LeetCode 96：不同的二叉搜索树（Unique Binary Search Trees）—— 题解 ✅

LeetCode 96：不同的二叉搜索树（Unique Binary Search Trees）------ 题解 ✅

🔗 题目链接

👉 https://leetcode.cn/problems/unique-binary-search-trees/

📖 内容概要

给定一个整数 n，求由 1 ~ n 组成的 互不相同的二叉搜索树（BST） 的总数。

✅ 动态规划

✅ 卡特兰数（Catalan Number）

✅ 面试高频题

💡 解题思路（核心）

一、关键观察

BST 的性质：
- 左子树所有节点 < 根
- 右子树所有节点 > 根
对于任意根节点 k：
- 左子树由 [1 ... k-1] 组成
- 右子树由 [k+1 ... n] 组成

二、状态定义

java 复制代码

dp[i] = 由 i 个节点组成的 BST 数量

三、状态转移方程（最重要）

以 j 为根节点（1 ≤ j ≤ i）：

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左子树节点数 = j - 1
右子树节点数 = i - j

java 复制代码

dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];

✅ 左右子树的组合数 = 乘积

✅ 对所有可能的根求和

四、初始条件

java 复制代码

dp[0] = 1;

空树也算一种 BST（这是数学上的约定）

✅ AC 代码（Java）

java 复制代码

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 1; // 空树

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

⏱️ 复杂度分析

指标	复杂度
时间复杂度	O(n²)
空间复杂度	O(n)

🔢 示例说明

n	结果	说明
1	1	只有一棵树
2	2	1 为根 / 2 为根
3	5	经典 Catalan 数

🧠 数学背景（加分点）

本题的结果正是 卡特兰数（Catalan Number）：

Cn=1n+1(2nn)C_n = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}Cn=n+11(n2n)

前几项：

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1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, ...

✅ 一句话总结

以每个节点为根，左右子树的数量相乘，再累加，就是经典的卡特兰数问题。

📌 面试加分点（建议记住）

✅ 为什么 dp[0] = 1
✅ 为什么是乘法而不是加法
✅ 和卡特兰数的关系
✅ 可扩展到「输出所有 BST」（95 题）