2026数学建模ABCDE选题分析大白话版本

摘要

2026 高教社杯共有 5 道竞赛题目：A 药材烘干（偏微分方程数值仿真）、B 无线电干扰定位清除（几何算法 + 模拟器接口开发）、C 微网电力调控（混合整数线性规划时序优化）、D 时频冲突检测消解（时空组合调度优化）、E SEM 广告投放策略（数据挖掘 + 多目标优化）。五道题目分别面向物理仿真、工程算法、运筹优化、资源调度、商业数据分析五大方向。本文从题目背景、问题拆解、模型框架、代码实现、结果分析完成五道题选题解析，构建多维度量化对比表，并实现可视化雷达图，供参赛队伍选题参考。

一、各道题目详细选题分析

📌A 题：药材的烘干问题

1.1 题目背景

中药材热风烘干是中药加工关键工艺。圆柱形药材内部发生耦合传热 ‑ 传质物理过程，热量由外部烘房传入药材内部，水分由内部向表面扩散挥发。烘房温湿度随时间动态变化；物性参数（密度、比热容、导热系数、水分扩散系数）与温度、含水率强非线性相关；问题 4 引入药材失水收缩，属于动边界偏微分方程问题。要求输出大规模网格数据，严格输出 4 份 Excel 结果文件。

1.2 问题分析

问题 1：预热平衡阶段，物性参数为常数，圆柱一维径向热传导方程与水分扩散方程耦合求解，输出 1800s 内温度场、水分场；离散采样点表格 + 高密度网格输出result1.xlsx。
问题 2：完整烘干全过程，物性参数随温度、含水率动态更新，求解 3 小时的时空场分布。
问题 3：求解全域水分浓度全部低于 0.15kg/kg 对应的烘干终止时间；输出长时间序列水分分布。
问题 4：考虑药材半径随时间收缩，求解移动边界条件下耦合方程，重新计算烘干时长。

核心难点

圆柱坐标系偏微分方程，轴心$r=0$存在奇点，离散格式处理复杂；
扩散系数为含水率、温度非线性函数，方程组强耦合，每时间步迭代求解；
Robin 对流换热、对流传质边界条件；
Q4 动边界问题，坐标变换处理收缩边界；
海量网格点输出，严格匹配 Excel 模板格式。

1.3 模型建立

控制方程（一维圆柱径向，轴向均匀）

热传导方程：

Q1 物性参数固定；
Q2‑Q3 使用附录 3 非线性经验公式更新$\rho,c_p,k,D$；
Q4 药材边界$R(t)$随时间变化，做坐标变换处理动边界。

数值方案：Crank‑Nicolson 隐式有限差分法，每时间步组装三对角稀疏矩阵，迭代处理非线性项。

1.4 代码实现思路

空间离散径向$0\sim2\mathrm{cm}$步长$0.1\mathrm{cm}$；时间步长 1s；
处理圆柱坐标 r=0 奇点，组装隐式差分矩阵；
每个时间步根据当前温度T、含水率C更新物性参数；
边界条件赋值，迭代求解温度、水分；
pandas 组织 DataFrame，严格按照模板输出 4 份 Excel；
matplotlib 绘制温度、含水率时空云图、径向剖面曲线。

依赖库：numpy、scipy.sparse、pandas、matplotlib

1.5 结果分析

温度规律：药材表面温度快速跟随烘房，轴心升温存在明显滞后效应；
水分分布：表面水分率先下降，内部水分缓慢向外迁移；烘干终止时间由轴心最大含水率决定；
Q4 药材收缩会缩短烘干时长；对比有无收缩工况下烘干时间差异；
分析网格步长对数值结果的收敛性，验证模型可靠性。

📌B 题：无线电干扰源的快速自动定位与清除

2.1 题目背景

在半径 1800m 圆形区域存在未知数量（10‑16）干扰源，分为全向干扰源、定向干扰源；机器狗搭载测向机，测向存在$\pm1^\circ$角度误差；通过交会定位得到干扰源不确定多边形区域；机器狗移动、频道切换、检测、光学清除均存在时间开销；需要调用官方模拟器 HTTP 接口完成测试，导出日志作为支撑材料。

