切割绳子价值最小化
问题重述
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有若干根绳子（或一根总绳）
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最多切 K 刀，得到若干段
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段越短，价值越低，且呈指数下降
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目标：总价值最小
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每次切割的收益 = 切割前段价值 - 切割后两段价值之和（收益 > 0 才值得切）
数学模型
根据题目可见，尽量把最长段变小就是合理解。但是这里有一个细节，一个绳直接切一刀把两段压入数组，再次切这个绳会出现12 6 6 6 3 3 这种情况，实际上两刀切到一个绳子上完全可以变成4 4 4的段，这也是为什么要用价值优先队列转移
设一段长度为 x，其价值为：
val(x) = e^(-λx) 或 val(x) = 1 / x^p切割收益：
gain = val(x) - val(a) - val(x-a)每次选 gain 最大的段切一刀
代码略
常见价值函数替换表
| 物理意义 | 公式 | 代码 |
|---|---|---|
| 指数衰减 | e^(-λx) | exp(-LAMBDA * x) |
| 平方反比 | 1/x² | 1.0 / (x * x) |
| 幂律 | 1/x^p | pow(x, -P) |
| 对数 | -ln(x) | -log(x) |
| 线性 | ax + b | A * x + B |
为什么贪心是对的？（简要证明）
交换论证：
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假设最优解不是每次切收益最大的段
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存在一次切割 A（收益大）未被选，另一次切割 B（收益小）被选
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交换这两次切割顺序，总价值不会变差
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因此贪心选择是最优的
复杂度分析
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时间：O(K log K)
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空间：O(K)