且有界的子集，在 R\mathbb RR 里，闭且有界就意味着紧，所以 CCC 是紧集。
Cantor 集的测度为 000
Cantor 集最重要的性质之一是：
m(C)=0. m(C)=0. m(C)=0.
也就是说，Cantor 集虽然不可数，但它的 Lebesgue 测度是 000。
我们来算一下，第一步后剩下两个长度为 1/31/31/3 的闭区间，所以剩下总长度是：
2⋅13=23. 2\cdot\frac13=\frac23. 2⋅31=32.
第二步后剩下四个长度为 1/91/91/9 的闭区间，所以剩下总长度是
4⋅19=(23)2. 4\cdot\frac19=\left(\frac23\right)^2. 4⋅91=(32)2.
第 nnn 步后，剩下 2n2^n2n 个闭区间，每个长度是 13n\frac{1}{3^n}3n1，因此：
m(Cn)=2n⋅13n=(23)n. m(C_n)=2^n\cdot\frac{1}{3^n}=\left(\frac23\right)^n. m(Cn)=2n⋅3n1=(32)n.
又因为
C=⋂n=1∞Cn, C=\bigcap_{n=1}^{\infty}C_n, C=n=1⋂∞Cn,
并且
C1⊃C2⊃C3⊃⋯ , C_1\supset C_2\supset C_3\supset\cdots, C1⊃C2⊃C3⊃⋯,
所以由测度的从上连续性，
m(C)=limn→∞m(Cn). m(C)=\lim_{n\to\infty}m(C_n). m(C)=n→∞limm(Cn).
因此
m(C)=limn→∞(23)n=0. m(C)=\lim_{n\to\infty}\left(\frac23\right)^n=0. m(C)=n→∞lim(32)n=0.
这说明 Cantor 集在测度意义下非常小，小到长度为 000。
Cantor 集是不可数集
现在最反直觉的地方来了：虽然
m(C)=0, m(C)=0, m(C)=0,
但是 CCC 不是可数集，而是不可数集，并且它的基数和整个区间 0,10,10,1 一样大。证明的关键就是刚刚的三进制刻画，如果
x∈C, x\in C, x∈C,
那么它可以写成
x=∑j=1∞aj3j,aj∈{0,2}. x=\sum_{j=1}^{\infty}\frac{a_j}{3^j}, \qquad a_j\in\{0,2\}. x=j=1∑∞3jaj,aj∈{0,2}.
现在我们把三进制里的数字 000 和 222 变成二进制里的数字 000 和 111，定义映射
f:C→0,1 f:C\to0,1 f:C→0,1
为
f(x)=∑j=1∞aj/22j. f(x)=\sum_{j=1}^{\infty}\frac{a_j/2}{2^j}. f(x)=j=1∑∞2jaj/2.
也就是说：
- 如果 aj=0a_j=0aj=0，就变成二进制数字 000；
- 如果 aj=2a_j=2aj=2，就变成二进制数字 111。
比如
0.202200⋯3 0.202200\cdots_3 0.202200⋯3
会被映到
0.101100⋯2. 0.101100\cdots_2. 0.101100⋯2.
这样一来，f(x)f(x)f(x) 就是一个 0,10,10,1 中的二进制小数，反过来，0,10,10,1 中任意一个二进制小数
0.b1b2b3⋯2,bj∈{0,1}, 0.b_1b_2b_3\cdots_2, \qquad b_j\in\{0,1\}, 0.b1b2b3⋯2,bj∈{0,1},
都可以来自一个 Cantor 集里的点，只要把二进制数字 0,10,10,1 分别改成三进制数字 0,20,20,2 即可，所以这个映射 fff 是满射：
f(C)=0,1. f(C)=0,1. f(C)=0,1.
因此 Cantor 集至少和 0,10,10,1 一样多。另一方面，C⊂0,1C\subset0,1C⊂0,1，所以 Cantor 集又不可能比 0,10,10,1 更多，最后得到：
#(C)=#(0,1). \#(C)=\#(0,1). #(C)=#(0,1).
这说明 Cantor 集是不可数的，而且和整个区间 0,10,10,1 有相同的基数。到这里就出现了一个非常有意思的现象：
C 的长度为 0，但 C 的点和 0,1 一样多。 \boxed{ C\text{ 的长度为 }0，\text{但 }C\text{ 的点和 }0,1\text{ 一样多。} } C 的长度为 0，但 C 的点和 0,1 一样多。
所以测度意义下的"小"和基数意义下的"少"完全不是一回事。
Cantor 集没有内部点
接下来我们看一个拓扑性质：Cantor 集没有内部点，也就是说
int(C)=∅. \operatorname{int}(C)=\varnothing. int(C)=∅.
