矩阵快速幂 (Exponentiation By Squaring Applied To Matrices)

一、前提

1. 只有方阵可以做矩阵快速幂

• 幂运算 = 矩阵自乘无数次
• 非方阵无法自乘（维度不匹配） 能快速幂的：2*2，3*3... 方阵 ; 不能快速幂的：2*1... 列向量、长方形矩阵

2. 完整解题结构

1. 方阵做快速幂（核心计算）
2. 最后一步用「方阵 × 列向量」得到答案
3. 列向量永远不参与幂运算

二、前置知识：矩阵乘法规则

1. 合法乘法

中间维度必须相等

2. 方阵乘法（矩阵快速幂专用）

完全闭合，可以无限自乘。

3. 单位矩阵（矩阵版的 1）

快速幂初始答案必须是单位矩阵：

性质：任何矩阵 × 单位矩阵 = 原矩阵

三、矩阵快速幂原理

普通快速幂：

矩阵快速幂：

只是把「数字乘法」换成「矩阵乘法」 时间复杂度：，可以处理

四、线性递推 → 转移矩阵

通用二阶递推

五、普通快速幂 & 矩阵快速幂模板

1. 多组数据必须每次重建矩阵、全部初始化

//Math 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

/*********************************************************** */
//普通快速幂 求a^bMOD M
int qpow(int a,int b,int M){
    int res=1LL;
    a%=M;
    while(b){
        if(b&1)res=res*a%M;
        b>>=1LL;
        a=a*a%M;
    }
    return res;
}
/*************************************************************** */
//矩阵快速幂
int MOD=1e9+7;
struct Matrix{
    int size;
    vector< vector<int>>m;
    Matrix(int n){
        size=n;
        m.assign(n,vector<int>(n,0));
    }
    void make_E(){
        for (int i=0; i<size; i++)m[i][i]=1;
    }
    void Input(){
        for(int i=0;i<size;i++)
            for(int j=0;j<size;j++)
            cin>>m[i][j];
    }
    void Output(){
        for(int i=0;i<size;i++){
            for(int j=0;j<size;j++){
            cout<<m[i][j]<<' ';
        }
        cout<<endl;
        }
    }
};
Matrix operator*(const Matrix&A,const Matrix&B){
    int len=A.size;
    Matrix res(len);
    for (int i=0;i<len;i++)
        for (int k=0;k<len;k++)
            if(A.m[i][k])
                for(int j=0;j<len;j++)
                    res.m[i][j]=(res.m[i][j]+A.m[i][k]*B.m[k][j])%MOD;
    return res;
}
//A^k 
Matrix mat_qpow(Matrix A,int k){
    Matrix res(A.size);
    res.make_E();
    while(k){
        if(k&1)res=res*A;
        A=A*A;
        k>>=1LL;
    }
    return res;
}
/******************************************************* */
void solve(){

    //斐波那契数列 f(1)=1, f(2)=1, f(n)=f(n-1)+f(n-2)
    //求f(n) MOD=1e9+7
    int n;cin>>n;
    if(n<=2){cout<<(1);return;}
    Matrix Q(2);
    Q.m[0][0]=Q.m[0][1]=Q.m[1][0]=1;
    Q=mat_qpow(Q,n-2);
    cout<<(Q.m[0][0]+Q.m[0][1])%MOD;
}
signed main(){
    ios_base::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr);
    cout.tie(0);
    int _=1;
    //cin>>_;
    while(_--)solve();
    return 0;
}