概理论与数理统计学习教程，从入门到精通，平稳随机过程(27）

平稳随机过程

知识点总结与详细推导

---

§1 平稳随机过程的概念

1.1 随机过程的基本回顾

随机过程 {X(t), t∈T}\{X(t),\, t \in T\}{X(t),t∈T} 是一族依赖于参数 ttt 的随机变量。对固定的 t0t_0t0，X(t0)X(t_0)X(t0) 是一个随机变量；对固定的样本结果 ω\omegaω，X(t,ω)X(t,\omega)X(t,ω) 是 ttt 的一个确定函数（样本函数）。

1.2 严格平稳随机过程（严平稳过程）

定义： 若随机过程 {X(t), t∈T}\{X(t),\, t \in T\}{X(t),t∈T} 的任意 nnn 个时刻 t1,t2,⋯ ,tn∈Tt_1, t_2, \cdots, t_n \in Tt1,t2,⋯,tn∈T 和任意实数 τ\tauτ，其联合分布函数满足：

F(x1,x2,⋯ ,xn; t1,t2,⋯ ,tn)=F(x1,x2,⋯ ,xn; t1+τ,t2+τ,⋯ ,tn+τ)F(x_1, x_2, \cdots, x_n;\, t_1, t_2, \cdots, t_n) = F(x_1, x_2, \cdots, x_n;\, t_1+\tau, t_2+\tau, \cdots, t_n+\tau)F(x1,x2,⋯,xn;t1,t2,⋯,tn)=F(x1,x2,⋯,xn;t1+τ,t2+τ,⋯,tn+τ)

则称 {X(t)}\{X(t)\}{X(t)} 为严格平稳随机过程（严平稳过程或狭义平稳过程）。

含义： 过程的全部统计特性不随时间起点的平移而改变。

---

1.3 宽平稳随机过程（宽平稳过程）

定义： 若随机过程 {X(t), t∈T}\{X(t),\, t \in T\}{X(t),t∈T} 满足以下两个条件：

(1) 均值为常数：

EX(t)=mX=常数EX(t) = m_X = \text{常数}EX(t)=mX=常数

(2) 自相关函数只依赖于时间差 τ=t1−t2\tau = t_1 - t_2τ=t1−t2：

RX(t1,t2)=EX(t1)X(t2)=RX(t1−t2)=RX(τ)R_X(t_1, t_2) = EX(t_1)X(t_2) = R_X(t_1 - t_2) = R_X(\tau)RX(t1,t2)=EX(t1)X(t2)=RX(t1−t2)=RX(τ)

则称 {X(t)}\{X(t)\}{X(t)} 为宽平稳随机过程（广义平稳过程）。

注： 本书后续讨论的"平稳过程"如无特别说明，均指宽平稳过程。

---

1.4 严平稳与宽平稳的关系

• 严平稳 ⇏\not\Rightarrow⇒ 宽平稳（因为严平稳过程的二阶矩可能不存在）
• 若严平稳过程的二阶矩存在（有限），则它必为宽平稳过程
• 宽平稳 ⇏\not\Rightarrow⇒ 严平稳

特例： 对于正态过程（高斯过程），严平稳与宽平稳等价。

---

1.5 基本数字特征

对于平稳过程 {X(t)}\{X(t)\}{X(t)}：

量	表达式	说明
均值	EX(t)=mXEX(t) = m_XEX(t)=mX（常数）	与 ttt 无关
均方值	EX2(t)=RX(0)EX\^2(t) = R_X(0)EX2(t)=RX(0)	=ΨX2= \Psi_X^2=ΨX2
方差	DX(t)=RX(0)−mX2DX(t) = R_X(0) - m_X^2DX(t)=RX(0)−mX2	=σX2= \sigma_X^2=σX2（常数）
自相关函数	RX(τ)=EX(t+τ)X(t)R_X(\tau) = EX(t+\\tau)X(t)RX(τ)=EX(t+τ)X(t)	只是 τ\tauτ 的函数

---

§2 各态历经性（遍历性）

2.1 问题的提出

统计平均（集平均）需要大量样本函数。在实际中往往只能获得一条（或少数几条）样本记录，能否用时间平均 代替集平均？这就是各态历经性要回答的问题。

2.2 时间平均的定义

时间均值：

⟨X(t)⟩=lim⁡T→+∞12T∫−TTX(t) dt\langle X(t) \rangle = \lim_{T \to +\infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} X(t)\, dt⟨X(t)⟩=T→+∞lim2T1∫−TTX(t)dt

