LeetCode 416：分割等和子集 —— （0-1背包）

LeetCode 416：分割等和子集 ------ （0-1背包）

🔗 题目链接

👉 https://leetcode.cn/problems/partition-equal-subset-sum/

📖 内容概要

给定一个只包含正整数的非空数组 nums，判断是否可以将它分成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

✅ 使用 0/1 背包思想

✅ 一维 DP 优化

✅ 时间复杂度 O(n × sum)

✅ 空间复杂度 O(sum)

💡 解题思路

一、问题转化（最关键一步）

能否从数组中选出若干个数，使其和等于 sum / 2

如果能，那么剩下的数之和也一定是 sum / 2。

二、可行性剪枝

如果数组总和是奇数：
java 复制代码
```
if (sum % 2 == 1) return false;
```
不可能平分

三、0/1 背包建模

概念	对应
物品	数组中的每个数
重量	数值大小`nums[i]`
价值	数值大小 `nums[i]`
背包容量	`target = sum / 2`

✅ 判断是否能恰好装满容量为 target 的背包

四、DP 定义

java 复制代码

dp[j] = 容量为 j 的背包，能装的最大价值

目标：

java 复制代码

dp[target] == target

五、状态转移方程

java 复制代码

dp[j] = max(
    dp[j],                     // 不选当前数
    dp[j - nums[i]] + nums[i]  // 选当前数
)

六、遍历顺序（非常重要）

java 复制代码

for (int i = 0; i < n; i++) {
    for (int j = target; j >= nums[i]; j--) {
        dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
    }
}

✅ j 必须从大到小

防止同一物品被重复使用
保证是 0/1 背包

✅ AC 代码（Java）

java 复制代码

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        int sum = 0;
        for (int num : nums) {
            sum += num;
        }

        // 奇数不可能平分
        if (sum % 2 == 1) return false;

        int target = sum / 2;
        int[] dp = new int[20001]; // dp[j]: 容量为 j 的最大价值和

        // 0/1 背包
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            for (int j = target; j >= nums[i]; j--) {
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
            }
        }

        return dp[target] == target;
    }
}

⏱️ 复杂度分析

指标	复杂度
时间复杂度	O(n × sum)
空间复杂度	O(sum)

⚠️ 时间复杂度不是 O(n²)，而是由数值总和决定

✅ 核心总结一句话

把"能否平分数组"转化为"是否存在子集和为 sum/2"，再用 0/1 背包判断是否恰好装满。