信奥赛C++提高组csp-s之搜索进阶（记忆化搜索案例实践1）
滑雪
题目描述
Michael 喜欢滑雪。这并不奇怪，因为滑雪的确很刺激。可是为了获得速度，滑的区域必须向下倾斜，而且当你滑到坡底，你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。Michael 想知道在一个区域中最长的滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。下面是一个例子：
plain
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一，当且仅当高度会减小。在上面的例子中，一条可行的滑坡为 24 − 17 − 16 − 1 24-17-16-1 24−17−16−1（从 24 24 24 开始，在 1 1 1 结束）。当然 25 25 25－ 24 24 24－ 23 23 23－ ... \ldots ...－ 3 3 3－ 2 2 2－ 1 1 1 更长。事实上，这是最长的一条。
输入格式
输入的第一行为表示区域的二维数组的行数 R R R 和列数 C C C。下面是 R R R 行，每行有 C C C 个数，代表高度（两个数字之间用 1 1 1 个空格间隔）。
输出格式
输出区域中最长滑坡的长度。
输入输出样例 1
输入 1
5 5
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9输出 1
25说明/提示
对于 100 % 100\% 100% 的数据， 1 ≤ R , C ≤ 100 1\leq R,C\leq 100 1≤R,C≤100。
思路分析
题目大意：
在一个 R×C 的整数矩阵中，找一个点从该点出发，向上下左右四个方向滑行，只能滑向高度严格递减的相邻格子。求最长的滑行路径长度。
分析思路：
如果用暴力DFS，每个点都要重新搜索，会导致大量重复计算。例如，从点A出发搜索到点B的路径时，已经计算过点B出发的最长路径长度；当从点C再经过点B时，又需要重新计算点B的路径，这就是重复计算。
记忆化搜索的做法：
- 定义
f[i][j]表示从点(i, j)出发能滑行的最长路径长度 - 从每个点出发向四个方向DFS，如果邻点高度小于当前点，则递归求邻点的最长路径
- 取四个方向的最大值 + 1（当前点自身）
- 每计算完一个点，就把结果存入
f[i][j]，下次再访问该点直接返回
时间复杂度：
每个点只被访问一次，O(R×C)。
代码实现
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 105; // 最大矩阵尺寸
int n, m; // n行 m列
int h[N][N]; // h[i][j]存储每个点的高度
int f[N][N]; // f[i][j]存储从(i,j)出发的最长路径长度，-1表示未计算
int dx[4] = {-1, 1, 0, 0}; // 上下左右四个方向的行偏移
int dy[4] = {0, 0, -1, 1}; // 上下左右四个方向的列偏移
int dfs(int x, int y) {
// 如果当前点已经计算过，直接返回
if (f[x][y] != -1) return f[x][y];
int ans = 1; // 当前点至少长度为1（自身）
for (int i = 0; i < 4; i++) {
int nx = x + dx[i];
int ny = y + dy[i];
// 边界检查 && 只能往低处滑（严格递减）
if (nx >= 1 && nx <= n && ny >= 1 && ny <= m && h[nx][ny] < h[x][y]) {
ans = max(ans, dfs(nx, ny) + 1);
}
}
// 存储结果并返回
return f[x][y] = ans;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
cin >> h[i][j];
}
}
// 初始化备忘录，-1表示未访问过
memset(f, -1, sizeof(f));
int res = 0;
// 枚举每个点作为起点，取最大值
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
res = max(res, dfs(i, j));
}
}
cout << res << endl;
return 0;
}功能分析
| 模块 | 功能说明 |
|---|---|
备忘录数组 f[N][N] |
存储每个点出发的最长路径长度，-1表示未计算，避免重复DFS |
方向数组 dx[], dy[] |
简化四个方向的遍历代码 |
dfs(x, y) |
核心递归函数，返回从 (x,y) 出发的最长滑行长度 |
| 边界检查 | 确保不会走出矩阵范围 |
| 高度递减判断 | 只能向高度更低的格子滑，保证不形成循环 |
| 枚举所有起点 | 因为不知道最长路径从哪个点开始，所以每个点都要尝试 |
正确性保证：由于只能向更低处滑，不会形成环路，DFS终将终止，且每个状态只计算一次，不会超时。
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cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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cout<<"###### 课程购买后永久学习，不受限制! ######";
return 0;
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· 文末祝福 ·
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
cout<<"跟着王老师一起学习信奥赛C++";
cout<<" 成就更好的自己！ ";
cout<<" csp信奥赛一等奖属于你! ";
return 0;
}