Python算法竞赛：排列组合核心用法

排列组合是算法竞赛、笔试面试的高频考点 ，核心区别：排列重顺序，组合不重顺序 。Python 自带标准库可快速解题，搭配回溯算法能覆盖所有变形场景。本文结合洛谷B2164组合数、洛谷P1706全排列、LeetCode77组合3道经典题，一站式搞定排列组合的内置函数用法与手写实现。

一、组合数计算：只求数量，不枚举（洛谷B2164）

题目核心

给定n、k，求C(n,k) mod 1e9+7（从n个元素选k个的方案数，顺序无关）。

数学公式

C(n,k)=n!/(k!*(n−k)!)

Python 极简解法（math.comb）

Python 3.10+ 提供math.comb直接计算组合数，搭配取模即可通过本题。

python 复制代码

from math import comb
MOD = 10**9 + 7

n, m = map(int, input().split())
# 直接计算组合数并取模
ans = comb(n, m) % MOD
print(ans)

样例输入 ：5 3 → 输出：10

手写组合数（兼容低版本）

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def calc_comb(n, k):
    if k < 0 or k > n:
        return 0
    if k == 0 or k == n:
        return 1
    k = min(k, n - k)  # 减小计算量
    res = 1
    for i in range(1, k + 1):
        res = res * (n - k + i) // i
    return res

MOD = 10**9 + 7
n, m = map(int, input().split())
print(calc_comb(n, m) % MOD)

二、全排列生成：有序枚举所有序列（洛谷P1706）

题目核心

按字典序输出1~n的全排列，每个数字占5个字符宽度。

核心概念

排列：元素顺序不同算不同结果，用itertools.permutations生成。

Python 标准库解法

python 复制代码

from itertools import permutations

n = int(input())
# 生成1~n的列表
nums = list(range(1, n + 1))
# 生成全排列
perms = permutations(nums)
# 按格式拼接：每个数字占5位
result = [''.join(f'{num:5d}' for num in p) for p in perms]
print('\n'.join(result))

样例输入：3 → 输出按要求对齐的6行全排列。

回溯手写全排列（竞赛必备模板）

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n = int(input())
res = []
used = [False] * (n + 1)  # 标记数字是否被使用

def backtrack(path):
    if len(path) == n:
        res.append(''.join(f'{x:5d}' for x in path))
        return
    for i in range(1, n + 1):
        if not used[i]:
            used[i] = True
            path.append(i)
            backtrack(path)
            path.pop()
            used[i] = False

backtrack([])
print('\n'.join(res))

三、组合枚举：生成所有k元子集（LeetCode77）

题目核心

给定n、k，返回 $1,n$ 中所有k个数的组合（无序，不重复）。

标准库解法（itertools.combinations）

python 复制代码

from typing import List
from itertools import combinations

class Solution:
    def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:
        nums = list(range(1, n + 1))
        # 生成所有k元组合
        return [list(c) for c in combinations(nums, k)]

样例输入：n=4,k=2 → 输出6个组合。

回溯+剪枝（高效手写版）

组合无需顺序，用start避免重复，剪枝可大幅提速。

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from typing import List

class Solution:
    def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:
        res = []
        def backtrack(start, path):
            # 剪枝：剩余元素不够凑k个，直接返回
            if len(path) + (n - start + 1) < k:
                return
            if len(path) == k:
                res.append(path.copy())
                return
            for i in range(start, n + 1):
                path.append(i)
                backtrack(i + 1, path)  # 从下一个数开始，避免重复
                path.pop()
        backtrack(1, [])
        return res

四、核心对比：排列 vs 组合

类型	顺序	函数	典型场景
排列	有	permutations	排队、排序、序列
组合	无	combinations/comb	选人、选子集、方案数

快速选择指南

只求方案数 → 用math.comb（组合数）
生成所有有序序列 → 用permutations或全排列回溯
生成所有无序子集 → 用combinations或组合回溯
算法竞赛/面试 → 必须掌握回溯模板（内置函数可能受限）

总结

组合数：math.comb一步到位，搭配取模适配大数场景；
全排列：permutations快速生成，回溯可处理自定义约束；
组合枚举：combinations极简，回溯+剪枝更高效。

吃透这3道题与两套写法，Python 排列组合类题目直接秒杀。