【矩阵-2】240.搜索二维矩阵 II

题目描述:

编写一个高效的算法来搜索 m xn 矩阵 matrix 中的一个目标值 target 。该矩阵具有以下特性：

每行的元素从左到右升序排列。

每列的元素从上到下升序排列。

示例 1：
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输入：matrix = [[1,4,7,11,15],[2,5,8,12,19],[3,6,9,16,22],[10,13,14,17,24],[18,21,23,26,30]], target = 5
输出：true
示例 2：
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输入：matrix = [[1,4,7,11,15],[2,5,8,12,19],[3,6,9,16,22],[10,13,14,17,24],[18,21,23,26,30]], target = 20
输出：false

解题思路：

我本来想的很简单，就是分别从左上角的横向和纵向开始往后遍历寻找，但如果对每一行遍历一遍，再对每一列遍历一遍，同一个元素会被检查两次，浪费时间。想法方向是对的 ，但需要明确一点：如果对每一行和每一列都独立遍历，那本质上还是暴力搜索，时间复杂度是 O(m × n)，无法利用矩阵的单调性优势。

核心思路：从右上角开始搜索

为什么从右上角开始？

观察矩阵的特性：

右上角元素 matrix[0][n-1] 是当前行最大的 ，也是当前列最小的
如果 target < matrix[0][n-1]：说明 target 不可能在这一列（因为这一列下面的都更大），向左移动
如果 target > matrix[0][n-1]：说明 target 不可能在这一行（因为这一行左边的都更小），向下移动
如果相等：找到了

具体过程示例：

target = 5

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matrix = [
  [1,  4,  7, 11, 15],   ← 从右上角 15 开始
  [2,  5,  8, 12, 19],
  [3,  6,  9, 16, 22],
  [10, 13, 14, 17, 24],
  [18, 21, 23, 26, 30]
]

第1步: 15 > 5 → 向左移动到 11
第2步: 11 > 5 → 向左移动到 7
第3步: 7 > 5  → 向左移动到 4
第4步: 4 < 5  → 向下移动到 5
第5步: 5 == 5 → 找到！返回 true

搜索路径：

text

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[15] → [11] → [7] → [4]
                      ↓
                     [5] ✅

代码实现：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {
        if (matrix.empty() || matrix[0].empty()) return false;
        
        int m = matrix.size();       // 行数
        int n = matrix[0].size();    // 列数
        
        int row = 0;          // 从右上角开始
        int col = n - 1;
        
        while (row < m && col >= 0) {
            if (matrix[row][col] == target) {
                return true;
            } else if (matrix[row][col] > target) {
                col--;  // 当前值太大，向左移动
            } else {
                row++;  // 当前值太小，向下移动
            }
        }
        
        return false;
    }
};

复杂度分析：

维度	复杂度	说明
时间复杂度	O(m + n)	每次移动一行或一列，最多移动 m+n 次
空间复杂度	O(1)	只用了两个指针

为什么不能从左上角开始？

如果从左上角 matrix[0][0] 开始：

matrix[0][0] 是当前行最小 ，也是当前列最小
如果 target > matrix[0][0]，你不知道是该往右还是往下（两个方向都可能更大）
无法做出唯一决策

同理，右下角也不行（它是当前行最大、当前列最大，两个方向都可能更小）。

只有右上角和左下角可以，因为它们一个是"行最大列最小"，一个是"行最小列最大"，能做出唯一决策。

另一种写法：从左下角开始

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {
        if (matrix.empty() || matrix[0].empty()) return false;
        
        int m = matrix.size();
        int n = matrix[0].size();
        
        int row = m - 1;  // 从左下角开始
        int col = 0;
        
        while (row >= 0 && col < n) {
            if (matrix[row][col] == target) {
                return true;
            } else if (matrix[row][col] > target) {
                row--;  // 当前值太大，向上移动
            } else {
                col++;  // 当前值太小，向右移动
            }
        }
        
        return false;
    }
};

两种写法完全等价。

四种起点对比：

起点	能否使用	原因
左上角	❌	两个方向都增大，无法决策
右上角	✅	左减小、下增大，可决策
左下角	✅	上减小、右增大，可决策
右下角	❌	两个方向都减小，无法决策

总结：

要点	说明
核心思想	从右上角（或左下角）开始，利用行列单调性缩小范围
时间复杂度	O(m + n)
空间复杂度	O(1)
关键决策	当前值 > target → 左移；当前值 < target → 下移
记忆口诀	"右上角出发，大了往左，小了往下。"

这道题是矩阵搜索 的经典题，核心是利用矩阵的行列单调性，每次排除一行或一列。