LeetCode 202：快乐数（双指针问题） —— 题解

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🎯 欢迎来到「快乐数」题解之旅！ 本文将带你从"判断一个数在迭代平方和过程中是否会陷入循环"这一数学问题出发，深入理解快慢指针（Floyd判圈算法） 的经典应用，并掌握如何高效检测循环而不必存储历史状态。

在开始之前，建议你先：

了解题目背景 ：这是 LeetCode 202 题，给定一个正整数 nn，每次将其替换为各位数字的平方和 ，重复这一过程，若最终变为 1 则该数为快乐数，否则会陷入不含 1 的循环 。本质上，这是一个检测链式变换是否进入循环的问题，类似于判断链表是否有环。
明确学习目标 ：掌握两种解法------哈希集合存储历史值 （直观但需额外空间）和快慢指针（Floyd判圈算法）（空间 O(1)O(1)），理解为什么平方和序列一定会进入循环（值域有限），以及快慢指针如何通过"每次慢走一步、快走两步"来检测循环。熟练实现位运算与辅助函数，并处理边界情况。
准备好环境 ：建议在本地 IDE 或 LeetCode 在线编辑器中打开代码，边看边运行，亲手验证示例（如 n=19n=19 输出 true，n=2n=2 输出 `false )）。

本文将从问题转化、平方和计算、循环检测（哈希表 vs 快慢指针） 到代码实现，层层递进。即使你对环形链表检测还不熟悉，我们也会从"这个计算过程就像走一条链，要么到1，要么绕圈"这一直觉出发，让你轻松抓住核心思想 ------快慢指针能判断是否有环，而且空间更省。现在，让我们一起在数字的平方和变换中，找出那个快乐数的密码吧！ 🧮✨

一.题目

202. 快乐数 - 力扣（LeetCode）

🎯 欢迎来到「移动零」题解之旅！ 本文将带你从"将所有零移到数组末尾，同时保持非零元素顺序"这一数组操作问题出发，深入理解双指针（快慢指针） 的经典应用，并掌握如何原地修改数组，实现高效的一次遍历。

在开始之前，建议你先：

了解题目背景 ：这是 LeetCode 283 题，给定一个数组 nums，要求将所有 0 移动到数组末尾，并保持非零元素的相对顺序不变 ，且必须原地操作 （不能复制新数组）。这是数组操作中的基础题，也是双指针思想的入门经典。
明确学习目标 ：掌握双指针解法 ------维护一个"慢指针"指向已处理好的非零序列的末尾，用"快指针"遍历数组，遇到非零元素则交换（或覆盖）到慢指针位置，最后将剩余位置填零。理解为什么这种"只关心非零元素，遇到零就跳过"的策略能保持相对顺序，并熟练处理边界（如全零数组或全非零数组）。
准备好环境 ：建议在本地 IDE 或 LeetCode 在线编辑器中打开代码，边看边运行，亲手验证示例（如 nums = [0,1,0,3,12] 输出 [1,3,12,0,0]）。

本文将从问题转化、双指针策略设计（快慢指针详解）、代码模拟 到复杂度分析，层层递进。即使你对双指针还不熟悉，我们也会从"用慢指针记录非零元素应该放的位置"这一直觉出发，让你轻松抓住核心思想 ------快指针负责探路，慢指针负责记录，所有非零元素依次往前靠，零自然被挤到后面。现在，让我们一起把零"搬运"到末尾，让数组焕然一新吧！ 🔄📦

二.做题思路

一、问题分析（前置分析）

给定正整数 n，不断将其替换为 各位数字的平方和 ，重复此过程。若最终能变成 1，则为快乐数；否则会进入 不含 1 的无限循环 。

核心观察 ：平方和序列要么收敛到 1，要么进入循环。因此，检测循环 是解决问题的关键。

二、算法策略（快慢指针）

使用 Floyd 判圈算法（快慢指针） 检测序列中的循环：
- 慢指针 slow 每次走一步（计算一次平方和）；
- 快指针 fast 每次走两步（计算两次平方和）。
初始化：slow = n，fast = square(n)。
循环直到 slow == fast（说明检测到环）。
若相遇时 fast == 1，则循环是 1 -> 1 -> ...，返回 true；否则进入其他循环，返回 false。

三、正确性说明（简单版本）

快乐数过程中的平方和序列 要么最终到达 1 ，要么会进入一个不包含 1 的循环（因为数值范围有限，必然重复）。快慢指针 能在不记录历史的情况下检测环的存在。当快慢指针相遇时，若相遇点值为 1，则说明序列中出现了 1 的循环，即原数是快乐数；否则说明进入了其他循环，不是快乐数。该算法可检测所有情况，正确性由判圈算法保证。