时间自相关函数：

⟨X(t+τ)X(t)⟩=lim⁡T→+∞12T∫−TTX(t+τ)X(t) dt\langle X(t+\tau)X(t) \rangle = \lim_{T \to +\infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} X(t+\tau)X(t)\, dt⟨X(t+τ)X(t)⟩=T→+∞lim2T1∫−TTX(t+τ)X(t)dt

注意：⟨X(t)⟩\langle X(t) \rangle⟨X(t)⟩ 和 ⟨X(t+τ)X(t)⟩\langle X(t+\tau)X(t) \rangle⟨X(t+τ)X(t)⟩ 本身仍是随机变量（不同的样本函数给出不同的值）。

2.3 均值各态历经性（均值遍历性）

定义： 若平稳过程 {X(t)}\{X(t)\}{X(t)} 的时间均值依概率收敛于集平均均值：

⟨X(t)⟩=PEX(t)=mX\langle X(t) \rangle \stackrel{P}{=} EX(t) = m_X⟨X(t)⟩=PEX(t)=mX

即对任意 ε>0\varepsilon > 0ε>0，

lim⁡T→+∞P{∣12T∫−TTX(t) dt−mX∣<ε}=1\lim_{T \to +\infty} P\left\{\left|\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} X(t)\,dt - m_X\right| < \varepsilon\right\} = 1T→+∞limP{ 2T1∫−TTX(t)dt−mX <ε}=1

则称该过程具有均值各态历经性。

判定定理（均值遍历性条件）：

平稳过程 {X(t)}\{X(t)\}{X(t)} 的均值具有各态历经性的充要条件为：

lim⁡T→+∞12T∫−TT(1−∣τ∣2T)RX(τ)−mX2dτ=0\lim_{T \to +\infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} \left(1 - \frac{|\tau|}{2T}\right)\leftR_X(\\tau) - m_X\^2\\right d\tau = 0T→+∞lim2T1∫−TT(1−2T∣τ∣)RX(τ)−mX2dτ=0

推导过程：

记 Y=⟨X(t)⟩=12T∫−TTX(t) dtY = \langle X(t) \rangle = \dfrac{1}{2T}\displaystyle\int_{-T}^{T} X(t)\, dtY=⟨X(t)⟩=2T1∫−TTX(t)dt，则：

(a) 先求 EYEYEY：

EY=E12T∫−TTX(t) dt=12T∫−TTEX(t) dt=12T∫−TTmX dt=mXEY = E\left\\frac{1}{2T}\\int_{-T}\^{T}X(t)\\,dt\\right = \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}EX(t)\,dt = \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}m_X\,dt = m_XEY=E2T1∫−TTX(t)dt=2T1∫−TTEX(t)dt=2T1∫−TTmXdt=mX

(b) 再求 DY=EY2−(EY)2=EY2−mX2DY = EY\^2 - (EY)^2 = EY\^2 - m_X^2DY=EY2−(EY)2=EY2−mX2：

EY2=E12T∫−TTX(t1) dt1⋅12T∫−TTX(t2) dt2EY\^2 = E\left\\frac{1}{2T}\\int_{-T}\^{T}X(t_1)\\,dt_1 \\cdot \\frac{1}{2T}\\int_{-T}\^{T}X(t_2)\\,dt_2\\rightEY2=E2T1∫−TTX(t1)dt1⋅2T1∫−TTX(t2)dt2

=14T2∫−TT∫−TTEX(t1)X(t2) dt1 dt2= \frac{1}{4T^2}\int_{-T}^{T}\int_{-T}^{T}EX(t_1)X(t_2)\,dt_1\,dt_2=4T21∫−TT∫−TTEX(t1)X(t2)dt1dt2

=14T2∫−TT∫−TTRX(t1−t2) dt1 dt2= \frac{1}{4T^2}\int_{-T}^{T}\int_{-T}^{T}R_X(t_1 - t_2)\,dt_1\,dt_2=4T21∫−TT∫−TTRX(t1−t2)dt1dt2

作变量替换：令 t1−t2=τt_1 - t_2 = \taut1−t2=τ，t1+t2=st_1 + t_2 = st1+t2=s（即令 t1=tt_1 = tt1=t，t2=t−τt_2 = t - \taut2=t−τ）。更直接地，固定 τ=t1−t2\tau = t_1 - t_2τ=t1−t2，则：