这句话的意思是：Cantor 集里面不包含任何非空开区间。
为什么呢？直觉上，因为构造 Cantor 集的时候，我们在每个尺度上都不断挖掉中间三分之一，所以任何一个小区间，只要你放大去看，总会碰到某一步被挖掉的开区间，更具体地说，任取一个开区间
(a,b)⊂0,1. (a,b)\subset0,1. (a,b)⊂0,1.
由于我们不断把区间三等分，最终一定可以找到某个三进制小区间，它完全落在 (a,b)(a,b)(a,b) 里面。而在下一步构造中，这个小区间的中间三分之一会被挖掉，因此 (a,b)(a,b)(a,b) 不可能完全包含在 CCC 里，所以 Cantor 集不包含任何非空开区间，即
int(C)=∅. \operatorname{int}(C)=\varnothing. int(C)=∅.
因为 CCC 是闭集，且内部为空，所以它是 nowhere dense，也就是无处稠密集。
Cantor 集是完美集
Cantor 集还有一个很重要的性质：它是完美集。这时候就有人要问了：完美集是什么（（（
如果一个集合 EEE 等于它自己的所有聚点构成的集合，也就是说
E=E′, E=E', E=E′,
那么我们称 EEE 是完美集。
换句话说，完美集里的每一个点都不是孤立点。每个点附近都还能找到这个集合里的其他点。
Cantor 集为什么是完美的呢？从构造上看，任意一个 x∈Cx\in Cx∈C，在第 nnn 步之后，xxx 一定落在某个长度为
3−n 3^{-n} 3−n
的闭区间里。这个闭区间的两个端点也都属于 Cantor 集。当 n→∞n\to\inftyn→∞ 时，这些闭区间长度趋于 000。所以我们可以在离 xxx 任意近的地方找到 Cantor 集里的其他点，因此 xxx 是 Cantor 集的聚点。由于 x∈Cx\in Cx∈C 任意，所以 Cantor 集中每个点都是聚点。再加上 CCC 是闭集，它包含所有自己的聚点，于是
C=C′. C=C'. C=C′.
所以 Cantor 集是完美集。
Cantor 集是完全不连通的
在 R\mathbb RR 里，这个性质可以这样理解：如果 x,y∈Cx,y\in Cx,y∈C 且
x<y, x<y, x<y,
那么在 xxx 和 yyy 中间，一定可以找到一个点 zzz，使得
z∉C. z\notin C. z∈/C.
也就是说，Cantor 集中任意两个不同点之间，总会被外面的点隔开。
为什么呢？因为 xxx 和 yyy 是两个不同的 Cantor 集中的点，它们的三进制展开不可能完全一样。设它们第一次不同出现在第 nnn 位。那么在第 nnn 步或者之后的构造中，它们会落到不同的小闭区间里，而这些小闭区间中间隔着被挖掉的开区间。
于是我们可以在它们之间找到一个被挖掉的点，也就是某个
z∉C. z\notin C. z∈/C.
所以 Cantor 集是完全不连通的。
Cantor-Lebesgue 函数
Cantor-Lebesgue 函数 ，也常被称为 Cantor 函数，这个函数要求：在被挖掉的那些开区间上，它保持常数；而在 Cantor 集上，它通过极限方式连续地补上空隙。
看上面的定义是不是感觉很抽象，形象一点讲就是这样。之前我们不是证明了 Cantor 集和 0,10, 10,1 里的元素个数是相等的吗，那我们考虑这样一件事情，函数 y=xy = xy=x 可以从 0,10, 10,1 上从 000 增长到 111，而又因为 Cantor 集和 0,10, 10,1 里的元素个数是相等的，那么如果一个函数只在 Cantor 集上增长，那是不是也能在 0,10, 10,1 上从 000 涨到 111 呢？
让我看来具体考虑一下这个函数在 Uj,kU_{j, k}Uj,k 上都取什么值
首先考虑 U1,1=(13,23)U_{1,1} = (\frac 13, \frac 23)U1,1=(31,32)，因为我们要在 0,10, 10,1 上从 000 到 111，又因为 U1,1U_{1,1}U1,1 左边和右边的在 Cantor 集中的元素数量显然是一样多的，所以在 U1,1U_{1,1}U1,1 上显然就是已经增长了一半的状态，也就是：
φ(x)=12, x∈U1,1 \varphi(x) = \frac 12,\;\; x \in U_{1,1} φ(x)=21,x∈U1,1
再来考虑 U2,1U_{2, 1}U2,1 和 U2,2U_{2, 2}U2,2：跟 U1,1U_{1,1}U1,1 的思考方式是一模一样的，因为要从 0,120, \\frac 120,21 上从 000 增长到 12\frac 1221，且 U2,1U_{2, 1}U2,1 左边和右边的 Cantor 集中的元素是一样多的，所以 U2,1U_{2, 1}U2,1 中也就是增长了 12\frac 1221 的一半的状态：
φ(x)=14, x∈U2,1 \varphi(x) = \frac 14, \;\; x \in U_{2, 1} φ(x)=41,x∈U2,1
同理：
φ(x)=34, x∈U2,2 \varphi(x) = \frac 34, \;\; x \in U_{2, 2} φ(x)=43,x∈U2,2
推广到一般情况，前面我们把被挖掉的区间记作
Uj,k,k=1,2,⋯ ,2j−1. U_{j,k}, \qquad k=1,2,\cdots,2^{j-1}. Uj,k,k=1,2,⋯,2j−1.
