C++图论基础Bellman-Ford与spfa算法如何判断负环

本编标红字段均是值得纳为己用的经验条~

引言：

此前，我们已经学习了Bellman-Ford算法与spfa算法，这两个算法都是可以处理边权有负数的情况，此外，他俩还有个妙用，就是判断图中是否存在负环。

本篇就是介绍他俩怎么判断负环的。

判断负环的代码与他本身的代码都是大差不差的，下文细细品鉴~~

Bellman-Ford算法判断负环：

BF算法是暴力过 n - 1 轮、单趟全遍历边进行的松弛操作，他的最差情况就是至多会进行 n - 1 轮松弛操作，到第 n 轮肯定是松弛不了的，能松弛的就一定存在负环。所以我们就可以用标记变量 bool flag 来特判经过第 n 轮之后的状态，当然这个flag也可以是当作优化的，提前结束，省去不必要的轮。

这个BF算法其实只关心边，所以也可以用一个结构体存边的信息，就不用存图了，这里我们也来练习一下~

OJ题来源：洛谷

OJ题名：【模板】负环

OJ题归属：图论基础【单源最短路】

解题算法：结构体存边信息 + Bellman-Ford算法判断负环
cpp 复制代码
#include<iostream>
#include<cstring>

using namespace std;

const int N = 2e3 + 10, M = 3e3 + 10;

int n, m;
int pos;
struct node
{
	int x, y, z;
}e[M * 2];
int dist[N];

bool bf()
{
	// 初始化
	memset(dist, 0x3f3f3f3f, sizeof dist);
	dist[1] = 0;

	bool flag;
	// 执行 n 轮松弛操作，看最后一轮结束后的结果
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		flag = false;
		for (int j = 1; j <= pos; j++)
		{
			int u = e[j].x, v = e[j].y, w = e[j].z;
			if (dist[u] == 0x3f3f3f3f) continue;

			if (dist[u] + w < dist[v])
			{
				dist[v] = dist[u] + w;
				flag = true;
			}
		}

		// 这步是做的优化
		if (flag == false) return flag;
	}

	return flag;
}

int main()
{
	int T; cin >> T;
	while (T--)
	{
		cin >> n >> m;
		pos = 0;
		for (int i = 1; i <= m; i++)
		{
			int u, v, w; cin >> u >> v >> w;
			pos++;
			e[pos].x = u, e[pos].y = v, e[pos].z = w;
			if (w >= 0)
			{
				pos++;
				e[pos].x = v, e[pos].y = u, e[pos].z = w;
			}
		}

		if (bf()) cout << "YES" << endl;
		else cout << "NO" << endl;
	}

	return 0;
}

spfa 算法判断负环：

spfa 算法是用队列优化的BF算法。

存在负环时，while循环会死循环，我们可以计数的方式，既可以判断负环，也可以跳出死循环。

计数的方式--->小动态规划：每个节点配一个 cnt 数组；cnt $i$ 表示从起点到 i 位置经过多少条边；cnt $i$ > n - 1 即存在负环，cnt $i$ <= n - 1 有最短路，没有负环。

状态转移方程：起点 ......................u------v 此时我们来算cnt $v$ ，它等于刚刚经过的一条边加上在这条边之前所经过的边个数，这个在cnt $u$ 里面存着，即 cnt $v$ = cnt $u$ + 1。
cpp 复制代码
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cstring>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 2e3 + 10;

int n, m;
vector<PII> edges[N];
int dist[N];
bool st[N]; // 标记哪些点在队列里面
int cnt[N];

bool spfa()
{
	// 初始化 --- 既是初始化也是清理数据
	memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
	memset(st, 0, sizeof st);
	memset(cnt, 0, sizeof cnt);

	queue<int> q;
	q.push(1);
	dist[1] = 0;
	st[1] = true;
	//cnt[1] = 0;

	while (q.size())
	{
		auto u = q.front(); q.pop();
		st[u] = false;

		for (auto& e : edges[u])
		{
			int v = e.first, w = e.second;
			if (dist[u] + w < dist[v])
			{
				dist[v] = dist[u] + w;
				dist[v] = dist[u] + 1;
				if (dist[v] > n - 1) return true;

				if (!st[v])
				{
					q.push(v);
					st[v] = true;
				}
			}
		}
	}

	return false;
}

int main()
{
	int t; cin >> t;
	while (t--)
	{
		// 清空数据
		for (int i = 1; i <= n; i++) edges[i].clear();

		cin >> n >> m;
		for (int i = 1; i <= m; i++)
		{
			int u, v, w; cin >> u >> v >> w;
			edges[u].push_back({ v, w });
			if (w >= 0) edges[v].push_back({ u, w });
		}

		if (spfa()) cout << "YES" << endl;
		else cout << "NO" << endl;
	}

	return 0;
}