EY2=14T2∫−2T2T(2T−∣τ∣) RX(τ) dτEY\^2 = \frac{1}{4T^2}\int_{-2T}^{2T}(2T - |\tau|)\,R_X(\tau)\,d\tauEY2=4T21∫−2T2T(2T−∣τ∣)RX(τ)dτ

这里用了在区域 −T,T×−T,T-T,T\times-T,T−T,T×−T,T 上积分时，对给定的 τ=t1−t2\tau = t_1 - t_2τ=t1−t2，t1t_1t1（或 t2t_2t2）的可积区间长度为 2T−∣τ∣2T - |\tau|2T−∣τ∣（当 ∣τ∣≤2T|\tau| \leq 2T∣τ∣≤2T）。

因此：

DY=EY2−mX2=14T2∫−2T2T(2T−∣τ∣)RX(τ)−mX2dτDY = EY\^2 - m_X^2 = \frac{1}{4T^2}\int_{-2T}^{2T}(2T - |\tau|)\leftR_X(\\tau) - m_X\^2\\rightd\tauDY=EY2−mX2=4T21∫−2T2T(2T−∣τ∣)RX(τ)−mX2dτ

其中利用了 14T2∫−2T2T(2T−∣τ∣) dτ=1\frac{1}{4T^2}\int_{-2T}^{2T}(2T-|\tau|)\,d\tau = 14T21∫−2T2T(2T−∣τ∣)dτ=1，所以 14T2∫−2T2T(2T−∣τ∣) mX2 dτ=mX2\frac{1}{4T^2}\int_{-2T}^{2T}(2T-|\tau|)\,m_X^2\,d\tau = m_X^24T21∫−2T2T(2T−∣τ∣)mX2dτ=mX2。

=∫−2T2T(1−∣τ∣2T)RX(τ)−mX22T dτ= \int_{-2T}^{2T}\left(1-\frac{|\tau|}{2T}\right)\frac{R_X(\tau) - m_X^2}{2T}\,d\tau=∫−2T2T(1−2T∣τ∣)2TRX(τ)−mX2dτ

由切比雪夫不等式：P(∣Y−mX∣≥ε)≤DYε2P(|Y - m_X| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{DY}{\varepsilon^2}P(∣Y−mX∣≥ε)≤ε2DY，故当 DY→0DY \to 0DY→0（T→∞T\to\inftyT→∞）时，Y=PmXY\stackrel{P}{=}m_XY=PmX。

充分条件（更实用的）： 若

lim⁡τ→+∞RX(τ)=mX2\lim_{\tau \to +\infty} R_X(\tau) = m_X^2τ→+∞limRX(τ)=mX2

则均值遍历性成立。

---

2.4 自相关函数的各态历经性

定义： 若

⟨X(t+τ)X(t)⟩=PRX(τ)\langle X(t+\tau)X(t) \rangle \stackrel{P}{=} R_X(\tau)⟨X(t+τ)X(t)⟩=PRX(τ)

则称该过程具有自相关函数的各态历经性。

判定定理：

lim⁡T→+∞12T∫−TT(1−∣τ1∣2T)B(τ1)−RX2(τ)dτ1=0\lim_{T \to +\infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\left(1-\frac{|\tau_1|}{2T}\right)\leftB(\\tau_1) - R_X\^2(\\tau)\\rightd\tau_1 = 0T→+∞lim2T1∫−TT(1−2T∣τ1∣)B(τ1)−RX2(τ)dτ1=0

其中 B(τ1)=EX(t+τ+τ1)X(t+τ1)X(t+τ)X(t)B(\tau_1) = EX(t+\\tau+\\tau_1)X(t+\\tau_1)X(t+\\tau)X(t)B(τ1)=EX(t+τ+τ1)X(t+τ1)X(t+τ)X(t)。

---

2.5 各态历经性的物理意义

具有各态历经性的平稳过程中，每一条样本函数都"遍历"了各种可能的状态，因此一条样本函数的时间平均就能代表整个过程的集平均。

---

§3 相关函数的性质

3.1 自相关函数 RX(τ)R_X(\tau)RX(τ) 的性质

设 {X(t)}\{X(t)\}{X(t)} 为实平稳过程，RX(τ)=EX(t+τ)X(t)R_X(\tau) = EX(t+\\tau)X(t)RX(τ)=EX(t+τ)X(t)：

性质 1：偶函数性质

RX(−τ)=RX(τ)R_X(-\tau) = R_X(\tau)RX(−τ)=RX(τ)

