【记忆化搜索】斐波那契数

木井巳2026-09-13 9:44

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题目链接：509. 斐波那契数

题目解析

记忆化搜索 是一种通过记录已经遍历过的状态的信息，从而避免对同一状态重复遍历的搜索实现方式（是一种常见的动态规划实现方式）。

可以通过记忆化搜索来优化 DFS（剪枝）以提高算法效率。

文章将通过斐波那契数这道题目来呈现记忆化搜索具体如何优化。

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。

也就是：

  • F(0) = 0，F(1) = 1
  • F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

给定 n ，我们需要返回计算后的 F(n) 。

DFS：深度优先搜索

算法原理

很经典的递归操作，通过编写 dfs 函数递归计算第 n 个斐波那契数。

dfs 函数

dfs 的任务是：根据斐波那契数的定义返回第 n 个斐波那契数（若 n 为 0 或 1，则返回 n，否则返回 F(n-1) + F(n-2)），参数是 n，返回值为 int。

java 复制代码 
int dfs (int n);

代码实现

java 复制代码 
class Solution {
    public int fib(int n) {
        // 搜索
        return dfs(n);
    }

    public int dfs (int n) {
        // 递归出口
        if (n == 0 || n == 1) {
            return n;
        }

        return dfs(n-1) + dfs(n-2);
    }
}

记忆化搜索

DFS 方法写的代码虽然简洁，但是实际算法的计算过程并不快，相反，存在很多重复计算的步骤，导致整体的时间复杂度达到 O(2n)。

给出一个例子：n = 5，求 F(5)

画出递归展开图如下：
#mermaid-svg-c3bn2m3W9LHnVzW7{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;fill:#333;}@keyframes edge-animation-frame{from{stroke-dashoffset:0;}}@keyframes dash{to{stroke-dashoffset:0;}}#mermaid-svg-c3bn2m3W9LHnVzW7 .edge-animation-slow{stroke-dasharray:9,5!important;stroke-dashoffset:900;animation:dash 50s linear infinite;stroke-linecap:round;}#mermaid-svg-c3bn2m3W9LHnVzW7 .edge-animation-fast{stroke-dasharray:9,5!important;stroke-dashoffset:900;animation:dash 20s linear infinite;stroke-linecap:round;}#mermaid-svg-c3bn2m3W9LHnVzW7 .error-icon{fill:#552222;}#mermaid-svg-c3bn2m3W9LHnVzW7 .error-text{fill:#552222;stroke:#552222;}#mermaid-svg-c3bn2m3W9LHnVzW7 .edge-thickness-normal{stroke-width:1px;}#mermaid-svg-c3bn2m3W9LHnVzW7 .edge-thickness-thick{stroke-width:3.5px;}#mermaid-svg-c3bn2m3W9LHnVzW7 .edge-pattern-solid{stroke-dasharray:0;}#mermaid-svg-c3bn2m3W9LHnVzW7 .edge-thickness-invisible{stroke-width:0;fill:none;}#mermaid-svg-c3bn2m3W9LHnVzW7 .edge-pattern-dashed{stroke-dasharray:3;}#mermaid-svg-c3bn2m3W9LHnVzW7 .edge-pattern-dotted{stroke-dasharray:2;}#mermaid-svg-c3bn2m3W9LHnVzW7 .marker{fill:#333333;stroke:#333333;}#mermaid-svg-c3bn2m3W9LHnVzW7 .marker.cross{stroke:#333333;}#mermaid-svg-c3bn2m3W9LHnVzW7 svg{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;}#mermaid-svg-c3bn2m3W9LHnVzW7 p{margin:0;}#mermaid-svg-c3bn2m3W9LHnVzW7 .label{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;color:#333;}#mermaid-svg-c3bn2m3W9LHnVzW7 .cluster-label text{fill:#333;}#mermaid-svg-c3bn2m3W9LHnVzW7 .cluster-label span{color:#333;}#mermaid-svg-c3bn2m3W9LHnVzW7 .cluster-label span p{background-color:transparent;}#mermaid-svg-c3bn2m3W9LHnVzW7 .label text,#mermaid-svg-c3bn2m3W9LHnVzW7 span{fill:#333;color:#333;}#mermaid-svg-c3bn2m3W9LHnVzW7 .node rect,#mermaid-svg-c3bn2m3W9LHnVzW7 .node circle,#mermaid-svg-c3bn2m3W9LHnVzW7 .node ellipse,#mermaid-svg-c3bn2m3W9LHnVzW7 .node polygon,#mermaid-svg-c3bn2m3W9LHnVzW7 .node 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.node>*{fill:#FFF4CC!important;stroke:#D4B884!important;stroke-width:1.5px!important;color:#000!important;rx:5!important;ry:5!important;}#mermaid-svg-c3bn2m3W9LHnVzW7 .node span{fill:#FFF4CC!important;stroke:#D4B884!important;stroke-width:1.5px!important;color:#000!important;rx:5!important;ry:5!important;}#mermaid-svg-c3bn2m3W9LHnVzW7 .node tspan{fill:#000!important;} F(5)
F(4)
F(3)
F(3)
F(2)
F(2)
F(1)
F(2)
F(1)
F(1)
F(0)
F(1)
F(0)
F(1)
F(0)

