五、算法策略
1、策略概述
|-------|----------------------------|------------------------------------------------------------------------------------------|--------------------------------------------------------|
| 算法 | 关键点 | 特征 | 问题 |
| 分治法 | 递归技术 | 划分，解决子问题，把一个问题拆分成多个小规模的相同子问题，一般用于递归解决 | 斐波那契数列， 归并排序，快速排序 ，矩阵乘法（多个矩阵相乘）， 二分搜索 ，大整数乘法，汉诺塔 |
| 贪心法 | 一般用于求满意解，特殊情况可求最优解（部分背包问题） | 局部最优，当前最优，但整体不见得最优。每步有明确的，既定的策略 | 背包问题（如装箱，不能切割），多机调度（任务分配） ，找零钱问题 |
| 动态规划法 | 递归式，最优子结构，中间数组 | 划分子问题（最优子结构），并把子问题结果使用数组存储，利用查询子问题结果构造最终问题结果。（一般最顶向下时间复杂度为O(2^n)，字底向上时间复杂度为O(n^a)效率更高） | 斐波那契数列， 矩阵乘法，背包问题，LCS最长公共子序列（某一个子序列，即是x的，也是y的，长度最大的序列） |
| 回溯法 | 探索和回退 | 系统的搜索一个问题的所有解或任一解，有试探和回退的功能 | N皇后问题（N*N并限定位置） ，迷宫问题， 背包问题 |
2、分治法
对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易解决（规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解决这些子问题，然后将各个子问题的解合并得到原问题的解
（1）：过程
1.分解：该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易解决
2.解决：该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题
3.合并：利用该问题分解出的子问题的解，可以合并为该问题的解
（2）：解决问题
递归：自己调用自己
1.斐波那契数列：F(0)=1，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)
int F(int n) {
if(n==0) return 1;
if(n==1) return 1;
if(n>1) return F(n-1)+F(n-2);
}
2.二分查找：查找v值在arr数组中的下标，x表示初始下标，y表示截至下标
int search(int arr\[\], int x, int y, int v) {
if(x > y) return -1;
int m = (x+y)/2;
if(v == arrm) {
return m;
}
else if(v > arrm) {
return search(arr, m+1, y, v);
}
else {
return search(arr,x, m-1, v);
}
}
（3）：例题
解：firstSum、 lastSum两变量表示前半部分重量与后半部分重量
>问题一：可以套入实例 偶数1~4 与 奇数1~5 得出答案
(1)：last / 2 + 1
(2)：firstSum < lastSum
(3)：(last - first) / 2 + first
>问题二：分治法、O(log2n)
>问题三：最少2次、最多4次
3、贪心法
局部最优选择（满意解），解决部分背包问题时可以得到最优解
（1）：背包问题
固定的容量，放价值最高的内容
b为0-1背包
c为部分背包
设：申请一些场地举办一批活动，每场活动都有开始和结束时间。两场活动的开始与结束时间不交叠视为不冲突。计算n个活动需要的最少场地。
>思路：设场地数m，活动数n，场地集合P1, P2, ······, Pm
1.采用快速排序将活动开始时间从小到大排列，得到活动集合a1, a2, ······, an 。然后重复2、3、4步骤
2.判断场地P1的最后一个活动与ai是否冲突，若冲突，则考虑下一个场地P2 ······
3.若不冲突，则将活动ai安排到场地P1，然后考虑下一场活动
4.若ai与所有已安排活动的场地的最后一个活动都有冲突，则安排一个新的场地给ai
5.将n（n为活动数，开始假设每场活动都冲突，都需要安排一个场地，所以这里n也被计作开始场地数）减去没有安排活动的场地数，则可求得最少场地数
>下表给出n=11的活动集合，则最少场地为5个
P1：1-8-11，P2：2-6-9，P3：3，P4：4-7，P5：5-10
>时间复杂度：由于嵌套了两个for循环ai（活动）及Pj（场地），所以时间复杂度为 O(n^2)
（2）：例题
解：
>问题一
分析代码：先将n个任务填充到m个机器当中，再根据每台机器已运行任务的时间最短条件，将下一个（m+）的任务放置到此机器当中
t\[\]//任务列表
s\[\]\[\]//机器任务列表
d\[\]//机器运行时长列表
count\[\]//机器运行任务个数
(1)：先将m台机器填满任务，d表示机器运行时长，t表示任务列表时长，所以将机器填满应该将m个任务填充到d当中，所以循环m时，di = ti
(2)：分配m之后的任务，也就是将已填充的机器再次叠加填充，所以再次循环时，起始位置应该是m，i = m
(3)：当求得k后，表示第k个任务此时可以被填充，count\[\]记录每个机器运行任务的个数，所以将任务添加到s机器任务列表中，skcount\[k] = i
(4)：求机器当中最大运行时长，d列表相比较，取最大，所以 di > max
>问题二
(5)：分机问题，取局部最优解 = 贪心算法
(6)：时间复杂度：根据四段循环代码，求得四段事件复杂度：O(m*n)、O(m)、O(m*n)、O(m)，取最大为：O(m*n)
>问题三
(7)：将实例套入代码，前三个任务分别放入三段机器，即0-16，0-14，2-6，剩余任务判断条件后放入得出
0# 0
1# 1、5
2# 2、3、4、6
(8)：根据(7)结论求出每台机器时间
0# 16
1# 14+3=17
2# 6+5=11+4=15+2=17
找出最大运行时间为：17
4、动态规划法
问题中，如果出现"最优子结构"的描述，并且结构用递归式表示，中间还有数组记录子问题的解，则一般为动态规划法
（2）：例题
解：
>问题一：
(1)：i (2)：i
(3)：temp >= (pi + rj-i) ? temp : pi + rj-i
(4)：ri = temp
>问题二：
动态规划法（给出递归式）
>问题三：
(6)：O(2^n)
(7)：O(n^2)
5、回溯法
解决迷宫问题
选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当搜索到某一步时，发现原先选择并不优或没有达到目标，就回退一步重新选择。这种走不通就回退再走的技术就是回溯法
试探部分：满足规则内的所有条件，则扩大规模
回退部分：搜小规模，1.当前规模解不是合法解时进行回溯（不满足约束条件），2.当求完一个解再求下一个解时进行回溯
（1）：例题
解：已知数组pos当中值存放为皇后行号，数组下标为列号
>问题一
(1)：判断冲突，判断列会产生冲突（行内不会冲突，因为每行只能存在一个皇后）posi == posk
(2)：初始化赋值，数组从1开始，j = 1
(3)：尝试摆放皇后，如果不满足摆放条件，进入while循环，pos行未达到边界值 并且 当前位置无法摆放皇后（调用isplace方法判断当前位置是否冲突），则继续尝试下一个摆放。isplace(pos, j) == 0
(4)：摆放下一个皇后，如果pos行为达到边界值，则可以摆放下一个皇后。j < N
(5)：回溯，j = j -1
>问题二：回溯法
>问题三（必须每列都放置皇后）：带入实例验证下：方案1-2413，方案2-3142