证明：

RX(−τ)=EX(t−τ)X(t)=EX(t)X(t−τ)R_X(-\tau) = EX(t-\\tau)X(t) = EX(t)X(t-\\tau)RX(−τ)=EX(t−τ)X(t)=EX(t)X(t−τ)

令 s=t−τs = t - \taus=t−τ，则 t=s+τt = s + \taut=s+τ：

=EX(s+τ)X(s)=RX(τ)■= EX(s+\\tau)X(s) = R_X(\tau) \qquad \blacksquare=EX(s+τ)X(s)=RX(τ)■

---

性质 2：有界性

∣RX(τ)∣≤RX(0)|R_X(\tau)| \leq R_X(0)∣RX(τ)∣≤RX(0)

即 RX(0)R_X(0)RX(0) 是 RX(τ)R_X(\tau)RX(τ) 的最大值。RX(0)=EX2(t)≥0R_X(0) = EX\^2(t) \geq 0RX(0)=EX2(t)≥0 代表过程的平均功率。

证明： 由柯西---施瓦茨不等式：

∣EX(t+τ)X(t)∣2≤EX2(t+τ)⋅EX2(t)=RX(0)2|EX(t+\\tau)X(t)|^2 \leq EX\^2(t+\\tau) \cdot EX\^2(t) = R_X(0)^2∣EX(t+τ)X(t)∣2≤EX2(t+τ)⋅EX2(t)=RX(0)2

∴∣RX(τ)∣≤RX(0)■\therefore\quad |R_X(\tau)| \leq R_X(0) \qquad \blacksquare∴∣RX(τ)∣≤RX(0)■

---

性质 3：非负定性

对任意 nnn 个实数 a1,a2,⋯ ,ana_1, a_2, \cdots, a_na1,a2,⋯,an 和任意 nnn 个时刻 t1,t2,⋯ ,tnt_1, t_2, \cdots, t_nt1,t2,⋯,tn：

∑i=1n∑j=1naiajRX(ti−tj)≥0\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_i a_j R_X(t_i - t_j) \geq 0i=1∑nj=1∑naiajRX(ti−tj)≥0

证明：

∑i∑jaiajRX(ti−tj)=∑i∑jaiajEX(ti)X(tj)\sum_{i}\sum_{j} a_i a_j R_X(t_i - t_j) = \sum_{i}\sum_{j} a_i a_j EX(t_i)X(t_j)i∑j∑aiajRX(ti−tj)=i∑j∑aiajEX(ti)X(tj)

=E(∑iaiX(ti))2≥0■= E\left\\left(\\sum_{i} a_i X(t_i)\\right)\^2\\right \geq 0 \qquad \blacksquare=E (i∑aiX(ti))2 ≥0■

---

性质 4：若 X(t)X(t)X(t) 不含周期分量，则

lim⁡τ→∞RX(τ)=mX2\lim_{\tau \to \infty} R_X(\tau) = m_X^2τ→∞limRX(τ)=mX2

当 mX=0m_X = 0mX=0 时，lim⁡τ→∞RX(τ)=0\lim_{\tau\to\infty}R_X(\tau) = 0limτ→∞RX(τ)=0。

---

性质 5： 若 X(t)X(t)X(t) 含有周期分量 X(t)=X′(T)+Acos⁡(ω0t+Θ)X(t) = X'(T) + A\cos(\omega_0 t + \Theta)X(t)=X′(T)+Acos(ω0t+Θ)，则 RX(τ)R_X(\tau)RX(τ) 也含有相同频率的周期分量。

---

3.2 互相关函数的性质

设 {X(t)}\{X(t)\}{X(t)} 和 {Y(t)}\{Y(t)\}{Y(t)} 为联合平稳过程：

定义： RXY(τ)=EX(t+τ)Y(t)R_{XY}(\tau) = EX(t+\\tau)Y(t)RXY(τ)=EX(t+τ)Y(t)

性质：

RXY(−τ)=RYX(τ)R_{XY}(-\tau) = R_{YX}(\tau)RXY(−τ)=RYX(τ)

∣RXY(τ)∣2≤RX(0)⋅RY(0)|R_{XY}(\tau)|^2 \leq R_X(0) \cdot R_Y(0)∣RXY(τ)∣2≤RX(0)⋅RY(0)

∣RXY(τ)∣≤12RX(0)+RY(0)|R_{XY}(\tau)| \leq \frac{1}{2}R_X(0) + R_Y(0)∣RXY(τ)∣≤21RX(0)+RY(0)

