【板子】ST表 - 技术栈

ST 表模板

原理

ST 表用于静态区间最值，预处理 $O(n\log n)$，单次查询 $O(1)$，不支持修改。 $f $i$ $j$ $：从第 i 个数开始，长度为 $2^j$ 的区间最大值。

预处理转移

(f $i$ $j$ = max(f $i$ $j-1$ , f $i + 2\^{j-1}$ $j-1$ ))

查询

区间 ( $l,r$ )，长度 (len=r-l+1)，k=⌊log2(len)⌋

ans=max(f $l$ $k$ , f $r-2k+1$ $k$ )

完整 AC 代码

复制代码

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 1e5 + 10;
const int LOG = 20; // 2^20 > 1e6 够用

int n, m;
int a[MAXN];
int st[MAXN][LOG];
int log2_[MAXN]; // 预处理log2，查询更快

// 预处理log数组
void preLog() {
    log2_[1] = 0;
    for (int i = 2; i < MAXN; ++i)
        log2_[i] = log2_[i / 2] + 1;
}

// 构建ST表
void build() {
    // 长度2^0=1
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        st[i][0] = a[i];
    // 倍增
    for (int j = 1; j < LOG; ++j)
        for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; ++i)
            st[i][j] = max(st[i][j-1], st[i + (1 << (j-1))][j-1]);
}

// 查询[l, r]最大值
int query(int l, int r) {
    int k = log2_[r - l + 1];
    return max(st[l][k], st[r - (1 << k) + 1][k]);
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    preLog();

    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        cin >> a[i];
    build();

    while (m--) {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        cout << query(l, r) << '\n';
    }
    return 0;
}

二维 ST 表模板

一、适用场景

静态二维矩阵，多次询问任意子矩形最大值 / 最小值，无单点修改

预处理：$O(nm\log n \log m)$
单次查询：$O(1)$
限制：矩阵长宽不超过 250/1000 都可，LOG 开到 10 足够（$2^{10}=1024$）

定义

$stmax $i$ $j$ $k$ $l$ $：左上角$(i,j)$，高$2^k$、宽$2^l$的矩形最大值 $stmin $i$ $j$ $k$ $l$ $：同上，存最小值

查询原理

矩形 x1,y1左上，x2,y2 右下

kx=log2(x2−x1+1), ky=log2(y2−y1+1)

用四块重叠区间覆盖整个矩形，取最大 / 最小：

max=max(

stmax $x1$ $y1$ $kx$ $ky$ ,

stmax $x2-2kx+1$ $y1$ $kx$ $ky$ ,

stmax $x1$ $y2-2ky+1$ $kx$ $ky$ ,

stmax $x2-2kx+1$ $y2-2ky+1$ $kx$ $ky$

)

最小值同理用 min

二、预处理 log 数组

提前预处理 1~maxn 的 log2 下取整，避免浮点运算，加速查询。

三、可直接复制完整模板（1 下标，通用）

复制代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

// 按需修改：矩阵最大长宽、倍增层数
const int MAXN = 255;
const int LOG = 10;

int n, m;          // n行 m列
int a[MAXN][MAXN]; // 原矩阵
int stmax[MAXN][MAXN][LOG][LOG];
int stmin[MAXN][MAXN][LOG][LOG];
int lg[MAXN];      // lg[i] = floor(log2(i))

// 预处理log数组
void pre_log() {
    lg[1] = 0;
    for (int i = 2; i < MAXN; i++)
        lg[i] = lg[i / 2] + 1;
}

// 构建二维ST表
void build() {
    // 初始化 2^0 * 2^0 单点
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            stmax[i][j][0][0] = stmin[i][j][0][0] = a[i][j];

    // 第一阶段：行倍增，高度固定 2^0，加宽
    for (int l = 1; l < LOG; l++) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j + (1 << l) - 1 <= m; j++) {
                stmax[i][j][0][l] = max(stmax[i][j][0][l-1], stmax[i][j + (1 << (l-1))][0][l-1]);
                stmin[i][j][0][l] = min(stmin[i][j][0][l-1], stmin[i][j + (1 << (l-1))][0][l-1]);
            }
        }
    }

    // 第二阶段：列倍增，宽度所有l，加高
    for (int k = 1; k < LOG; k++) {
        for (int i = 1; i + (1 << k) - 1 <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                for (int l = 0; l < LOG; l++) {
                    stmax[i][j][k][l] = max(stmax[i][j][k-1][l], stmax[i + (1 << (k-1))][j][k-1][l]);
                    stmin[i][j][k][l] = min(stmin[i][j][k-1][l], stmin[i + (1 << (k-1))][j][k-1][l]);
                }
            }
        }
    }
}

// 查询矩形 [x1,y1] ~ [x2,y2] 最大值
int get_max(int x1, int y1, int x2, int y2) {
    int kx = lg[x2 - x1 + 1];
    int ky = lg[y2 - y1 + 1];
    int lenx = 1 << kx;
    int leny = 1 << ky;
    return max({
        stmax[x1][y1][kx][ky],
        stmax[x2 - lenx + 1][y1][kx][ky],
        stmax[x1][y2 - leny + 1][kx][ky],
        stmax[x2 - lenx + 1][y2 - leny + 1][kx][ky]
    });
}

// 查询矩形 [x1,y1] ~ [x2,y2] 最小值
int get_min(int x1, int y1, int x2, int y2) {
    int kx = lg[x2 - x1 + 1];
    int ky = lg[y2 - y1 + 1];
    int lenx = 1 << kx;
    int leny = 1 << ky;
    return min({
        stmin[x1][y1][kx][ky],
        stmin[x2 - lenx + 1][y1][kx][ky],
        stmin[x1][y2 - leny + 1][kx][ky],
        stmin[x2 - lenx + 1][y2 - leny + 1][kx][ky]
    });
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    pre_log();

    // 读入矩阵行列
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            cin >> a[i][j];
    build();

    int q;
    cin >> q;
    while (q--) {
        int x1, y1, x2, y2;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        int mx = get_max(x1, y1, x2, y2);
        int mi = get_min(x1, y1, x2, y2);
        cout << mx - mi << '\n';
    }
    return 0;
}