可以发现，就算 n = 5 这么简单的计算，画出来的二叉树的高度也达到了 5，而且可以发现许多重复计算的部分：F(3) 和 F(2)。
#mermaid-svg-tF1mo0b1HCPdcIm1{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;fill:#333;}@keyframes edge-animation-frame{from{stroke-dashoffset:0;}}@keyframes dash{to{stroke-dashoffset:0;}}#mermaid-svg-tF1mo0b1HCPdcIm1 .edge-animation-slow{stroke-dasharray:9,5!important;stroke-dashoffset:900;animation:dash 50s linear infinite;stroke-linecap:round;}#mermaid-svg-tF1mo0b1HCPdcIm1 .edge-animation-fast{stroke-dasharray:9,5!important;stroke-dashoffset:900;animation:dash 20s linear infinite;stroke-linecap:round;}#mermaid-svg-tF1mo0b1HCPdcIm1 .error-icon{fill:#552222;}#mermaid-svg-tF1mo0b1HCPdcIm1 .error-text{fill:#552222;stroke:#552222;}#mermaid-svg-tF1mo0b1HCPdcIm1 .edge-thickness-normal{stroke-width:1px;}#mermaid-svg-tF1mo0b1HCPdcIm1 .edge-thickness-thick{stroke-width:3.5px;}#mermaid-svg-tF1mo0b1HCPdcIm1 .edge-pattern-solid{stroke-dasharray:0;}#mermaid-svg-tF1mo0b1HCPdcIm1 .edge-thickness-invisible{stroke-width:0;fill:none;}#mermaid-svg-tF1mo0b1HCPdcIm1 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path{fill:#ECECFF;stroke:#9370DB;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-tF1mo0b1HCPdcIm1 .rough-node .label text,#mermaid-svg-tF1mo0b1HCPdcIm1 .node .label text,#mermaid-svg-tF1mo0b1HCPdcIm1 .image-shape .label,#mermaid-svg-tF1mo0b1HCPdcIm1 .icon-shape .label{text-anchor:middle;}#mermaid-svg-tF1mo0b1HCPdcIm1 .node .katex path{fill:#000;stroke:#000;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-tF1mo0b1HCPdcIm1 .rough-node .label,#mermaid-svg-tF1mo0b1HCPdcIm1 .node .label,#mermaid-svg-tF1mo0b1HCPdcIm1 .image-shape .label,#mermaid-svg-tF1mo0b1HCPdcIm1 .icon-shape .label{text-align:center;}#mermaid-svg-tF1mo0b1HCPdcIm1 .node.clickable{cursor:pointer;}#mermaid-svg-tF1mo0b1HCPdcIm1 .root .anchor path{fill:#333333!important;stroke-width:0;stroke:#333333;}#mermaid-svg-tF1mo0b1HCPdcIm1 .arrowheadPath{fill:#333333;}#mermaid-svg-tF1mo0b1HCPdcIm1 .edgePath .path{stroke:#333333;stroke-width:2.0px;}#mermaid-svg-tF1mo0b1HCPdcIm1 .flowchart-link{stroke:#333333;fill:none;}#mermaid-svg-tF1mo0b1HCPdcIm1 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F(5)
F(4)
F(3)
F(3)
F(2)
F(2)
F(1)
F(1)
F(0)
F(1)
F(0)
F(2)
F(1)
F(1)
F(0)

如果将之前已经展开那部分的返回值存入一个 备忘录，在下一次展开之前先搜索备忘录，就可以避免再次展开递归直接返回之前计算过的结果，从而剪枝、提高效率，算法的时间复杂度为 O(n)。

这就是 记忆化搜索 ，可以将其理解为 "带着记忆搜索" ，而这里的记忆主要依靠 "备忘录" （可以是哈希表、数组，是能够映射可变参数和返回值的一种数据结构）。

记忆数组

为了递归方便，将备忘录 memo 定义成全局的。

该备忘录在本题中可以是一个数组 ，其下标 n 表示第 n 个斐波那契数，而下标对应的值则是具体的第 n 个斐波那契数的值 F(n)。

java 复制代码 
int[] memo;

在 DFS 开始之前，首先要对这个记忆数组进行初始化，将其中的值全部初始化为 -1，表示还没有存入搜索展开的值。

如何使用这个记忆数组呢？

  1. 在每一次递归展开之前，先查看备忘录，若当前可变参数 n 的值已经存在，直接返回该值
  2. 在每一次递归展开之后、返回上层之前，先将当前展开后的可变参数对应的值存入备忘录

代码实现

java 复制代码 
class Solution {
    int[] memo = new int[31]; // 备忘录

    public int fib(int n) {
        // 初始化备忘录
        Arrays.fill(memo, -1);
        // 搜索
        return dfs(n);
    }

    public int dfs (int n) {
        // 在展开之前查看备忘录
        if (memo[n] != -1) {
            return memo[n];
        }

        // 递归出口
        if (n == 0 || n == 1) {
            memo[n] = n;       // 返回之前先存入备忘录
            return n;
        }

        // 展开并返回
        memo[n] = dfs(n-1) + dfs(n-2); // 返回之前先存入备忘录
        return memo[n];
    }
}

文章到这里就告一段落啦，若有错误请尽管指出~

完

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