#二叉树# #树形结构# #遍历#
前言
在数据结构四大逻辑结构：集合、线性结构、树形结构、图形结构中，线性结构描述一对一关系，树形结构描述一对多的关系，是非常重要的非线性数据结构。前面学习的链表、栈、队列都属于线性结构，而树打破了一对一的约束，一个节点可以拥有多个子节点。
二叉树是树最常用的特例，广泛应用于文件系统、排序搜索、哈夫曼编码等场景。本篇笔记整理树与二叉树基础概念、专有名词、特殊二叉树、遍历算法以及重建二叉树知识点，方便大家复习刷题。
程序设计 = 数据结构 + 算法，树形结构是面试笔试高频考点。
一、树基础概念
树是由根节点和若干子节点构成，元素之间一对多关系的数据集合。
- 空树：没有任何结点的树。
- 根节点：树最顶层的节点，没有父节点。
- 叶子节点（终端节点）：度为 0，没有子节点。
- 分支节点：拥有子节点的节点。
专有名词
- 节点的度：一个节点拥有子节点的数量。
- 树的度（广度）：树中所有节点的度的最大值。
- 树的深度：树的总层数。
二、二叉树
二叉树：树的度最大为 2，左右子树不能互换，每个节点最多只能有两个孩子，分为左子树、右子树。
1. 满二叉树
不增加层数情况下，不能新增任何节点，每一层节点数达到最大值。
- K 层满二叉树：
- 第 k 层节点数量：\(2^{k-1}\)
- 整棵树全部节点总数：\(2^k-1\)
2. 完全二叉树
在满二叉树基础上，从上到下、从左往右依次新增节点；或者从满二叉树从下到上、从右往左删除节点得到。
重要结论：满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树。堆就是基于完全二叉树实现。
三、二叉树遍历（高频考点）
遍历就是按照某种规则，访问树中每一个节点，分为深度优先遍历 和广度优先（层序）遍历。
深度优先遍历 DFS
表格
| 遍历方式 | 访问顺序 | 口诀 |
|---|---|---|
| 前序遍历 | 根 → 左子树 → 右子树 | 根左右 |
| 中序遍历 | 左子树 → 根 → 右子树 | 左根右 |
| 后序遍历 | 左子树 → 右子树 → 根 | 左右根 |
广度优先遍历 BFS
- 层序遍历：从上往下，同一层从左到右逐个访问节点，一般借助队列实现。
二叉树还原（笔试常考）
- ✅ 前序 + 中序遍历序列，可以唯一还原二叉树
- ✅ 后序 + 中序遍历序列，可以唯一还原二叉树
- ❌ 前序 + 后序，不能唯一还原一棵二叉树，缺少中序无法区分左右子树边界。
原理：前序第一个元素 / 后序最后一个元素是根节点；拿到根节点，在中序序列分割出左子树全部节点、右子树全部节点，递归反复分割即可构建整棵树。
四、小结
- 树形结构属于一对多逻辑结构，区别于链表栈队列的一对一线性结构。
- 二叉树每个节点最多 2 个子节点，左右子树严格区分，不能交换。
- 满二叉树每层节点填满；完全二叉树节点靠左紧密排列。
- 三种深度遍历：前序 (根左右)、中序 (左根右)、后序 (左右根)；层序遍历使用队列。
- 必须要有中序遍历结果，搭配前序或者后序，才能唯一复原二叉树。