【LeetCode】338、比特位计数

一、题目信息

比特位计数
https://leetcode.cn/problems/counting-bits/description/

cpp 复制代码

给你一个整数 n ，对于 0 <= i <= n 中的每个 i ，计算其二进制表示中 1 的个数 ，返回一个长度为 n + 1 的数组 ans 作为答案。
不要使用内置函数来解决（例如，C++ 中的 __builtin_popcount）。

示例 1：
输入：n = 2
输出：[0,1,1]
解释：
0 --> 0
1 --> 1
2 --> 10

示例 2：
输入：n = 5
输出：[0,1,1,2,1,2]
解释：
0 --> 0
1 --> 1
2 --> 10
3 --> 11
4 --> 100
5 --> 101

提示：
0 <= n <= 105
进阶：
很容易就能实现时间复杂度为 O(n log n) 的解决方案，你可以在线性时间复杂度 O(n) 内用一趟扫描解决此问题吗？

二、题解1：朴素解法

1、解题思路：二进制转换法

题目要求计算一个十进制整数的二进制形式中1的数字个数
使用for循环遍历每个数字，然后对遍历到的每个数字进行二进制转换，将十进制转换成对应二进制
在转换的过程中，记录数字1个个数

2、图解

3、代码实现

cpp 复制代码

vector<int> countBits(int n)
{
    vector<int> res(n + 1, 0);

    string binaryStr = ""; // 数字i对应的二进制结果值

    for (int i = 0; i <= n; i++)
    {
        int num = i;
        binaryStr = "";
        while (num != 0)
        {
            // 十进制数字num转换成二进制
            int remainder = num % 2; // 取余数
            int business = num / 2;  // 商

            if (remainder == 1)
            {
                res[i]++;
            }
            num = business;
            binaryStr = to_string(remainder) + binaryStr;
        }
        std::cout << i << " -- " << binaryStr << std::endl;
    }

    return res;
}

4、时间复杂度

NlogN ，因为遍历需要计算n次，对每个数字i进行二进制转换需要logN次，结果相乘

三、题解2：位运算&解法

1、解题思路

通过位运算符&，求i&(i-1)的结果值，会将数字i的二进制最右侧的数字1消除掉
这样不断重复这个操作，将所有二进制形式的1消除掉，记录循环的次数就是对应二进制中1的个数

2、图解

3、代码实现

cpp 复制代码

vector<int> countBits(int n)
{
    vector<int> res(n + 1, 0);

    for (int i = 0; i <= n; i++)
    {
        int num = i;
        while (num != 0)
        {
            num = num & (num - 1);
            res[i]++;
        }
    }

    return res;
}

4、时间复杂度

NlogN ，每个数字i的二进制1个数为logn的个数，要找出所有1的个数

四、题解3：位移解法

1、解题思路

十进制数字i，要求他的一半大小，只需要将他的二进制形式往右边位移一位
如果这个数字i是偶数的话，那他二进制最右侧的数字是0，i的二进制中1的数字个数，和i/2的二进制中1的数字个数相同。
如果数字i是奇数的话，对应二进制最右侧的数字肯定是1，那i的二进制往右位移一位后，得到i/2的二进制1的个数比i的二进制1的个数少1.
可以通过这个规律来求解i的二进制中1的个数的值。

2、图解

3、代码实现

cpp 复制代码

vector<int> countBits(int n)
{
    vector<int> res(n + 1, 0);

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        res[i] = res[i / 2] + (i & 1);
    }

    return res;
}

4、时间复杂度

O(N),动态规划解法，首先要找数字i与i/2的规律，再根据他们的关系来一步步求解