[LC优选算法#6] 二分 | ⼆分查找 | 元素首尾位置 | 搜索插入位置

1. 二分查找算法

之前的文章中介绍了基础的二分查找算法的模板，可移步至：

算法：二分查找【模板】

本篇文章中介绍的是基础的二分查找，即在有序数组 中使用二分算法。但二分查找基本适用于所有具有二段性的数组，不仅仅是有序数组。

了解二分：

时间复杂度 ：O(logN)
循环结束的条件：两指针从数组首尾开始以每次砍掉一半长度的速率靠近，直至两指针相遇（left < right）
正确性：根据二段性的特点，在暴力枚举的基础上，省去了不必要的枚举

2. 例题分析：

2.1 二分查找

由逐个枚举的暴力解法优化而来，标准的二分模板，难度不大：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target)
    {
        int left = 0;
        int right = nums.size() - 1;
        while(left < right)
        {
            int mid = (left + right) / 2;
            if(nums[mid] >= target)
            {
                right = mid;
            }
            else
            {
                left = mid + 1;
            }
        }  
        
        if(nums[left] == target) return left;

        return -1;
    }
};

2.2 在排序数组中查找元素首尾位置

在排序数组中查找元素首尾位置

解题思路：

由于数组是按照非递减顺序排列的，因此可以使用二分算法来优化暴力枚举，时间复杂度为O(logN)。接下来我们对左右边界分别分析：

左边界 ：当nums[mid] == target时，right指针要继续右移 ，这样最后指针相遇的位置才是左边界，因此可以合并为当nums[mid] >= target时，right = mid；
右边界 ：当nums[mid] == target时，left指针要继续左移 ，这样最后指针相遇的位置才是右边界，因此可以合并为当nums[mid] <= target时，left = mid；

细节处理：

Q1 ：while循环内部的判断条件是left < right还是left <= right？

A1 ：当出现left == right的情况时无需继续判断（例如当数组元素全大于 / 小于target时），因此判断条件为left < right。

Q2 ：求mid的时候需要+1吗？

A2 ：当元素个数为奇数时，+1没有影响；当元素个数为偶数时，如果判断条件为第二种情况时，不+1会陷入死循环：

从上图我们可以总结出当出现right - 1时（第二种情况的指针移动方式），需要在mid中+1处理。

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target)
    {
        int n = nums.size();
        if(n == 0) return {-1, -1}; //处理特例
        
        int left = 0, right = n-1;
        int mid;
        while(left < right)
        {
            mid = left + (right - left) / 2;
            if(nums[mid] >= target) right = mid;
            //当遇到target时，right还会向左收缩，直至找到最左边的target
            else left = mid + 1;
        }
        int retleft = right;
        if(nums[left] != target) return {-1, -1};

        left = retleft, right = n-1;
        while(left < right)
        {
            mid = left + (right - left + 1) / 2;
            if(nums[mid] <= target) left = mid;
            //当遇到target时，left还会向右收缩，直至找到最右边的target
            else right = mid - 1;
        }
        return {retleft, left};
    }
};

2.3 搜索插入位置

搜索插入位置

数组为升序，且需要查找插入位置的对应下标，符合二分条件，因此使用二分算法。

解题思路：

当元素存在时，可以直接通过二分返回对用下标；不存在 时，返回的位置是该元素应该插入位置的下标，而这个位置的元素是比target大的，因此在处理right的时候不能出现right = mid - 1，否则会跳过该元素，由此可以倒退出判断条件。

特判：当所有元素都小于 target时，二分的结果会落在最后一个元素的位置，但实际上我们想让它落在最后一个元素的下一个位置，因此需要对这种情况进行特判。

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int searchInsert(vector<int>& nums, int target)
    {
        int left = 0;
        int right = nums.size() - 1;

        if(target > nums[right]) return right + 1; //特判

        while(left < right)
        {
            int mid = (left + right) / 2;
            if(nums[mid] >= target)
            {
                right = mid;
            }
            else
            {
                left = mid + 1;
            }
        }

        return left;
    }
};

2.4 x 的平方根

x 的平方根

解题思路：

由于题目中要求不允许使用内置函数和相关运算符，因此我们可以从2开始枚举，直至找到乘方为x的对应根。在这个过程中我们发现枚举过程是递增的，因此可以看作是一个0~x的递增数组，使用二分算法解决。

分类讨论：

当两数相乘刚好为x 时，直接返回这个数；
当两数相乘大于x 时，返回这个数-1。

注意点 ：两数相乘的范围可能会超过int的范围，对此应该有意识地用long long存储。

cpp 复制代码

class Solution
{
public:
    int mySqrt(int x)
    {
        long long i = 0;
        
        for (i = 0; i <= x; i++)
        {
            if (i * i == x)
            {
                return i;
            }

            if (i * i > x)
            {
                return i - 1;
            }
        }
        
        // 控制所有路径都有返回值
        return -1;
    }
};

// 本期内容就到这里啦，如果对你有帮助，请三连支持！我是青云，我们下期见^_~

[LC优选算法#6] 二分 | ⼆分查找 | 元素首尾位置 | 搜索插入位置 | x的平方根

1. 二分查找算法

2. 例题分析：

2.1 二分查找

2.2 在排序数组中查找元素首尾位置

2.3 搜索插入位置

2.4 x 的平方根