一、二分图基础概念
- 定义 二分图（Bipartite Graph）是一种特殊的无向图，其所有顶点可以划分为两个互不相交的集合，满足：图中每一条边的两个端点，都分别属于这两个集合；同一集合内部不存在任何边。 通俗理解：我们可以把图中所有点染成黑白两种颜色，使得任意一条边连接的两个点颜色一定不同，同色点之间没有直接相连的边。
- 核心判定定理 一个无向图是二分图，当且仅当图中不存在长度为奇数的环（奇环）。
偶环（边数为偶数的环）：一定可以完成二分染色，属于合法二分图
奇环（边数为奇数的环）：染色必然出现冲突，无法构成二分图 最典型的奇环是三角形（3个点、3条边），三个点两两相连，无论如何染色都会出现相邻点同色的情况。 - 常见二分图场景 - 师生关系图、男女配对图 - 跨校交流关系图 - 棋盘黑白格相邻图 - 所有满足"对立关系、分组关系"的无向图
二、算法核心思想
- 二分图染色（又称二染色、黑白染色）是判定二分图的标准方法，执行流程如下：
- 任选一个未访问的起点，将其染成颜色0
- 遍历该点的所有邻居，全部染成颜色1
- 继续遍历邻居的邻居，全部染回颜色0
- 以此类推，深度/广度优先遍历，交替染色
- 遍历过程中若发现相邻点已染色且颜色相同，则判定存在奇环，该图不是二分图
- 颜色状态约定 通常用整数数组标记每个点的状态：
-1：未访问、未染色
0：第一种颜色（对应A）
1：第二种颜色（对应B） - 矛盾判定规则 当遍历到某条边的两个端点时： - 若一端未染色：将其染成另一端的反色，继续遍历 - 若两端都已染色且颜色不同：合法，无冲突 - 若两端都已染色且颜色相同：出现矛盾，存在奇环，不是二分图 ## 三、代码实现模板
三、判断一个图是否为二分图模板
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,n) for(ll i=a;i<=n;++i)
#define per(i,a,n) for(ll i=n;i>=a;--i)
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+10;
vector<ll> G[maxn];
ll n,m,col[maxn],vis[maxn];
bool flag=1;//是否为二分图
bool dfs(ll x,ll c)
{
col[x]=c;
vis[x]=1;
for(int i=0;i<G[x].size();i++)
{
ll y=G[x][i];
if(!vis[y])dfs(y,!c);//如果y没有被染色，则染成与x不同的颜色
else if(col[y]==c)flag=0;//如果y已经被染色，并且与x颜色相同，则说明不是二分图
}
return true;
}
void sol()
{
cin>>n>>m;
memset(vis,0,sizeof(vis));
rep(i,1,m)
{
ll u,v;
cin>>u>>v;
G[u].push_back(v);
G[v].push_back(u);
}
rep(i,1,n)
{
if(!vis[i])dfs(i,0);
}
if(flag)cout<<"Yes"<<endl;
else cout<<"No"<<endl;
}
int main()
{
sol();
return 0;
}四、染色统计与最值计算
-
两集合计数方法 在染色过程中增加计数变量，可以统计每个连通块内两种颜色的节点数量
-
最小/最大选取结论，每个连通二分图都存在两种合法染色方案：
-
起点染0：颜色0数量为cnt0，颜色1数量为cnt1
-
起点染1：颜色0数量为cnt1，颜色1数量为cnt0 因此对于单个连通块：某集合最小节点数 = min(cnt0, cnt1)，某集合最大节点数 = max(cnt0, cnt1)，全局结果只需将所有连通块的对应值累加即可。
五、经典题型与应用模型
- 二分图合法性判定 题目特征：要求将对象分成两组，组内不能有联系；或明确要求判断是否为二分图。
解法：直接染色，出现矛盾输出无解。
关键词：分组、对立、敌我、不能同组。 - 双集合大小统计题目特征：已知关系为跨集合产生，求两个集合的人数范围。
典型例题：GESP七级「交流问题」------只有不同学校的学生才会交流，求B校最少/最多人数。
解法：每个连通块染色，分别累加所有块的最小值和最大值。 - 最小点覆盖类问题 题目特征：每条边恰好有一端被选中，求最少选中点数。
典型例题：检查点布置问题------每条道路恰好一端设检查点，求最小数量。
解法：约束等价于二分图染色，有奇环则无解；无奇环则每个连通块取最小值累加。
六、高频易错点汇总
- 初始化错误，颜色数组必须初始化为-1，不能默认用0，否则无法区分"未染色"和"颜色0"。
- 遗漏多连通块，** 必须循环遍历所有顶点，只从起点跑一次DFS会漏掉不连通的子图。
- 忘记反色递归，邻居必须染成相反颜色!c，漏写反色会导致所有点同色。
- 用颜色判断连通性，同一连通块内的点可以同色也可以异色，绝对不能用颜色是否相同判断两点是否连通。连通性判断请使用并查集或连通块编号法。
- 大数据栈溢出，节点数量超过范围时，链式图用DFS会爆递归栈，此时必须改用BFS。
- 矛盾不及时终止，发现染色冲突后应及时返回，避免无意义递归造成超时。
七、总结
- 二分图的本质是"无奇环的无向图"，二分染色是判定二分图的标准方法。
- 染色算法核心逻辑："交替染色、冲突判环"，DFS和BFS均可实现。
- 每个连通二分图有两种合法染色方案，可用于求解集合大小的最值问题。
- 二分图染色是GESP、CSP-J等竞赛的高频考点，常结合分组、最值、判定类问题出现，掌握模板后可以快速建模求解。