leetcode 877. 石子游戏 中等

Alice 和 Bob 用几堆石子在做游戏。一共有偶数堆石子,排成一行 ;每堆都有 正 整数颗石子,数目为 piles[i] 。

游戏以谁手中的石子最多来决出胜负。石子的 总数 是 奇数 ,所以没有平局。

Alice 和 Bob 轮流进行,Alice 先开始 。 每回合,玩家从行的 开始 或 结束 处取走整堆石头。 这种情况一直持续到没有更多的石子堆为止,此时手中 石子最多 的玩家 获胜 。

假设 Alice 和 Bob 都发挥出最佳水平,当 Alice 赢得比赛时返回 true ,当 Bob 赢得比赛时返回 false 。

示例 1:

复制代码
输入:piles = [5,3,4,5]
输出:true
解释:
Alice 先开始,只能拿前 5 颗或后 5 颗石子 。
假设他取了前 5 颗,这一行就变成了 [3,4,5] 。
如果 Bob 拿走前 3 颗,那么剩下的是 [4,5],Alice 拿走后 5 颗赢得 10 分。
如果 Bob 拿走后 5 颗,那么剩下的是 [3,4],Alice 拿走后 4 颗赢得 9 分。
这表明,取前 5 颗石子对 Alice 来说是一个胜利的举动,所以返回 true 。

示例 2:

复制代码
输入:piles = [3,7,2,3]
输出:true

提示:

  • 2 <= piles.length <= 500
  • piles.length 是 偶数
  • 1 <= piles[i] <= 500
  • sum(piles[i]) 是 奇数

分析:本题是 486. 预测赢家的特例,可以用一样的解法来做。定义二维数组 dp,其行数和列数都等于石子的堆数,dpij 表示当剩下的石子堆为下标 i 到下标 j 时,即在下标范围 i,j 中,当前玩家与另一个玩家的石子数量之差的最大值,注意当前玩家不一定是先手 Alice。

只有当 i≤j 时,剩下的石子堆才有意义,因此当 i>j 时,dpij=0。

当 i=j 时,只剩下一堆石子,当前玩家只能取走这堆石子,因此对于所有 0≤i<nums.length,都有 dpii=pilesi。

当 i<j 时,当前玩家可以选择取走 pilesi 或 pilesj,然后轮到另一个玩家在剩下的石子堆中取走石子。在两种方案中,当前玩家会选择最优的方案,使得自己的石子数量最大化。因此可以得到如下状态转移方程:

dpij=max(pilesi−dpi+1j,pilesj−dpij−1)
最后判断 dp0piles.length−1 的值,如果大于 0,则 Alice 的石子数量大于 Bob 的石子数量,因此 Alice 赢得比赛,否则 Bob 赢得比赛。

另外还有一种数学方法。由于石子的总堆数为偶数, 作为先手的 Alice 可以在第一次取走石子时就决定取走哪一组的石子,并全程取走同一组的石子。可以将石子分成两组之后,计算出每一组的石子数量,同时知道哪一组的石子数量更多。Alice 只要选择取走数量更多的一组石子即可。因此,Alice 总是可以赢得比赛。当然,如果石子的总堆数为奇数就不行了。

cpp 复制代码
bool stoneGame(int* piles, int pilesSize) {
    int dp[pilesSize];
    for(int i=0;i<pilesSize;++i)
    {
        for(int j=i+1;j<pilesSize;++j)
            dp[i][j]=0;
        dp[i][i]=piles[i];
    }
    for(int i=pilesSize-2;i>=0;--i)
    {
        for(int j=i+1;j<pilesSize;++j)
            dp[i][j]=fmax(piles[i]-dp[i+1][j],piles[j]-dp[i][j-1]);
    }
    return dp[0][pilesSize-1]>0?true:false;
}
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