UVa12327/LA5705 Xavier is Learning to Count

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题意
分析
- 一个坑点
[AC 代码](#AC 代码)

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本题是2011年icpc亚洲区域赛上海赛区的C题

题意

已知正整数 p、m 和 m 个不同的正整数 Ai，从这些正整数中选出 p 个，使得它们的和为 n，方案总数设为 f(n)。求出所有 f(n) 不等于0 的 n 和对应的 f(n)。1≤p≤5，1≤m，Ai≤13 000。

分析

生成函数的乘法+FFT，不过需要去重。拿 p=5 的情况举例子，直接用生成函数连乘4次存在以下重复计数：5个数相同；4个数相同；3个数相同且另两个数也相同；3个数相同且另两个数不相同；两个数相同还有另外也相同；仅2个数相同。所以需要把这些重复的情况也计算出来减掉，最后由于连乘形成了排列组合，需要将结果除以 p ! p! p!。

一个坑点

对于规模偏大的数据（比如 m ≥ 8000 , p = 5 m\ge8000,\;p=5 m≥8000,p=5），由于浮点乘法本身的精度损失，再反复做FTT乘法进一步带来损失，最后计算过程完全正确但是输出的结果可能偏小，需要在向上取整时适当弥补一下才能AC。

AC 代码

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;

#define M 13001
#define N 1<<16

bool f[M]; int tot, x, kase = 0;

struct complex {
    double x, y;
    void operator+= (const complex &t) {
        x += t.x; y += t.y;
    }
    complex operator- (const complex &t) const {
        return {x - t.x, y - t.y};
    }
    complex operator* (const complex &t) const {
        return {x * t.x - y * t.y, x * t.y + y * t.x};
    }
} s1[N], s2[N], s3[N], s4[N], s5[N], s6[N], s7[N];

void fft(complex (&a)[N], int inv) {
    for (int i=0, j=0; i<tot; ++i) {
        if(j > i) {complex t = a[i]; a[i] = a[j]; a[j] = t;}
        int k = tot;
        while(j & (k >>= 1)) j &= ~k;
        j |= k;
    }
    for(int step=1; step<tot; step<<=1) {
        double alpha = inv*M_PI / step;
        for(int k=0; k<step; k++) {
            complex wk = {cos(alpha*k), sin(alpha*k)};
            for(int Ek=k; Ek<tot; Ek += step<<1) {
                int Ok = Ek + step; complex t = wk * a[Ok];
                a[Ok] = a[Ek] - t; a[Ek] += t;
            }
        }
    }
}

void solve1() {
    for (int i=1; i<=x; ++i) if (f[i]) cout << i << ": " << 1 << endl;
}

void solve2() {
    fft(s2, -1);
    for (int i=0; i<tot; ++i) {
        long long a = s2[i].x / tot + .5;
        if (~i&1 && (i>>1)<=x && f[i>>1]) --a;
        if (a) cout << i << ": " << a/2 << endl;
    }
}

void solve3() {
    for (int i=0; i<tot; ++i) s3[i] = s2[i] * s1[i];
    for (int i=0; i<tot; ++i) s2[i] = {~i&1 && (i>>1)<=x && f[i>>1] ? 1. : 0., 0.};
    fft(s2, 1);
    for (int i=0; i<tot; ++i) s2[i] = s2[i] * s1[i];
    fft(s2, -1); fft(s3, -1);
    for (int i=0; i<tot; ++i) {
        long long a = s3[i].x / tot + .5, b = s2[i].x / tot + .5;
        if (i%3==0 && i/3<=x && f[i/3]) --a, --b;
        a -= 3*b;
        if (a) cout << i << ": " << a/6 << endl;
    }
}