---

3.3 相关函数与协方差函数

协方差函数：

CX(τ)=RX(τ)−mX2C_X(\tau) = R_X(\tau) - m_X^2CX(τ)=RX(τ)−mX2

CX(0)=σX2=DX(t)C_X(0) = \sigma_X^2 = DX(t)CX(0)=σX2=DX(t)

---

§4 平稳随机过程的功率谱密度

4.1 功率谱密度的定义

对样本函数 x(t)x(t)x(t) 截取有限区间 −T,T-T, T−T,T：

xT(t)={x(t),∣t∣≤T0,∣t∣>Tx_T(t) = \begin{cases} x(t), & |t| \leq T \\ 0, & |t| > T \end{cases}xT(t)={x(t),0,∣t∣≤T∣t∣>T

xT(t)x_T(t)xT(t) 的傅里叶变换：

FX(ω,T)=∫−TTx(t)e−jωt dtF_X(\omega, T) = \int_{-T}^{T} x(t) e^{-j\omega t}\, dtFX(ω,T)=∫−TTx(t)e−jωtdt

平均功率的频域表示（Parseval 定理）：

∫−TTx2(t) dt=12π∫−∞+∞∣FX(ω,T)∣2 dω\int_{-T}^{T} x^2(t)\, dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |F_X(\omega, T)|^2\, d\omega∫−TTx2(t)dt=2π1∫−∞+∞∣FX(ω,T)∣2dω

平均功率谱密度函数（对集平均）：

SX(ω)=lim⁡T→+∞12TE∣FX(ω,T)∣2S_X(\omega) = \lim_{T \to +\infty} \frac{1}{2T} E\left\|F_X(\\omega, T)\|\^2\\rightSX(ω)=T→+∞lim2T1E∣FX(ω,T)∣2

平均功率：

P=12π∫−∞+∞SX(ω) dωP = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} S_X(\omega)\, d\omegaP=2π1∫−∞+∞SX(ω)dω

---

4.2 维纳---辛钦定理（Wiener-Khinchin The理）

定理： 平稳过程 {X(t)}\{X(t)\}{X(t)} 的功率谱密度 SX(ω)S_X(\omega)SX(ω) 与自相关函数 RX(τ)R_X(\tau)RX(τ) 构成傅里叶变换对：

SX(ω)=∫−∞+∞RX(τ) e−jωτ dτ\boxed{S_X(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} R_X(\tau)\, e^{-j\omega\tau}\, d\tau}SX(ω)=∫−∞+∞RX(τ)e−jωτdτ

RX(τ)=12π∫−∞+∞SX(ω) ejωτ dω\boxed{R_X(\tau) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} S_X(\omega)\, e^{j\omega\tau}\, d\omega}RX(τ)=2π1∫−∞+∞SX(ω)ejωτdω

详细推导：

SX(ω)=lim⁡T→∞12TE∣FX(ω,T)∣2S_X(\omega) = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}E\left\|F_X(\\omega,T)\|\^2\\rightSX(ω)=T→∞lim2T1E∣FX(ω,T)∣2

=lim⁡T→∞12TEFX(ω,T)⋅FX∗(ω,T)= \lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}E\leftF_X(\\omega,T)\\cdot F_X\^\*(\\omega,T)\\right=T→∞lim2T1EFX(ω,T)⋅FX∗(ω,T)

=lim⁡T→∞12TE∫−TTX(t1)e−jωt1dt1⋅∫−TTX(t2)ejωt2dt2= \lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}E\left\\int_{-T}\^{T}X(t_1)e\^{-j\\omega t_1}dt_1 \\cdot \\int_{-T}\^{T}X(t_2)e\^{j\\omega t_2}dt_2\\right=T→∞lim2T1E∫−TTX(t1)e−jωt1dt1⋅∫−TTX(t2)ejωt2dt2

=lim⁡T→∞12T∫−TT∫−TTEX(t1)X(t2) e−jω(t1−t2) dt1 dt2= \lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\int_{-T}^{T}EX(t_1)X(t_2)\,e^{-j\omega(t_1-t_2)}\,dt_1\,dt_2=T→∞lim2T1∫−TT∫−TTEX(t1)X(t2)e−jω(t1−t2)dt1dt2