在每个被挖掉的区间 Uj,kU_{j,k}Uj,k 上，定义
φ(x)=2k−12j. \varphi(x)=\frac{2k-1}{2^j}. φ(x)=2j2k−1.
而对于 x∈Cx\in Cx∈C，则通过从左边逼近的方式定义：
φ(x)=sup{φ(y):y<x, y∈⋃j,kUj,k}. \varphi(x)=\sup\{\varphi(y):y<x,\ y\in \bigcup_{j,k}U_{j,k}\}. φ(x)=sup{φ(y):y<x, y∈j,k⋃Uj,k}.
标准定义下还取
φ(0)=0,φ(1)=1. \varphi(0)=0, \qquad \varphi(1)=1. φ(0)=0,φ(1)=1.
Cantor 函数的性质
Cantor 函数有两个最重要的性质：
- φ\varphiφ 是单调递增的；
- φ\varphiφ 是连续的。
它单调递增是比较自然的：因为越往右，跨过的被挖掉区间越多，函数值也就不会下降。
它连续就稍微反直觉一些。因为 φ\varphiφ 在很多开区间上都是常数，但是它在 Cantor 集上又把这些常数值连接起来，最后竟然没有跳跃。直观上可以这样理解：如果 x0∈Cx_0\in Cx0∈C，那么在第 kkk 步构造时，x0x_0x0 会位于两个相邻被挖掉区间之间的某个很小的剩余闭区间里。这个小区域两边对应的 Cantor 函数值相差大约是
12k. \frac{1}{2^k}. 2k1.
当 k→∞k\to\inftyk→∞ 时，
12k→0. \frac{1}{2^k}\to0. 2k1→0.
所以在 Cantor 集的点上，函数值不会出现跳跃。于是 φ\varphiφ 是连续的。
这个函数还有一个很有名的名字，叫做"魔鬼阶梯"。因为它连续、单调递增，但是在被挖掉的那些开区间上全部是平的；真正的增长都集中在 Cantor 集这个零测集上。
用 Cantor 函数构造一个奇怪的同胚
讲义最后考虑了一个函数
ψ(x)=φ(x)+x. \psi(x)=\varphi(x)+x. ψ(x)=φ(x)+x.
因为 φ\varphiφ 单调递增，而 xxx 本身严格递增，所以 ψ\psiψ 是严格递增的。
同时，因为 φ\varphiφ 和 xxx 都连续，所以 ψ\psiψ 也是连续的。
因此
ψ:0,1→0,2 \psi:0,1\to0,2 ψ:0,1→0,2
是一个 homeomorphism，也就是同胚。简单说，它是一个连续双射，而且反函数也连续。
现在来看 ψ(C)\psi(C)ψ(C) 的测度。
因为 CCC 是闭集，而 ψ\psiψ 是同胚，所以
ψ(C) \psi(C) ψ(C)
也是闭集。
另一方面，0,1∖C0,1\setminus C0,1∖C 正好是所有被挖掉的开区间的并：
0,1∖C=⋃j,kUj,k. 0,1\setminus C=\bigcup_{j,k}U_{j,k}. 0,1∖C=j,k⋃Uj,k.