四、实现细节（边界防护）

辅助函数 square(int n) 负责计算各位数字的平方和，注意 循环取模 直到 n 变为 0。
初始化 slow = n，fast = square(n)（快指针先走一步，防止初始相等误判）。
循环条件为 slow != fast，每次循环：
- slow = square(slow)；
- fast = square(fast); fast = square(fast);（快指针走两步）。
退出循环后判断 fast == 1（或 slow == 1 均可）。
时间复杂度：O(循环步数)，空间复杂度 O(1)。

五、返回值（目标映射）

返回 true 表示 n 是快乐数，否则返回 false。

三.代码

cpp 复制代码

class Solution 
{
public:
    // 辅助函数：计算一个数各位数字的平方和
    int square(int n) 
    {
        int sum = 0;   // 累计平方和
        int t = 0;     // 临时变量，存储当前位的数字

        // 循环取出 n 的每一位数字
        while (n > 0) 
        {
            t = n % 10;          // 取出最低位
            sum += t * t;        // 累加该位的平方
            n = n / 10;          // 去掉最低位
        }
        return sum;
    }

    bool isHappy(int n) 
    {
        // 算法思路：快乐数的计算过程本质上是对数值进行迭代（f(n) = 各位平方和），
        // 这个过程要么最终到达1（快乐数），要么进入一个不包含1的循环。
        // 使用快慢指针（Floyd判圈算法）检测循环：
        //   - slow 每次走一步（调用一次 square）
        //   - fast 每次走两步（调用两次 square）
        // 如果它们相遇，说明存在循环；如果相遇时值为1，则说明是快乐数。

        int slow = n;              // 慢指针初始指向 n
        int fast = square(n);      // 快指针初始指向 f(n)

        // 循环直到快慢指针相遇（即检测到循环）
        while (slow != fast) 
        {
            slow = square(slow);          // 慢指针走一步

            // 快指针走两步（连续调用两次 square）
            fast = square(fast);
            fast = square(fast);
        }

        // 相遇时，如果 fast（或 slow）等于1，说明循环为1 -> 1 -> ...，是快乐数；
        // 否则进入了其他循环（如4 -> 16 -> 37 -> ...），不是快乐数。
        if (fast == 1) 
        {
            return true;
        } 
        else 
        {
            return false;
        }
    }
};

四、流程图

🎯 闭幕

🎉 恭喜你完成了「快乐数」问题的学习！

为了巩固知识并进一步拓展，建议你：

🚀 动手实践

在 LeetCode 上提交代码，尝试不同的测试用例。

💡 深入思考

本题使用 快慢指针（Floyd判圈算法） 检测循环，slow 每次走一步（调用一次 square），fast 每次走两步（调用两次 square）。请问 为什么快慢指针一定能相遇？如果数字序列不存在循环会怎样？
辅助函数 square 计算各位数字的 平方和 ，这个过程是否一定会在有限步内进入循环？你能从数学上解释原因吗？（提示：数字位数与平方和的关系）
初始时 slow = n，fast = square(n)，为什么不让两者都从 n 开始？如果都从 n 开始，while 循环还能正确工作吗？

📚 延伸挑战

如果将规则改为 各位数字的立方和 （而不是平方和），判断一个数是否为"快乐数"的算法框架是否需要改变？只修改 square 函数是否足够？
如果要求输出 循环中的全部数字（例如当不是快乐数时，输出进入循环的所有数），如何基于当前代码做最小改动来实现？

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📌 深入思考答案

快慢指针一定能相遇，因为平方和迭代在有限状态（整数范围 1~2^31-1）上必然出现重复，一旦重复就形成环，快指针终会追上慢指针，这是 Floyd 判圈算法的核心。若不存在循环，只有到达 1 后永远停留在 1（即 1→1 的循环），快慢指针依然会相遇于 1。
平方和迭代必定进入循环 ，因为对于任意 n，其各位平方和最大不超过 9^2 * 位数，当位数较多时（例如 10 位数），平方和最大为 810，而后续值被限制在 1~810 的有限范围内，因此最多迭代 810 次后必有重复，进入循环。
初始设置 slow = n，fast = square(n) 是为了让快指针先走一步，否则 while 循环一开始 slow == fast 会直接退出，无法判断循环。如果都从 n 开始，则需要改用 do-while 结构。

🔍 延伸挑战答案

挑战1 ：算法框架 完全不变 ，只需将 square 函数中的平方改为立方（t*t*t）即可，因为底层逻辑仍然是迭代函数求值 + 判圈，快乐数的定义仅改变平方和的函数形式，判圈逻辑通用。
挑战2 ：可在快慢指针相遇后，用 哈希集合 记录从 n 开始到相遇的所有数字，然后从相遇点继续走，记录直到回到起点，即可得到完整循环序列；或者修改为 哈希集合 方案，在迭代过程中记录所有出现过的数字，当发现重复且不为 1 时直接输出该循环段。

祝你在 算法之路 上越走越稳，早日攻克每一道难题！下次见 🚀✨