核心问题
这个本来是打算和线段树学习笔记弄一起来着，不过今天才过的模板题
维护一组函数，支持修改函数或查询某点xxx处的最大值。
传统的做法就有李超线段树、凸包分块我独立发明过这个
DS序列
如果一个序列(n,s)(n,s)(n,s)满足：
-元素取自1−n1-n1−n，且无相邻的项相同。
-任意两个不同的数字x,yx,yx,y交替出现的次数不超过s+1s+1s+1。
那么称这个序列为DS(n,s)DS(n,s)DS(n,s)
定理：DS(n,s)DS(n,s)DS(n,s)序列的最长长度为λs(n)\lambda_s(n)λs(n)，它满足λs(n)=O(n⋅α(n)O(1))\lambda_s(n)=O(n\cdot\alpha(n)^{O(1)})λs(n)=O(n⋅α(n)O(1))，这个增长非常的缓慢了，队常数s的影响几乎是线性。
:::info证明
观察得若一个序列为DS(n,s)DS(n,s)DS(n,s)序列，则该序列的任意子序列仍然是DS(n′,s)DS(n^{'},s)DS(n′,s)序列，其中n′n^{'}n′为子序列中实际出现的不同符合数。因此交替不会被操作破坏。
然后分层压缩证明
固定一个参数r，把一个符号称为：
-轻符号：它在序列中出现的次数<r<r<r
-重符号：他在序列中出现的次数≥r\geq r≥r
设原始序列长度为m=λs(n)\lambda_s(n)λs(n)
1、轻符号至多有nnn个，每个出现次数≤r\leq r≤r，所以它们总贡献最多为O(nr)O(nr)O(nr)
2、重符号每个出现至少rrr次，所以重符号的个数至多为O(λs(n)r)O(\frac{\lambda_s(n)}{r})O(rλs(n))。
删除所有轻符号后，得到一个只含重符号的序列。它是某个DS(q,s)DS(q,s)DS(q,s)序列，其中q=O(λs(n)r)q=O(\frac{\lambda_s(n)}{r})q=O(rλs(n))，因此其长度布草过λs(q)\lambda_s(q)λs(q)
于是递归：λs(n)≤O(nr)+λs(O(λs(n)r))\lambda_s(n)\leq O(nr)+\lambda_s(O(\frac{\lambda_s(n)}{r}))λs(n)≤O(nr)+λs(O(rλs(n)))
令r=α(n)r=\alpha(n)r=α(n)。由于alpha(n)alpha(n)alpha(n)增长极慢，递归每展开一层，字母表规模缩小一个α(.)\alpha(.)α(.)因子。展开常数层后，字母表规模降到常数，递归终止。
因此得到λs(n)≤O(n⋅α(n)O(1))\lambda_s(n)\leq O(n\cdot\alpha(n)^{O(1)})λs(n)≤O(n⋅α(n)O(1))
:::
DS序列与函数上包络线
上包络线
上包络线其实就是上凸包的样子。
我们有一堆函数，比如f1(x),f2(x),f3(x),...，fn(x)f_1(x),f_2(x),f_3(x),...，f_n(x)f1(x),f2(x),f3(x),...，fn(x)
对于每一个xxx，我们都找到那堆函数里值最大的哪个，把这些最高点连起来，就得到了一条曲线，就是上包络线。
显然这条曲线是分段的，不同的x的范围可能处于不同的函数。
分段数越多，说明曲线越复杂。
###这和DS序列有毛关系啊？！
我们把上包络线从左到右看，没遇到一段，就记下是哪个函数最高，得到一个数字序列。
注意到任何两个不同的函数，它们在最大值上的上的交替次数是有限的。
-如果函数图像成直线，两条直线最多交叉一次，所以最多交替2次
-成抛物线（二次函数）同理，最多3次
-更一般地，如果任意两个函数交替次数不超过s+1s+1s+1，我们就说这族函数sss阶交替地。
欸这个定义咋这么熟悉，这不就是DS数列吗。
所以他的长度（分段数）不比nnn多少
我们可以用懒标记来维护它，而不会爆炸
KTT
注意到，我们只用在切换点附近更新就行了。
基本思想
建一棵线段树，每个叶子放一个函数。
每个节点存储：
- 当前最优函数：在这个节点管辖区间内，当前xxx下取值最大的那个函数。
- 击败时间：从当前xxx开始，再过多久（增加多少xxx），这个最优函数会被另一个函数反超。
当xxx增大到超过某个节点的击败时间，就递归进入这个节点，更新它的最优函数，并重新计算新的击败时间。
这样，大部分时间我们什么都不用做，只有当"切换"真正发生时，才花力气去更新。
复杂度为什么对？
关键在于：每个节点的最优函数切换次数，不超过它子树内函数上包络线的分段数。而根据DS序列理论，这个分段数是O(λs(子树大小))O(\lambda_s(子树大小))O(λs(子树大小))，几乎是线性的。
总更新次数：
∑所有节点λs(子树大小)=O(λs(n)logn) \sum_{所有节点}\lambda_s(子树大小)=O(\lambda_s(n)\log n) 所有节点∑λs(子树大小)=O(λs(n)logn)
每次更新需要从该节点往下走到叶子，路径长度O(logn)O(\log n)O(logn)，所以总复杂度O(λs(n)log2n)O(\lambda_s(n)\log^2n)O(λs(n)log2n)。
查询就是普通线段树查询，O(logn)O(\log n)O(logn)。
支持在线修改
如果允许中途修改某个函数的值，我们可以把每个叶子看成"时间线"上的分段函数：初始函数，然后每次修改后换成新函数。
这样子树内的函数数量变成r−l+1+∑kir-l+1+\sum k_ir−l+1+∑ki（其中kik_iki是叶子iii被修改的次数）。
这些函数是分段函数，交替阶会变成s+2s+2s+2，所以总切换次数仍然可控：
O(λs+2(n+M)logn)O(\lambda_{s+2}(n+M)\log n)O(λs+2(n+M)logn)
其中MMM是总修改次数。于是KTT可以高效处理带修改的询问。
应用到最大子段和
在"区间加正数、查询最大子段和"问题中，区间整体加的值xxx就是"时间"。
每个节点的四个信息（sum、lmax、rmax、mx）都表示为关于xxx的一次函数：
-sum：斜率=区间长度，截距=原区间和
-lmax：若干个前缀和函数的上包络
-rmax：若干个后缀和函数的上包络
-mx：若干个子段和函数的上包络
我们把这些函数放进KTT。区间加时，只需将对应节点的"时间"推进，并更新各函数值和击败时间。如果击败时间变成负数，就递归更新。
势能分析可以证明总更新次数是O((n+M)log2n)O((n+M)\log^2n)O((n+M)log2n)级别，从而得到对数复杂度，远优于分块。
扩展到二次函数
节点中存储的"当前最优函数"从直线变成抛物线。
"击败时间"不再是两条直线的交点，而是两个抛物线在定义域内的最近交点（可能需要解二次方程，我还不会这种东西）
若操作是给区间每个位置 iii 加上ai2+bi+ca_i^2 + b_i+cai2+bi+c（a,b≥0a,b\ge 0a,b≥0），那么每个位置的值就是一个关于iii的二次函数。
我们可以把每个位置看作一个叶子，存储其当前的二次函数系数。区间加操作相当于给这些系数整体加上一个给定的二次函数。
KTT 节点维护子树内所有二次函数的上包络线（最大值曲线），并计算击败时间。因为二次函数交替阶低，更新次数少，所以复杂度仍为 O((n+m)log2n)O((n+m)\log^2 n)O((n+m)log2n) 级别。