斐波那契数列的前 n 项和

结论

$Sn= Fn+2 −1 S_n=F_{n+2}-1$ Sn=Fn+2−1

正文

斐波那契数列

$F1=1,F2=1 F_1=1,F_2=1$ F1=1,F2=1，对满足 $n≥3n\ge 3$ n≥3 的 $nn$ n 而言， $Fn= Fn−1 + Fn−2 F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ Fn=Fn−1+Fn−2。满足这样的规则的数列，我们称其为斐波那契数列。

简单的分析

对比较小的 $nn$ n 来说， $Fn F_n$ Fn 以及前 $nn$ n 项和 $Sn S_n$ Sn 的值列举如下 ⬇️

$nn$ n	$Fn F_n$ Fn	$Sn S_n$ Sn
$11$ 1	$11$ 1	$11$ 1
$22$ 2	$11$ 1	$22$ 2
$33$ 3	$22$ 2	$44$ 4
$44$ 4	$33$ 3	$77$ 7
$55$ 5	$55$ 5	$1212$ 12
$66$ 6	$88$ 8	$2020$ 20
$77$ 7	$1313$ 13	$3333$ 33
$88$ 8	$2121$ 21	$5454$ 54
$99$ 9	$3434$ 34	$8888$ 88
$1010$ 10	$5555$ 55	$143143$ 143
$1111$ 11	$8989$ 89	$232232$ 232
$1212$ 12	$144144$ 144	$376376$ 376
$1313$ 13	$233233$ 233	$609609$ 609
$1414$ 14	$377377$ 377	$986986$ 986
$1515$ 15	$610610$ 610	$15961596$ 1596
$1616$ 16	$987987$ 987	$25832583$ 2583
$1717$ 17	$15971597$ 1597	$41804180$ 4180
$1818$ 18	$25842584$ 2584	$67646764$ 6764
$1919$ 19	$41814181$ 4181	$1094510945$ 10945
$2020$ 20	$67656765$ 6765	$1771017710$ 17710

生成上方表格的 $Python3Python3$ Python3 代码如下 ⬇️

python 复制代码

print(r'| $n$ | $F_n$ | $S_n$ |')
print('| --- | --- | --- | ')

curr = 1
next = 1
sum = 0
for i in range(1, 21):
    sum += curr
    print(f'| ${i}$ | ${curr}$ | ${sum}$ |')
    curr, next = next, (curr + next)

通过观察这个表格，您也许会发现（没发现也没关系） $Sn= Fn+2 −1 S_n=F_{n+2}-1$ Sn=Fn+2−1 似乎总是成立。用数学归纳法应该可以证明它，我们来试试。

当 $n=1n=1$ n=1 时， $S1=1=F3−1=2−1 S_1=1=F_{3}-1=2-1$ S1=1=F3−1=2−1 成立。

假设 $Sn= Fn+2 −1 S_n=F_{n+2}-1$ Sn=Fn+2−1 对 $n=1,2,3,⋯ ,kn=1,2,3,\cdots,k$ n=1,2,3,⋯,k 都成立。我们来看看 $n=k+1n=k+1$ n=k+1 时的情况。
$Sk+1 =Sk+ Fk+1 S_{k+1}=S_k+F_{k+1}$ Sk+1=Sk+Fk+1
$= Fk+2 −1+ Fk+1 =F_{k+2}-1+F_{k+1}$ =Fk+2−1+Fk+1
$= Fk+1 + Fk+2 −1 =F_{k+1}+F_{k+2}-1$ =Fk+1+Fk+2−1
$= Fk+3 −1 =F_{k+3}-1$ =Fk+3−1
$= F(k+1)+2 −1 =F_{(k+1)+2}-1$ =F(k+1)+2−1

所以 $n=k+1n=k+1$ n=k+1 时， $Sn= Fn+2 −1 S_n=F_{n+2}-1$ Sn=Fn+2−1 也成立，那么 $Sn= Fn+2 −1 S_n=F_{n+2}-1$ Sn=Fn+2−1 对任意正整数 $nn$ n 都成立。

不用数学归纳法

不用数学归纳法，也可以证明 $Sn= Fn+2 −1 S_n=F_{n+2}-1$ Sn=Fn+2−1，一个可行的方案如下

$F1=F3−F2 F_1=F_3-F_2$ F1=F3−F2
$F2=F4−F3 F_2=F_4-F_3$ F2=F4−F3
$F3=F5−F4 F_3=F_5-F_4$ F3=F5−F4
$⋯\cdots$ ⋯
$Fn= Fn+2 − Fn+1 F_n=F_{n+2}-F_{n+1}$ Fn=Fn+2−Fn+1

对以上 $nn$ n 个等式求和，可以得到
$∑k=1k=n Fk= Fn+2 −1 \sum_{k=1}^{k=n}{F_k}=F_{n+2}-1$ k=1∑k=nFk=Fn+2−1