在每个 Uj,kU_{j,k}Uj,k 上，φ\varphiφ 是常数，所以
ψ(x)=x+常数. \psi(x)=x+\text{常数}. ψ(x)=x+常数.
也就是说，ψ\psiψ 在每个被挖掉的区间上只是做平移，因此不改变这些区间的长度。
所以
m(ψ(⋃j,kUj,k))=m(⋃j,kUj,k)=1. m\left(\psi\left(\bigcup_{j,k}U_{j,k}\right)\right)= m\left(\bigcup_{j,k}U_{j,k}\right)=1. m ψ j,k⋃Uj,k =m j,k⋃Uj,k =1.
因为
ψ(0,1)=0,2, \psi(0,1)=0,2, ψ(0,1)=0,2,
而 0,20,20,2 的长度是 222，所以
m(ψ(C))=2−1=1. m(\psi(C))=2-1=1. m(ψ(C))=2−1=1.
这件事非常有意思：原来的 Cantor 集 CCC 测度是 000，但是经过同胚 ψ\psiψ 之后，ψ(C)\psi(C)ψ(C) 的测度变成了 111。
这说明：
拓扑意义下的"形状不变"，不一定保持测度意义下的大小。 \boxed{ \text{拓扑意义下的"形状不变"，不一定保持测度意义下的大小。} } 拓扑意义下的"形状不变"，不一定保持测度意义下的大小。
正测度集合中存在不可测子集
因为
m(ψ(C))=1>0, m(\psi(C))=1>0, m(ψ(C))=1>0,
所以 ψ(C)\psi(C)ψ(C) 是一个正测度集合。
类似 Vitali 集的构造可以说明：任意正测度集合中都可以找到 Lebesgue 不可测子集。因此 ψ(C)\psi(C)ψ(C) 中存在某个集合
E⊂ψ(C) E\subset\psi(C) E⊂ψ(C)
使得
E∉L. E\notin\mathcal L. E∈/L.
这也是讲义最后总结的内容：ψ(C)\psi(C)ψ(C) 中包含一个非 Lebesgue 可测集。
如果继续往下想，因为 ψ\psiψ 是同胚，所以
ψ−1(E)⊂C. \psi^{-1}(E)\subset C. ψ−1(E)⊂C.
而 CCC 是零测集，所以 ψ−1(E)\psi^{-1}(E)ψ−1(E) 是 Lebesgue 可测集，并且测度为 000。
但是它经过同胚 ψ\psiψ 之后，变成了不可测集 EEE。
这说明一个很重要的现象：
同胚可以保持拓扑结构，但不一定保持 Lebesgue 可测性。 \boxed{ \text{同胚可以保持拓扑结构，但不一定保持 Lebesgue 可测性。} } 同胚可以保持拓扑结构，但不一定保持 Lebesgue 可测性。
这个例子非常适合提醒我们：拓扑性质和测度性质虽然经常有关联，但它们并不是同一类性质。
本节小结
到这里，Cantor 集的主要性质就整理完了。我们可以把它总结成下面几句话：
- Cantor 集是从 0,10,10,1 中不断去掉中间三分之一得到的集合；
- 它可以用三进制展开刻画：
C={∑j=1∞aj3j:aj∈{0,2}}; C=\left\{\sum_{j=1}^{\infty}\frac{a_j}{3^j}:a_j\in\{0,2\}\right\}; C={j=1∑∞3jaj:aj∈{0,2}};
- Cantor 集是闭集，所以是紧集；
- Cantor 集是完美集，没有孤立点；
- Cantor 集内部为空，因此 nowhere dense；
- Cantor 集完全不连通；
- Cantor 集的 Lebesgue 测度为 000；
- Cantor 集不可数，并且
#(C)=#(0,1); \#(C)=\#(0,1); #(C)=#(0,1);
- Cantor-Lebesgue 函数是连续单调递增函数，但它的增长集中在 Cantor 集上；
- 通过
ψ(x)=φ(x)+x \psi(x)=\varphi(x)+x ψ(x)=φ(x)+x
可以把零测的 Cantor 集映成一个测度为 111 的闭集。
所以 Cantor 集是一个非常典型的例子：它把拓扑、测度、基数这几个概念之间的差异全部集中到了一起。
它告诉我们：
"点很多"不代表"长度大"；"长度为 0"也不代表"点很少"。 \boxed{ \text{"点很多"不代表"长度大"；"长度为 }0\text{"也不代表"点很少"。} } "点很多"不代表"长度大"；"长度为 0"也不代表"点很少"。