【数据结构】排序算法：归并排序与基数排序

考点频率 ：★★★★☆（选择题常考，归并排序的复杂度与稳定性是重点，基数排序常考其适用场景）

难度：⭐⭐⭐⭐（归并排序需理解分治与合并，基数排序需理解分配与收集过程）

建议：重点掌握归并排序的"分治+合并"思想及时间复杂度；重点掌握基数排序的LSD过程及适用场景

1️⃣ 为什么还有这两种排序？

前面我们学过了插入类（插入排序）、交换类（冒泡、快速）、选择类（简单选择、堆排序）。这些排序算法有一个共同特点：它们都基于"比较"------通过比较元素的大小来决定位置。

而归并排序和基数排序代表了两种完全不同的思路：

算法	核心策略	一句话概括
归并排序	分治：先分割成小块，排序后再合并	"先分后合，分而治之"
基数排序	不比较大小，按位分配	"按位分配，逐位收集"

打个比方 ：归并排序像整理一份打乱的文件 ------先把文件分成两半，分别整理好，再把两半合并成一份有序的整体。基数排序像按电话号码排序------先按最后一位分到10个桶里，再按倒数第二位分......经过所有位数后自然就有序了，全程不需要比较大小。

2️⃣ 归并排序（Merge Sort）

2.1 核心思想

归并排序采用分治（Divide and Conquer） 策略：

分：将待排序序列从中间一分为二，递归地对左右两部分进行归并排序
治：当子序列长度为1时，递归返回
合：将两个已排序的子序列合并成一个有序序列

打个比方：你有一副打乱顺序的扑克牌。你把牌分成两堆，分别整理成有序的，然后再把两堆牌合并成一堆有序的牌。这个过程就像"分而治之"------先分后合。

2.2 合并两个有序数组（核心操作）

归并排序的核心操作是合并两个已经有序的子序列。

复制代码

左子序列： [1, 3, 5, 7]
右子序列： [2, 4, 6, 8]

合并过程：
1. 比较1和2 → 取1
2. 比较3和2 → 取2
3. 比较3和4 → 取3
4. 比较5和4 → 取4
5. 比较5和6 → 取5
6. 比较7和6 → 取6
7. 比较7和8 → 取7
8. 取8

合并结果： [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]

2.3 执行过程示例

对数组 [5, 3, 8, 1, 4, 7, 2, 6] 进行归并排序：

复制代码

                    [5, 3, 8, 1, 4, 7, 2, 6]
                          /             \
                   [5, 3, 8, 1]       [4, 7, 2, 6]
                    /        \         /        \
               [5, 3]      [8, 1]   [4, 7]    [2, 6]
               /   \       /   \    /   \     /   \
             [5]   [3]   [8]  [1]  [4]  [7]  [2]  [6]
              \    /      \   /     \   /     \   /
              [3, 5]      [1, 8]   [4, 7]    [2, 6]
                \          /         \        /
              [1, 3, 5, 8]          [2, 4, 6, 7]
                   \                    /
                  [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]

2.4 复杂度与特点

情况	时间复杂度	说明
最好情况	O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn)	与初始顺序无关
最坏情况	O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn)	与初始顺序无关
平均情况	O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn)	与初始顺序无关

空间复杂度 ：O(n)O(n)O(n)（合并时需要额外的数组空间）

稳定性 ：✅ 稳定（合并时相等元素保持原有顺序）

3️⃣ 基数排序（Radix Sort）

3.1 核心思想

基数排序不基于比较 ，而是基于分配和收集。它将整数按位数（个位、十位、百位......）进行多趟排序。

打个比方：你要按学号给同学排序。你不需要比较学号的大小，而是先按最后一位数字分到10个组里（分配），按顺序收集起来（收集）；再按倒数第二位数字分组收集......经过所有位数后，学号自然就有序了。

两种实现方式：

方式	说明	软考重点
最高位优先（MSD）	从最高位开始分配	较少考查
最低位优先（LSD）	从最低位开始分配	软考重点

LSD的实现更简单，也是软考中最常考的方式。

3.2 基数排序的LSD过程

步骤：

确定最大数的位数 ddd
对 i=0i = 0i=0 到 d−1d-1d−1：
- 分配：根据第 iii 位的数字（0-9），将元素放入对应的10个桶中
- 收集：按桶的顺序（0→1→2→...→9）依次取出元素

示例：对 [329, 457, 657, 839, 436, 720, 355] 进行基数排序（LSD）

第1趟（按个位分配）：

桶0	桶1	桶2	桶3	桶4	桶5	桶6	桶7	桶8	桶9
720	---	---	---	---	355	436	457,657	---	329,839

收集后：[720, 355, 436, 457, 657, 329, 839]

第2趟（按十位分配）：

桶0	桶1	桶2	桶3	桶4	桶5	桶6	桶7	桶8	桶9
---	---	329	436	---	457,657	---	---	---	---

720	---	---	---	839	---	---	---	---	---

收集后：[720, 329, 436, 839, 355, 457, 657]