void solve4() {
    for (int i=0; i<tot; ++i) s4[i] = s2[i] * s2[i];
    for (int i=0; i<tot; ++i) s3[i] = {i%3==0 && i/3<=x && f[i/3] ? 1. : 0., 0.};
    for (int i=0; i<tot; ++i) s5[i] = {~i&1 && (i>>1)<=x && f[i>>1] ? 1. : 0., 0.};
    fft(s3, 1); fft(s5, 1);
    for (int i=0; i<tot; ++i) s3[i] = s3[i] * s1[i];
    for (int i=0; i<tot; ++i) s2[i] = s5[i] * s2[i];
    for (int i=0; i<tot; ++i) s5[i] = s5[i] * s5[i];
    fft(s2, -1); fft(s3, -1); fft(s4, -1); fft(s5, -1);
    for (int i=0; i<tot; ++i) {
        long long a = s4[i].x / tot + .5, b = s3[i].x / tot + .5, c = s2[i].x / tot + .5, d = s5[i].x / tot + .5;
        if ((i&3)==0 && (i>>2)<=x && f[i>>2]) --a, --b, --c, --d;
        a -= 6*c - 8*b - 3*d;
        if (a) cout << i << ": " << a/24 << endl;
    }
}

void solve5() {
    for (int i=0; i<tot; ++i) s4[i] = {(i&3)==0 && (i>>2)<=x && f[i>>2] ? 1. : 0., 0.};
    for (int i=0; i<tot; ++i) s3[i] = {i%3==0 && i/3<=x && f[i/3] ? 1. : 0., 0.};
    fft(s4, 1); fft(s3, 1);
    for (int i=0; i<tot; ++i) s6[i] = s3[i];
    for (int i=0; i<tot; ++i) s5[i] = s2[i] * s2[i] * s1[i];
    for (int i=0; i<tot; ++i) s4[i] = s4[i] * s1[i];
    for (int i=0; i<tot; ++i) s3[i] = s3[i] * s2[i];
    for (int i=0; i<tot; ++i) s2[i] = {~i&1 && (i>>1)<=x && f[i>>1] ? 1. : 0., 0.};
    fft(s2, 1);
    for (int i=0; i<tot; ++i) s7[i] = s2[i] * s2[i] * s1[i];
    for (int i=0; i<tot; ++i) s6[i] = s6[i] * s2[i];
    for (int i=0; i<tot; ++i) s2[i] = s2[i] * s1[i] * s1[i] * s1[i];
    fft(s2, -1); fft(s3, -1); fft(s4, -1); fft(s5, -1); fft(s6, -1); fft(s7, -1);
    for (int i=0; i<tot; ++i) {
        long long a = s5[i].x / tot + .5, b = s4[i].x / tot + .5, c = s3[i].x / tot + .5,
                  d = s2[i].x / tot + .5, e = s6[i].x / tot + .5, g = s7[i].x / tot + .5;
        if (i%5==0 && i/5<=x && f[i/5]) --a, --b, --c, --d, --e, --g;
        g -= b + 2*e; c -= 2*b + e; d -= 3*(b + c + g) + 4*e;
        a = (a - 5*b - 10*(c + d + e) - 15*g + 60) / 120;
        if (a > 0) cout << i << ": " << a << endl;
    }
}

void solve() {
    int m, p, v; cin >> m >> p;
    memset(f, x = 0, sizeof(f));
    while (m--) cin >> v, x = max(x, v), f[v] = true;
    for (m=x*p, tot=1; tot <= m; tot<<=1);
    for (int i=0; i<tot; ++i) s1[i] = {i<=x && f[i] ? 1. : 0., 0.};
    fft(s1, 1);
    for (int i=0; i<tot; ++i) s2[i] = s1[i] * s1[i];
    cout << "Case #" << ++kase << ':' << endl;
    if (p == 1) solve1();
    else if (p == 2) solve2();
    else if (p == 3) solve3();
    else if (p == 4) solve4();
    else solve5();
    cout << endl;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
    int t; cin >> t;
    while (t--) solve();
    return 0;
}