本文涉及知识点
一维区域查找
我们输入数据是一维空间中（即一条直线上)的一个点集。需要查询：该点集中落在某个一维矩形（即某个区间x-x')内的所有点。对点排序后，二分查找。排序 O ( n l o g n ) ，查询 O ( l o g n ) O(nlogn)，查询O(logn) O(nlogn)，查询O(logn)。
定理5.2：给定由一维空间中任意n个点构成的集合P。可以使用O(n)空间，在O(nlogn)时间内构造一棵平衡二分查找树以存储P。这样，可以在O(k+logn)时间内查找出任何区间内的所有点。其中,k是实际被查找出来的点数。
2 kd-树
设P为由平面任意n个点构成的集合。针对P的一次二维矩形区域查找，就是从P中找出落在某一待查询矩形x:x' × \times ×y,y'之内的所有点。点 p : = ( p x , p y ) 落在改矩形内，当且仅当 p:=(p_x,p_y)落在改矩形内，当且仅当 p:=(px,py)落在改矩形内，当且仅当
p x ∈ x , x ′ , p y ∈ y , y ′ p_x\inx,x',p_y\iny,y' px∈x,x′,py∈y,y′
对于深度为偶数的节点，使用垂线进行划分;对于深度为奇数的节点，将使用水平线进行划分。这样的树称为kd树(kd-tree)，最初这个名字的含义为k维树（k-dimensional tree）。最初的含义已经不复存在，现在都将2d-树称为2维kd-树。
算法BuildKDTree(P,depth)
输入：点集P以及当前的深度depth
输出：与P对应的kd-树的根节点。
1 如果(P只含有一个点)
2 then return(存在改节点的叶子)
3 如果(depth是偶数)
4 the 沿着通过P内各点x-坐标中值的垂线l,将P划分成左、右两两个子集,P1为l左侧或之上的点集，P2为l右侧的点集。
5 else 沿桌通过P内各点y-坐标中值水平线l，将P划分为上、下两个子集,P1记录l下方或之线上的点，P2记录线上方的点。
6 V l e f t ← B u i l d K D T r e e ( P 1 , d e p t h + 1 ) V_{left} \leftarrow BuildKDTree(P_1,depth+1) Vleft←BuildKDTree(P1,depth+1)
7 V r i g h t ← B u i l d K D T r e e ( P 2 , d e p t h + 1 ) V_{right} \leftarrow BuildKDTree(P_2,depth+1) Vright←BuildKDTree(P2,depth+1)
8,生成一个节点v以存储直线l，并分别将 V l e f t 和 V r i g h t V_left和V_right Vleft和Vright设置为v的左、右孩子。
9,return v。
中值定义为 从小到大第 ⌊ n 2 ⌋ 从小到大第\lfloor \frac n 2 \rfloor 从小到大第⌊2n⌋个数。
在O(n)时间内找到中位数的算法过于复杂，预处理时将P按x排序，Q=P,Q按y排序。
引理5.3 ：给定任意n个点组成的一个集合，其对应的k-d树占用O(n)空间，并可以在O(nlogn)时间内构造出来。
引理5.4 :如果待查区域为与坐标轴平行的矩形，那么对于存储了任意n个点的一棵k-d树，每次查询都可以 O ( n + k ) 时间内完成，其中 k 为实际报告出来的点数。 O(\sqrt n + k)时间内完成，其中k为实际报告出来的点数。 O(n +k)时间内完成，其中k为实际报告出来的点数。
算法 SearchKDTree(v,R)
输入：kd-树的根节点v，以及待查区域R
输出：所有以v为祖先，位于R之内的叶子所对应的点
1 如果v是叶子
2 #then 如果v落在R之内，则把它报告出来。
3 #else if(左子树全部在R中)
4 # then 报告左子树所有节点
5## 如果左子树和R相交
6### then SearchKDTree(左子树,R)
7 # if(右子树全部在R中)
8 # 报告右子树
9 # else 如果右子树和R相交
10## SearchKDTree 右子树
第4行和第8行的时间复杂度是O(k),除此之外的运行时间和R相交的子树数线性相关。f(n)计算任意垂线最多和多少棵子树相交。
f(1)=1 f(2)=2 f(3)=4 f(n)=2+2f(n/4)。
令 n = 4 k , g ( k ) = f ( 4 k ) n = 4^k,g(k)=f(4^k) n=4k,g(k)=f(4k)
求 lim n → ∞ f ( n ) = 2 + 2 g ( k − 1 ) = 2 + 2 ∗ 2 + 2 g ( k − 2 ) = 2 1 + 2 2 + ⋯ 2 k − 1 = 2 k − 2 ≈ 2 k = 4 k = n \lim\limits_{n \to \infty}f(n)=2+2g(k-1)=2+2*2+2g(k-2)=2^1+2^2+\cdots 2^{k-1}=2^k-2 \approx 2^k=\sqrt{4^k}=\sqrt n n→∞limf(n)=2+2g(k−1)=2+2∗2+2g(k−2)=21+22+⋯2k−1=2k−2≈2k=4k =n
3 区域树（二维线段树、树套树)
通过x建立线段树，每个节点都包括一个二维树（通过y建立)。
性质一 ：令线段树的根节点是第0层。从第一层起，每层顶多有两个节点，和查询区域，部分重叠。且节点的左边界或右边界在查询区域。
性质二 ：从第一层起，每层顶多两个顶多两个节点和全部在查询区域。
下面用树数学归纳法证明，第一层显然符合。节点区域全部在查询区域的节点，进行第二维查询,故不会产生下一层的节点。不失一般性,令节点n是右边界在查询区域，如果左孩子的右边界不在查询区域，则左孩子不需处理，右孩子需要处理。符合性质一二。如果左盒子的右边界在查询区域，则右孩子完整在查询区域，左孩子由边界在查询区域。符合性质一二。
时间复杂度 ：O(k+lognlogn) logn个节点全部在查询区域，每个节点对y查询，时间复杂度是O(logn)。
空间复杂度：O(nlogn)，每个节点每层最多存储一次，共logn层。
4 高维区域树
定理9 ：给定由d维空间中任意n个点构成的集合, d ≥ 2 d \ge 2 d≥2。对应于P的一棵区域树占用O( n l o g d − 1 n nlog^{d-1}n nlogd−1n)的存储空间，并且可以在O( n l o g d − 1 n nlog^{d-1}n nlogd−1n)时间内构造处理。对这棵区域进行查询，可以在O(k+ l o g d n log^dn logdn)时间内，从P中报告出落在给定(超)矩形待差区域之内的所有点，其中k为实际被报告的点数。
5 一般性点集
处理x或y坐标相同的点，将实数坐标(a,b)替换成合成数空间（composite number space）的元素。
我的理解： 0 ≤ x , y < M ，则将 ( a , b ) 转成 a × M + b 0 \le x,y < M，则将(a,b)转成a \times M +b 0≤x,y<M，则将(a,b)转成a×M+b
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测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。