【矩阵】LC 48.旋转图像

文章目录

前言
一、题目
- 1、原题链接
- 2、题目描述
二、个人思路整理
三、知识风暴

前言

本专栏文章为《LeetCode 热题 100》的刷题题解，相关内容如有侵权，立即删除。

一、题目

1、原题链接

48.旋转图像

2、题目描述

二、个人思路整理

1、思路分析

思路1：几何翻转

将顺时针旋转 90° 拆解为两次对称翻转：

上下翻转（水平中轴线翻转）：将第 i i i 行与第 n − 1 − i n - 1 - i n−1−i 行整体交换。 matrix $i$ $j$ ⟷ matrix $n - 1 - i$ $j$ \text{matrix} $i$ $j$ \longleftrightarrow \text{matrix} $n - 1 - i$ $j$ matrix $i$ $j$ ⟷matrix $n-1-i$ $j$
沿主对角线转置：交换第 i i i 行第 j j j 列与第 j j j 行第 i i i 列（注意只遍历上三角或下三角）。 matrix $i$ $j$ ⟷ matrix $j$ $i$ \text{matrix} $i$ $j$ \longleftrightarrow \text{matrix} $j$ $i$ matrix $i$ $j$ ⟷matrix $j$ $i$ 也可以先转置再左右翻转（每行内部 reverse），效果完全一致。

思路2：四位置循环轮换（分圈旋转）

矩阵旋转本质上是 4 个对应位置的元素依次轮换：左上 → 右上 → 右下 → 左下 → 左上 \text{左上} \to \text{右上} \to \text{右下} \to \text{左下} \to \text{左上} 左上→右上→右下→左下→左上

顺时针旋转 90° 的基本移动规律是：原位置 ( r , c ) ⟶ 目标位置 ( c , n − 1 − r ) \text{原位置 }(r, c) \longrightarrow \text{目标位置 }(c, n - 1 - r) 原位置 (r,c)⟶目标位置 (c,n−1−r)

顺着这个映射关系连续推导 4 步，具体坐标对应关系：

点 1（左上角区域）： ( i , j ) (i, j) (i,j) 移到 ( j , n − 1 − i ) (j, n - 1 - i) (j,n−1−i)
点 2（右上角区域）： ( j , n − 1 − i ) (j, n - 1 - i) (j,n−1−i) 移到 ( n − 1 − i , n − 1 − j ) (n - 1 - i, n - 1 - j) (n−1−i,n−1−j)
点 3（右下角区域）： ( n − 1 − i , n − 1 − j ) (n - 1 - i, n - 1 - j) (n−1−i,n−1−j) 移到 ( n − 1 − j , i ) (n - 1 - j, i) (n−1−j,i)
点 4（左下角区域）： ( n − 1 − j , i ) (n - 1 - j, i) (n−1−j,i) 移回 ( i , j ) (i, j) (i,j)

只需要用一个临时变量暂存其中一个值，按逆时针方向逐个覆盖即可。遍历范围只需覆盖矩阵的左上角四分之一区域：

行遍历：i 从 0 到 n / 2 - 1
列遍历：j 从 0 到 (n + 1) / 2 - 1

2、解题代码

思路1：几何翻转

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    void rotate(vector<vector<int>>& matrix) {
        int n = matrix.size();

        // 1. 上下翻转
        for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
            swap(matrix[i], matrix[n - 1 - i]);
        }

        // 2. 主对角线翻转（转置）
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = i + 1; j < n; j++) {
                swap(matrix[i][j], matrix[j][i]);
            }
        }
    }
};

复杂度分析

时间复杂度： O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)，矩阵中每个元素访问常数次。

空间复杂度： O ( 1 ) O(1) O(1)，仅使用常数级额外空间，严格满足原地旋转要求。

思路2：四位置循环轮换（分圈旋转）

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    void rotate(vector<vector<int>>& matrix) {
        int n = matrix.size();

        for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
            for (int j = 0; j < (n + 1) / 2; j++) {
                int temp = matrix[i][j];
                matrix[i][j] = matrix[n - 1 - j][i];
                matrix[n - 1 - j][i] = matrix[n - 1 - i][n - 1 - j];
                matrix[n - 1 - i][n - 1 - j] = matrix[j][n - 1 - i];
                matrix[j][n - 1 - i] = temp;
            }
        }
    }
};

复杂度分析

时间复杂度： O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)，矩阵中每个元素访问常数次。

空间复杂度： O ( 1 ) O(1) O(1)，仅使用常数级额外空间，严格满足原地旋转要求。

三、知识风暴

原地矩阵变换 是「旋转图像」这类矩阵操作题的核心思想：在不借助额外矩阵的前提下，通过坐标映射与元素交换，直接对原矩阵进行变换。由于题目要求 O ( 1 ) O(1) O(1) 额外空间，这类题通常采用「对称翻转」或「循环轮换」的方式，避免开辟新的二维数组。

算法核心思想：

坐标映射 ：旋转 90° 的本质是建立原坐标 ( r , c ) (r, c) (r,c) 到目标坐标 ( c , n − 1 − r ) (c, n - 1 - r) (c,n−1−r) 的一一映射，所有解法都围绕这一映射展开。
对称翻转组合：将旋转拆解为「上下翻转 + 主对角线转置」两次对称操作，每次操作都是简单的两两交换，代码直观且不易出错。
四位置循环轮换：利用坐标映射连续推导 4 步，让 4 个对应位置的元素依次轮换，只需一个临时变量即可完成，遍历范围仅覆盖左上角四分之一区域。
空间压缩 ：整个过程只使用常数个临时变量，不额外开辟与矩阵规模相关的存储，空间复杂度为 O ( 1 ) O(1) O(1)。

算法变体与扩展：

逆时针旋转 90° ：只需调整坐标映射为 ( r , c ) → ( n − 1 − c , r ) (r, c) \to (n - 1 - c, r) (r,c)→(n−1−c,r)，或等价地改为「左右翻转 + 主对角线转置」，思路完全对称。
旋转 180° ：等价于「上下翻转 + 左右翻转」，或直接交换 ( i , j ) (i, j) (i,j) 与 ( n − 1 − i , n − 1 − j ) (n - 1 - i, n - 1 - j) (n−1−i,n−1−j)，无需转置。
旋转 270°（即逆时针 90°）：可拆解为「左右翻转 + 主对角线转置」，或直接复用逆时针映射。
非方阵处理 ：对于 m × n m \times n m×n 的矩形矩阵，旋转后尺寸变为 n × m n \times m n×m，无法原地完成，必须借助额外矩阵，此时应改用「逐层拷贝」的思路。

与其他算法的对比：

几何翻转法 ： O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 时间、 O ( 1 ) O(1) O(1) 空间，通过两次对称翻转组合实现旋转，代码最简洁，是本题最易理解的解法。
四位置循环轮换法 ： O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 时间、 O ( 1 ) O(1) O(1) 空间，直接按坐标映射逐个轮换元素，只需一个临时变量，是本题最优解。
辅助矩阵法 ： O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 时间、 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 空间，直接按映射关系填入新矩阵，思路最简单但空间开销大，不满足本题 O ( 1 ) O(1) O(1) 额外空间要求。

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