LeetCode 4：寻找两个正序数组的中位数 —— 二分查找法

LeetCode 4：寻找两个正序数组的中位数 ------ 二分查找法题解

🔗 题目链接

👉 https://leetcode.cn/problems/median-of-two-sorted-arrays/

📖 题目概要

给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。
请你找出并返回这两个正序数组的中位数。

要求：算法的时间复杂度应该为 O(log(m + n))。

示例 1 ：

输入：nums1 = $1,3$ , nums2 = $2$

输出：2.00000

解释：合并数组 = $1,2,3$ ，中位数 2

示例 2 ：

输入：nums1 = $1,2$ , nums2 = $3,4$

输出：2.50000

解释：合并数组 = $1,2,3,4$ ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5

✅ 本题解法：二分切割法（最优解，AC代码）

核心思想

不合并数组 ，直接在两个数组上做二分查找
将两个数组左右切割，让左半部分整体 ≤ 右半部分
通过切割位置直接算出中位数
始终把短数组作为 nums1，减少二分次数

💡 详细解题思路

1. 核心原理：数组切割

把两个数组各分成左右两部分：

nums1 左：[0, i-1]，右：[i, m-1]
nums2 左：[0, j-1]，右：[j, n-1]

满足两个条件：

左半总长度 = 右半总长度（或多1）
i + j = m - i + n - j + 1
→ 推导得：j = (m + n + 1) / 2 - i
左边所有数 ≤ 右边所有数
nums1[i-1] ≤ nums2[j] 且 nums2[j-1] ≤ nums1[i]

2. 边界处理

左边没数：用 Integer.MIN_VALUE
右边没数：用 Integer.MAX_VALUE

3. 中位数计算

总长度奇数：左边最大值就是中位数
总长度偶数：(左边最大值 + 右边最小值) / 2.0

4. 二分调整切割点

nums1[i-1] > nums2[j]：i 太大 → 左移 r = i - 1
nums2[j-1] > nums1[i]：i 太小 → 右移 l = i + 1

✅ AC 代码

java 复制代码

class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        if(nums1.length > nums2.length) {
            int[] tmp = nums1;
            nums1 = nums2;
            nums2 = tmp;
        }
        int m = nums1.length; //元素少的数组
        int n = nums2.length;

        int l = 0, r = m;
        while(l <= r) {
            int i = (l + r) / 2;
            int j = (m+n+1) / 2 - i; //绳子总长减去i的长度
            int l1 = (i==0) ? Integer.MIN_VALUE : nums1[i-1];
            int r1 = (i==m) ? Integer.MAX_VALUE : nums1[i];
            int l2 = (j==0) ? Integer.MIN_VALUE : nums2[j-1];
            int r2 = (j==n) ? Integer.MAX_VALUE : nums2[j];
            // 满足条件
            if (l1<=r2 && l2<=r1) {
                if((m+n) % 2 == 1) {
                    return Math.max(l1,l2);
                } else {
                    return (Math.max(l1,l2) + Math.min(r1,r2)) / 2.0;
                }
            } else if(l1 > r2) {
                r = i - 1;
            } else {
                l = i + 1;
            }
        }
        return 0;
    }
}

⏱️ 复杂度分析

指标	复杂度	说明
时间复杂度	O(log(min(m,n)))	只对短数组二分
空间复杂度	O(1)	只用常数变量

📌 核心一句话总结

在两个有序数组上做二分切割，让左边整体 ≤ 右边，满足长度平衡后，直接从边界值计算中位数。

📝 高频面试问答

1. 为什么要把短数组放前面？

让二分次数变少，保证时间复杂度 O(log(min(m,n)))。

2. 为什么 j 这么算？

j = (m + n + 1) / 2 - i

保证左右两边长度相等或左边多1，方便取中位数。

3. 为什么要用 MIN/MAX 处理边界？

防止数组越界，同时不影响大小比较。

最后记录一下，第一遍刷完Leetcode的Hot100题。虽然有一些题是抄题解的。