动态规划-求最优解-自底向上

参考资料：

参考视频

参考习题

介绍：

在求最优解，以及一些递归问题中：

程序的最终结果需要由子项，按照一定的规律或者公式推导而来，就符合动态规划问题

动态规划的两个关键元素：

① 最小子项（元数据）

② 推导公式或者规律

其中最小子项就是那个不能再由子项来推到的元数据

举例说明：

斐波那契数列问题

斐波那契数列常见的解法就是套递归公式，如果用动态规划的思想来做：

最小子项（元数据）

F(1) = 1

F(2) = 1

推导公式

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

所以按照动态规划思想，从元数据进行推导

F（3） = F(2)+ F(1) = 1+1 = 2

F（4） = F(3)+ F(2) = 2+1 = 3

... ...

得到如下公式：

第n项的斐波那契数列值为：

java 复制代码

    public int fib(int n) {

        if (n <= 1) {
            return n;
        }

        int[] dp = new int[n + 1];

        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;

        for (int i = 2; i <= n; i++) {

            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }

        return dp[n];
    }

剪绳子问题

问题见，剑指offer-JZ14

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长的 m 段

（ m 、 n 都是整数， n > 1 并且 m > 1 ， m <= n ），

每段绳子的长度记为 k $1$ ,...,k $m$ 。请问 k $1$ *k $2$ *...*k $m$ 可能的最大乘积是多少？

例如，当绳子的长度是 8 时，我们把它剪成长度分别为 2、3、3 的三段，此时得到的最大乘积是 18 。

数据范围： 2≤n≤60

最优解问题，往往想到动态规划方法

最小子项（元数据）

首先是需要找初始条件，即最小的不可分割的子项（元数据）：

根据条件：

m 、 n 都是整数， n > 1 并且 m > 1 ， m <= n

当 i 为1时，无法被分开，所以i = 1可以作为子项

当i为2时，如果被分开，那么 1*1 < 2，所以可以作为子项

当i为3时，如果被分开，那么 1*2 < 3, 所以可以作为子项

当i为4是，如果被分开，那么 1*3 < 2*2 = 4,所以也可以作为子项

当i为5时，如果被分开，那么 1*4 < 2*3 >5,所以不可以作为子项

所以当n>=5时，它被分开的片段，是由1,2,3,4这些长度构成；

当n<=4时，f(2) = 1, f(3) = 2.f(4) = 4;

公式、规律

在找到最小子项后，就需要推导发现规律或者公式：

f(5) = MAX（1*4，2*3）= 6

f(6) = MAX(1*f(5),2*4,3*3) = 9

f(7) = MAX(1*f(6),2*f(5),3*4) = 2*f(5) = 18

..................................

可以看到,每一个n>=5的元素，都是前一段最小项试一遍，后一段依赖于前面的子项

所以可以得到如下代码：

提示：int数组，默认值为0

java 复制代码

import java.util.*;
public class Solution {
    public int cutRope(int target) {
        //不超过3直接计算
        if(target <= 3) 
            return target- 1;
        //dp[i]表示长度为i的绳子可以被剪出来的最大乘积
        int[] dp = new int[target + 1];
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        dp[3] = 3;
        dp[4] = 4;
        //遍历后续每一个长度
        for(int i = 5; i <= target; i++)
            //可以被分成两份
            for(int j = 1; j < i; j++)
                //取最大值
                dp[i] = Math.max(dp[i], j * dp[i - j]);
        return dp[target];
    }
}