2.2 问题分析

问题 1：交会定位，根据多检测点示向度，计算凸多边形定位区域直径；判断以该直径做外接圆是否完全覆盖多边形。
问题 2：给定第一个检测点示向度，设计第二个检测点优选策略，给出候选区域，目标最小化定位区域面积。
问题 3：区域仅存在全向干扰源；机器狗从原点自主完成搜索定位清除；演练测试，三次正式测试，统计清除比例、平均定位清除时间。
问题 4：混合全向 + 定向干扰源，定向干扰存在信号盲区，难度提升，完成三次正式测试。

核心难点

计算几何：射线求交、凸多边形构建、旋转卡壳求多边形直径；
机器狗任务时间开销建模（移动、频道切换、检测、清除）；
HTTP 接口和模拟器通信，处理接口返回；
定向干扰源观测盲区，部分位置无法获取示向度；

⚠️本题必须使用竞赛官方模拟器，不能纯离线仿真替代正式测试。

1.3 模型建立

交会定位几何模型：每个检测点示向度拓展$\pm1^\circ$角度区间，射线相交得到凸四边形定位多边形；
凸多边形直径算法：旋转卡壳算法求解凸多边形最远点对距离；
检测点优选模型：交会角接近 90°、基线长度适中，定位误差最小；
机器狗任务优化模型：目标最小化总虚拟时间，最大化干扰源清除率；约束机器狗移动速度、各类动作时间开销、20m 内才能光学清除。

策略思路：分区扫描；遍历全部频道；多观测点交会定位，估计干扰源坐标；移动至 20m 内执行光学清除。

1.4 代码实现思路

几何模块：角度‑直角坐标转换、射线求交、凸多边形构建、旋转卡壳；
Q2 仿真不同检测点，评估定位误差，绘制候选区域；
requests 库实现 HTTP 客户端，对接模拟器接口，封装移动、检测、清除、切换频道函数；
实现机器狗决策逻辑，频道遍历、观测点选取、交会计算；
演练测试，三次正式测试，保存模拟器日志；matplotlib 绘机器狗运动轨迹、定位多边形示意图。

1.5 结果分析

交会角、基线长度对定位区域直径的影响；
不同搜索策略性能对比；
Q3/Q4 输出正式测试表格：清除个数、平均定位清除时间、程序运行时间；
定向干扰源存在观测盲区，对比 Q3/Q4 清除率与耗时差异。

📌C 题：微网与外部电网电力调控策略

2.1 题目背景

微网包含光伏发电、小区负载、储能设备；在电价、光伏出力、负载约束下制定购电、储能充放电策略，最小总购电成本；储能存在容量上下限、充放电功率上限、充放电效率；后续引入光伏预报更新、违约惩罚、紧急高价购电、外网实时波动电价。输出多份时序 Excel 结果。

2.2 问题分析

Q1：每日负载、光伏、电价固定；0 点制定全天计划；储能 0 点与 24 点储电量相等；最小化购电费用。
Q2：负载光伏逐日变化；供给不足触发 5 倍高价紧急购电，每日 0 点制定计划。
Q3：0/6/12/18 点获取新光伏预报，更新购电计划，计划与调整购电量产生违约惩罚成本；分析是否需要增加预报时刻。
Q4：外网电价实时波动，重新求解 Q2、Q3。

约束要点：功率平衡；储能容量$1200\le E(t)\le10800\ \mathrm{kWh}$；充放电功率上限；禁止同时充放电；充放电效率 90%。

2.3 模型建立

属于混合整数线性规划 MILP。决策变量：计划购电$Buy_t$，储能充电$BatCh_t$，储能放电$BatDis_t$，紧急购电$BuyEm_t$。目标函数：最小总费用 = 计划购电费 + 紧急购电费 + 预报调整违约费用。约束： $Pv(t)+Buy_t+\eta_{dis}BatDis(t) \ge Load(t)+BatCh(t)/\eta_{ch}$ 储能递推、边界约束；Q1 增加$E(0)=E(24)$。 Q3 增加预报更新变量，计算计划与调整购电量差值对应的惩罚成本。