第3趟（按百位分配）：

桶0	桶1	桶2	桶3	桶4	桶5	桶6	桶7	桶8	桶9
---	---	---	329,355	436,457	---	657	720	---	---

收集后：[329, 355, 436, 457, 657, 720, 839]

3.3 复杂度与特点

情况	时间复杂度	说明
最好情况	O(d×(n+r))O(d \times (n + r))O(d×(n+r))	ddd 为位数，rrr 为基数（通常为10）
最坏情况	O(d×(n+r))O(d \times (n + r))O(d×(n+r))	与初始顺序无关
平均情况	O(d×(n+r))O(d \times (n + r))O(d×(n+r))	与初始顺序无关

空间复杂度 ：O(n+r)O(n + r)O(n+r)（需要桶的空间）

稳定性 ：✅ 稳定（分配收集不改变同值元素的顺序）

关键特点：

基数排序的复杂度与初始序列是否有序无关
适用于整数、字符串等固定位数的数据
当 ddd 较小时效率很高（如身份证号、学号）

4️⃣ 八大排序算法全景对比（必背总结表）

算法	最好	最坏	平均	空间	稳定性	是否原地
插入排序	O(n)O(n)O(n)	O(n2)O(n^2)O(n2)	O(n2)O(n^2)O(n2)	O(1)O(1)O(1)	✅ 稳定	✅ 是
冒泡排序	O(n)O(n)O(n)	O(n2)O(n^2)O(n2)	O(n2)O(n^2)O(n2)	O(1)O(1)O(1)	✅ 稳定	✅ 是
简单选择	O(n2)O(n^2)O(n2)	O(n2)O(n^2)O(n2)	O(n2)O(n^2)O(n2)	O(1)O(1)O(1)	❌ 不稳定	✅ 是
快速排序	O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn)	O(n2)O(n^2)O(n2)	O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn)	O(log⁡n)O(\log n)O(logn)	❌ 不稳定	✅ 是
堆排序	O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn)	O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn)	O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn)	O(1)O(1)O(1)	❌ 不稳定	✅ 是
归并排序	O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn)	O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn)	O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn)	O(n)O(n)O(n)	✅ 稳定	❌ 否
希尔排序	O(n1.3)O(n^{1.3})O(n1.3)	O(n2)O(n^2)O(n2)	O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn)~O(n2)O(n^2)O(n2)	O(1)O(1)O(1)	❌ 不稳定	✅ 是
基数排序	O(d(n+r))O(d(n+r))O(d(n+r))	O(d(n+r))O(d(n+r))O(d(n+r))	O(d(n+r))O(d(n+r))O(d(n+r))	O(n+r)O(n+r)O(n+r)	✅ 稳定	❌ 否

5️⃣ 经典例题

例题1 （归并排序过程）：对序列 [6, 2, 8, 1, 5, 3] 进行归并排序，写出第一次合并后的结果。

解析：

分：[6, 2, 8] 和 [1, 5, 3]
继续分：[6] [2, 8] 和 [1] [5, 3]
继续分：[6] [2] [8] 和 [1] [5] [3]
合并相邻：[2, 6] [1, 8] 和 [1, 5] [3]
再合并：[1, 2, 6, 8] 和 [1, 3, 5]
最终合并：[1, 1, 2, 3, 5, 6, 8]

第一次合并后的结果是 [2, 6] [1, 8] [1, 5] [3]。

答案：[2, 6, 1, 8, 1, 5, 3]

例题2（基数排序适用场景）：以下哪种数据最适合用基数排序？

A. 100个随机浮点数

B. 10000个学生的学号（8位数字）

C. 10000个随机字符串（长度不等）

D. 100个结构体对象

解析：基数排序适合固定长度 的数据（如学号、身份证号、IP地址）。A浮点数处理复杂；C长度不等需要特殊处理；D结构体需按特定关键字排序。B学号是固定8位数字，最适合基数排序。选 B。

例题3 （判断）：归并排序的平均时间复杂度为 O(n2)O(n^2)O(n2)。（　）

解析：错误。归并排序的平均时间复杂度为 O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn)。

6️⃣ 记忆口诀

归并排序分治精，先分后合两路行。

O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn) 稳定排，空间 O(n)O(n)O(n) 要记清。

基数排序不比较，按位分配逐位收。

ddd 趟收集 n+rn+rn+r，固定长度最优解。

7️⃣ 小测验（评论区对答案）

对序列 [4, 2, 7, 1, 9, 5] 进行归并排序，合并过程中最后一轮合并时，左右两个子序列分别是（　）。

A. [2, 4, 7] 和 [1, 5, 9]

B. [1, 2, 4, 7] 和 [5, 9]

C. [2, 4, 7] 和 [1, 5, 9]

D. [1, 2, 4, 5, 7, 9]

🔔 本专栏日更，点击头像 → 专栏《软考中级高频考点》订阅，第一时间接收新内容