【板子】拓扑排序

一、核心原理

1. 它是干什么的？

解决 **"先做 A 才能做 B"** 的问题。

把 **有向无环图 (DAG)** 拉直成一个序列。
保证：如果 A -> B（A 依赖 B），序列中 B 一定在 A 前面 （注：取决于建图逻辑，通常我们定义 a->b为 a做完才能做 b，即 a在前；但在"菜肴制作"题中，为了"小数靠前"，我们采用了反向建图，此时 y->x意味着 x依赖 y，y在前）。

2. 为什么要有"无环"？

如果有环 A->B->C->A：

意味着 A 要在 B 前，B 要在 C 前，C 要在 A 前。
逻辑死锁，无解。
判环依据 ：拓扑排序输出的节点数 < n。

3. Kahn 算法（BFS）底层逻辑

**入度 (in)** = 有多少人在等你。
入度为 0 = 没人等你，你现在就可以做。
做完一个任务，就告诉你的后继："我可以了"（入度减 1）。
当某个后继发现"所有人都搞定了"（入度变 0），把它加入队列。

二、通用算法板子（Kahn / BFS）

这是最常用、最安全的板子，适用于 90% 的题。

1. 链式前向星存图（推荐）

复制代码

const int N = 1e5 + 10, M = 2e5 + 10;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int in[N]; // 入度

void add(int a, int b) { // a->b
    e[idx] = b;
    ne[idx] = h[a];
    h[a] = idx++;
}

// 初始化
memset(h, -1, sizeof h);
idx = 0;
fill(in, in + n + 1, 0);

2. 拓扑排序主逻辑

复制代码

bool topo(vector<int>& res) {
    queue<int> q;
    // 1. 把所有入度为0的点入队
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (in[i] == 0) q.push(i);
    }

    // 2. BFS
    while (q.size()) {
        int u = q.front(); q.pop();
        res.push_back(u);
        // 3. 遍历邻接表，减少后继的入度
        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int v = e[i];
            if (--in[v] == 0) {
                q.push(v);
            }
        }
    }
    // 4. 判环：如果排出的点不够，说明有环
    return res.size() == n;
}

三、板子的三种"变身"（应对不同题型）

普通情况（随便排，只要合法）

特征：题目只要求给出一种可行的顺序。
板子：直接用上面的 queue<int>。

字典序最小

特征：输出时，如果多个点可选，选编号小的。
变身：把 queue换成 priority_queue<less<int>>（小根堆）。

priority_queue<int, vector, greater> q;
注意：这是正向思维，谁小谁先出。

特殊限制：小数尽量靠前（洛谷 P3243 菜肴制作）

特征：1 要尽量靠前，在保证 1 的前提下 2 要尽量靠前......
误区：不能用小根堆直接跑。
正解：反向建图 + 大根堆 + 反转结果。

// 建图时：add(y, x); 原来是 x 依赖 y，现在建 y->x
// 队列：priority_queue q; // 大根堆
// 输出：reverse(res.begin(), res.end());
原理：与其纠结谁在前，不如让大数在后面排队。

四、DFS 拓扑排序

用于判环或内存受限场景。

复制代码

int st[N]; // 0=未访问, 1=访问中, 2=已结束
vector<int> res;

bool dfs(int u) {
    st[u] = 1; // 进入递归栈
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int v = e[i];
        if (st[v] == 1) return false; // 遇到环
        if (st[v] == 0 && !dfs(v)) return false;
    }
    st[u] = 2; // 弹出递归栈
    res.push_back(u); // 后序插入
    return true;
}

bool topo_dfs() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (!st[i] && !dfs(i)) return false;
    }
    reverse(res.begin(), res.end()); // 必须反转
    return true;
}

五、临场使用决策树

考试时，按这个顺序想：

是不是 DAG？
- 是 → 拓扑排序
- 否 → 强连通分量（Tarjan）
有没有环？
- 有 → 输出 Impossible
- 无 → 继续
有没有特殊顺序要求？
- 无 → queue
- 字典序最小 → priority_queue<greater<int>>
- 小数尽量前 → 反向建图 + priority_queue<less<int>>+ reverse
数据多大？
- n > 5000→ 链式前向星
- n < 5000→ vector<vector<int>>

六、踩坑点

坑点	症状	解决方案
多测不清空	WA / TLE	`h`, `idx`, `in`必须重置
数组开小	RE	`N`至少开 `max(n,m)+10`
下标混淆	WA	看清题目是 `0~n-1`还是 `1~n`
判环条件	WA	`res.size() != n`
DFS 忘反转	WA	DFS 拓扑必须 `reverse`