求解工具：PuLP / CVXPY / Gurobi。

2.4 代码实现思路

读取附件 Excel：电价、负载、光伏出力、多时刻预报；
逐天构建 MILP 优化模型求解；
pandas 整理输出多份结果文件result1.xlsx、result2.xlsx、result4‑2.xlsx、result4‑3.xlsx；
可视化：购电时序曲线、储能电量变化、紧急购电统计柱状图。

2.5 结果分析

储能 "谷时充电，峰时放电" 带来的成本节约；
多时刻预报更新对比单点预报，总费用下降幅度；
紧急购电高发场景：光伏不足、用电高峰；
实时波动电价对购电策略改变；评估增加更多预报时刻的收益。

📌D 题：时频冲突检测与消解

3.1 题目背景

频谱资源离散化为 100 个频段，时间以$\Delta t$离散；装备参数包含频段区间、首次时间窗口、间隔时长、使用次数；装备分为 A (最高)、B、C (最低) 三级优先级。两个装备只要存在任意一次使用，频段、时间同时交叠即判定冲突。消解规则：每个装备只能执行一类操作：平移频段（最大$10\Delta f$）、平移首次时间（最大$5\Delta t$）、撤销；不能修改次数、间隔（Q4 除外）；目标：少撤销、少调整、高优优先保留、调整幅度最小。Q3 求无冲突资源下最多新增 C 装备；Q4 允许 C 装备间隔调整，变化不超过$10\Delta t$。

3.2 问题分析

Q1：冲突检测；遍历 150 个装备，展开周期性全部使用窗口，两两做时频二维区间交叠判断，输出全部冲突对result1.xlsx。
Q2：冲突消解多目标优化；约束平移幅度上限；每个装备仅能选一种操作，高优先级优先保留；输出result2.xlsx以及 A/B/C 的保留 / 调整 / 撤销统计表。
Q3：在已得到无冲突时频资源基础上，不新增资源，最大化新增 C 类装备数量；二维装箱问题。
Q4：允许 C 类装备调整间隔时长，$|\Delta S|\le10$，再次消解冲突，对比 Q2 的撤销、调整数量。

易错点：不能仅比较首次时间窗口，必须展开全部 N 次周期性使用的时间窗口做冲突判断。

3.3 模型建立

装备i第k次使用时间窗口：

$\big $T_{i0s}+(k-1)S_i,\\ T_{i0e}+(k-1)S_i\\big$ ,\quad k=1,2,\dots,N_i$

冲突判定：$\exists k_1,k_2$，频段区间相交，并且第$k_1$次 i 时间窗口、第$k_2$次 j 时间窗口相交，则 i,j 冲突。

Q2 多目标加权优化：

约束：$|\Delta F|\le10,\ |\Delta T|\le5$；每个装备最多一类操作；A 类优先保留。求解采用贪心启发式算法：优先级从高到低，A 固定，B 尝试调整，C 尝试频段平移、时间平移，超限则撤销。 Q3 二维时频资源装箱最大化装备数目；Q4 增加 C 装备间隔调整变量约束$|\Delta S|\le10$。

3.4 代码实现思路

读取 150 个装备参数，编写函数展开全部周期性时间窗口；
冲突检测函数，两两区间交叠判断，输出result1.xlsx；
消解启发式流程，按优先级处理装备，输出result2.xlsx；
Q3 扫描空闲时频块，贪心填充 C 装备；Q4 加入间隔调整逻辑输出result4.xlsx；
matplotlib 绘制时频二维图，矩形表示装备占用，冲突区域标红可视化。

3.5 结果分析

Q1 统计 A‑A、A‑B、A‑C、B‑B、B‑C、C‑C 各类冲突对数目；
Q2 输出 A/B/C 保留、调整、撤销统计表格，分析冲突主要来源；
Q3 得到最大可新增 C 装备数量，分析空闲时频块分布；
Q4 允许调整间隔后，对比 Q2，撤销装备数量下降幅度。

📌E 题：SEM 广告投放策略

3.1 题目背景

搜索引擎营销 SEM 广告，公司有 5 个方案、12 个推广单元，6000 + 关键词，2025 年总投入约 142 万元。需要基于历史投放数据，分析投放合理性；按成本‑效益将关键词分为黄金词、重点词、潜力词、问题词、无效词；在预算约束下给出短期最优投放策略；考虑竞价、点击、注册量的不确定性给出 2026 年鲁棒投放方案。