=lim⁡T→∞12T∫−TT∫−TTRX(t1−t2) e−jω(t1−t2) dt1 dt2= \lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\int_{-T}^{T}R_X(t_1-t_2)\,e^{-j\omega(t_1-t_2)}\,dt_1\,dt_2=T→∞lim2T1∫−TT∫−TTRX(t1−t2)e−jω(t1−t2)dt1dt2

令 t1−t2=τt_1 - t_2 = \taut1−t2=τ，固定 t2=tt_2 = tt2=t，则 t1=t+τt_1 = t + \taut1=t+τ：

=lim⁡T→∞12T∫−2T2T(2T−∣τ∣) RX(τ) e−jωτ dτ= \lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-2T}^{2T}(2T - |\tau|)\,R_X(\tau)\,e^{-j\omega\tau}\,d\tau=T→∞lim2T1∫−2T2T(2T−∣τ∣)RX(τ)e−jωτdτ

=∫−∞+∞RX(τ) e−jωτ dτ= \int_{-\infty}^{+\infty}R_X(\tau)\,e^{-j\omega\tau}\,d\tau=∫−∞+∞RX(τ)e−jωτdτ

最后一步：当 T→∞T\to\inftyT→∞ 时，2T−∣τ∣2T=1−∣τ∣2T→1\frac{2T-|\tau|}{2T} = 1 - \frac{|\tau|}{2T} \to 12T2T−∣τ∣=1−2T∣τ∣→1。

因此：

SX(ω)=∫−∞+∞RX(τ) e−jωτ dτ■S_X(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} R_X(\tau)\, e^{-j\omega\tau}\, d\tau \qquad \blacksquareSX(ω)=∫−∞+∞RX(τ)e−jωτdτ■

---

4.3 功率谱密度的性质

性质 1：非负性

SX(ω)≥0S_X(\omega) \geq 0SX(ω)≥0

性质 2：实偶函数

由于 RX(τ)R_X(\tau)RX(τ) 是实的偶函数：

SX(ω)=∫−∞+∞RX(τ)cos⁡(ωτ) dτS_X(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}R_X(\tau)\cos(\omega\tau)\,d\tauSX(ω)=∫−∞+∞RX(τ)cos(ωτ)dτ

（虚部 ∫RX(τ)sin⁡(ωτ) dτ=0\int R_X(\tau)\sin(\omega\tau)\,d\tau = 0∫RX(τ)sin(ωτ)dτ=0，因为被积函数为奇函数）

SX(−ω)=SX(ω)S_X(-\omega) = S_X(\omega)SX(−ω)=SX(ω)

性质 3：RX(0)R_X(0)RX(0) 与 SX(ω)S_X(\omega)SX(ω) 的关系

RX(0)=EX2(t)=12π∫−∞+∞SX(ω) dωR_X(0) = EX\^2(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} S_X(\omega)\,d\omegaRX(0)=EX2(t)=2π1∫−∞+∞SX(ω)dω

这是平均功率的频域表达式。

---

4.4 互谱密度

定义：

SXY(ω)=∫−∞+∞RXY(τ) e−jωτ dτS_{XY}(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} R_{XY}(\tau)\, e^{-j\omega\tau}\, d\tauSXY(ω)=∫−∞+∞RXY(τ)e−jωτdτ

RXY(τ)=12π∫−∞+∞SXY(ω) ejωτ dωR_{XY}(\tau) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} S_{XY}(\omega)\, e^{j\omega\tau}\, d\omegaRXY(τ)=2π1∫−∞+∞SXY(ω)ejωτdω

性质：

SXY(−ω)=SXY∗(ω)=SYX(ω)S_{XY}(-\omega) = S_{XY}^*(\omega) = S_{YX}(\omega)SXY(−ω)=SXY∗(ω)=SYX(ω)

SXY(ω)S_{XY}(\omega)SXY(ω) 一般是复函数，不一定是实偶函数。

---

4.5 典型平稳过程的功率谱密度

过程	RX(τ)R_X(\tau)RX(τ)	SX(ω)S_X(\omega)SX(ω)
白噪声	N02δ(τ)\frac{N_0}{2}\delta(\tau)2N0δ(τ)	N0N_0N0（常数）
带限白噪声	N0ωcπSa(ωcτ)\frac{N_0\omega_c}{\pi}\text{Sa}(\omega_c\tau)πN0ωcSa(ωcτ)	$N_0,;
指数型	$\sigma^2 e^{-\alpha	\tau
余弦过程	A22cos⁡(ω0τ)\frac{A^2}{2}\cos(\omega_0\tau)2A2cos(ω0τ)	$