3.2 问题分析

Q1：多维数据分析；从广告创意、关键词管理、出价预算、投放时间维度分析策略合理性；分析效益随时间变化、节假日效应；做描述统计、相关性分析。
Q2：基于消费额、效益指标（点击、浏览、注册、跳出率等）构建评价指标，将 6000 + 关键词分为 5 类，输出分类结果result2.xlsx。
Q3：在预算约束、推广单元约束，低成本高效益目标；选择关键词，给出 2025‑02‑01~08、2025‑08‑01~08 每日最优投放策略，输出result3.xlsx。
Q4：2026 年预算不超过 2025 年；竞价、展现、点击、注册存在不确定性；给出 9.11‑9.17 每日鲁棒投放策略，估计各指标期望区间，输出result4.xlsx。

核心难点

六千量级关键词大数据处理，构建综合效益评价指标；
Q3 带约束的组合选择优化；
Q4 处理大量随机不确定变量，随机规划 / 鲁棒优化。

3.3 模型建立

Q1：描述统计、相关性分析、时间序列分解，提取假日效应；构建投放效益综合指标。
Q2：构建效益得分、成本得分二维指标；采用 K‑means 聚类或者阈值划分，把关键词划分为 5 类。
Q3：0‑1 整数规划，决策变量：关键词是否投放，每日投放预算分配；目标最大化综合效益；约束总预算上限，推广单元约束。
Q4：考虑竞价、点击、注册等随机变量，构建鲁棒优化 / 随机规划模型，得到期望区间与最优投放方案。

3.4 代码实现思路

pandas 读取多 sheet 附件数据，数据清洗，缺失值处理；
Q1：时间序列绘图，相关性热力图；
Q2：构建成本‑效益指标，聚类实现关键词分类，输出result2.xlsx；
Q3 构建 0‑1 整数规划模型求解，输出result3.xlsx；
Q4 蒙特卡洛模拟随机变量，鲁棒优化求解，输出result4.xlsx。

依赖库：pandas、matplotlib、seaborn、scikit‑learn、PuLP/CVXPY。

3.5 结果分析

原投放策略优势与不足；节假日对广告效益的影响；
五类关键词占比统计；分析各类关键词特征；
Q3 投放策略：优先投放黄金词、重点词，控制问题词、无效词投放；对比优化前后总效益；
Q4 不确定性下投放策略，对比确定性方案与鲁棒方案差异。

二、五题量化对比总表（1 最低，5 最高）

表格

评价维度	A 题药材烘干	B 题干扰定位	C 题微网调控	D 题时频冲突	E 题 SEM 广告投放
模型难度	5	4	4	4	3
所需核心知识	偏微分方程、有限差分、非线性数值求解	计算几何、交会定位、HTTP 接口、路径规划	混合整数线性规划、时序优化、储能系统	区间交叠检测、多目标组合优化、启发式调度	数据分析、聚类、整数规划、鲁棒优化
涉及专业	能源与动力、计算数学	通信工程、计算机科学	电气工程、运筹学	通信、运筹优化	大数据、市场营销、运筹学
题量	5	5	4	4	4
整体复杂度	5	5	4	4	3
数据处理难度	4（大规模网格 Excel 输出）	3（模拟器日志交互）	4（全年时序数据）	3（150 条装备）	5（6000 + 关键词多表大数据）
代码工作量	5	5	4	4	4
外部依赖	无，Python 即可	必须官方模拟器	无	无	无
主要坑点风险	圆柱 r=0 奇点，Q4 动边界，严格输出格式	模拟器接口、日志导出，定向干扰盲区	储能充放电约束、多阶段预报违约成本	周期性窗口冲突判断，每个装备仅允许一类操作	六千关键词数据清洗，效益指标构建，不确定性建模

三、选题建议

队伍擅长物理、微分方程、数值计算，优先选A 题；
队伍编程能力强，愿意对接外部模拟器、几何算法，选B 题；⚠️B 题必须跑官方模拟器；
队伍熟悉运筹优化、线性规划 MILP，选C 题；
擅长组合调度算法，对通信频谱调度感兴趣选D 题；
队伍擅长数据分析、聚类，商业背景，不想处理复杂微分方程、模拟器，选E 题。

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