单调栈主要用来处理最近更大或更小元素的问题，而单调队列则经常出现在滑动窗口最值问题中。
比如给定一个数组和一个长度为 k 的窗口，让窗口从左向右移动，每移动一次，就要求出当前窗口中的最大值和最小值。
最直接的做法是每次窗口移动后，都重新遍历窗口中的所有元素找最值。这样做虽然简单，但是当数组很长、窗口也很大时，效率就不够了。
单调队列就是为了解决这类问题而出现的一种数据结构。
一、什么是单调队列？
单调队列，顾名思义，就是队列中的元素保持单调递增或者单调递减。
不过，它和普通队列有一点不同：它需要支持两端的插入和删除操作，所以通常使用双端队列 deque 来实现。
C++ 中可以直接使用：
cpp
#include <deque>
deque<int> q;它常用的操作有：
cpp
q.push_back(x); // 从队尾插入
q.pop_back(); // 删除队尾元素
q.push_front(x); // 从队头插入
q.pop_front(); // 删除队头元素
q.front(); // 获取队头
q.back(); // 获取队尾单调队列最常见的用途就是求滑动窗口中的最大值和最小值，也可以用于优化一些动态规划问题。
这次先重点整理滑动窗口最值。
二、滑动窗口中的最大值和最小值
先看一个例子：
text
n = 8, k = 3
数组：
1 3 -1 -3 5 3 6 7现在有一个长度为 3 的窗口，从左向右移动，每次移动一个位置。
窗口变化过程：
text
[1 3 -1] -3 5 3 6 7
1 [3 -1 -3] 5 3 6 7
1 3 [-1 -3 5] 3 6 7
1 3 -1 [-3 5 3] 6 7
1 3 -1 -3 [5 3 6] 7
1 3 -1 -3 5 [3 6 7]每次窗口移动，都需要找到其中的最大值和最小值。
如果每次都重新遍历三个数，确实可以得到答案，但当 n 和 k 很大时，这种做法就会产生大量重复计算。
实际上，窗口每次只移动一个位置，前一个窗口中的很多元素仍然会留在下一个窗口中。我们没有必要每次都从头寻找最值。
三、单调队列求窗口最小值
先看最小值。
如果想让队头始终保存当前窗口的最小值，可以维护一个单调递增队列。
这里要特别注意：队列中存储的是数组下标，而不是数组元素的值。
为什么要存下标？
因为窗口不断向右移动，有些元素会离开窗口。如果只保存元素值，就很难判断某个元素是否已经过期。
保存下标后，就可以通过下标判断队列中的元素是否仍然属于当前窗口。
1. 维护单调递增
每次加入一个新元素 a[i] 时：
cpp
while(q.size() && a[q.back()] >= a[i])
q.pop_back();
q.push_back(i);为什么要把队尾大于等于当前元素的下标弹出？
因为我们现在求的是窗口最小值。
假设队列中有一个旧元素，它的值为 5，而新元素的值为 3。
新元素不仅比旧元素小，而且位置更靠右。对于之后的窗口来说，新元素会比旧元素存在得更久。
所以旧元素已经没有必要继续留在队列中，可以直接从队尾删除。
这样维护下来，队列中的元素值就会保持递增。
2. 删除已经离开窗口的元素
完成入队后，还要检查队头是否已经过期。
当前窗口的右端点为 i，窗口长度为 k，那么左端点就是：i - k + 1
因此，只要队头下标小于窗口左端点，就说明它已经不在当前窗口中了。
cpp
if(i - q.front() + 1 > k)
q.pop_front();当队列不为空时，队头对应的元素就是当前窗口的最小值。
把这些操作放在一起：
cpp
deque<int> q;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
// 维护递增
while(q.size() && a[q.back()] >= a[i])
q.pop_back();
q.push_back(i);
// 删除已经离开窗口的元素
if(i - q.front() + 1 > k)
q.pop_front();
// 窗口长度达到 k 后，输出最小值
if(i >= k)
cout << a[q.front()] << " ";
}四、单调队列求窗口最大值
最大值的思路和最小值完全类似，只需要把维护队列单调性的条件反过来。
如果要求最大值，就维护一个单调递减队列。
新元素入队之前，弹出所有小于等于当前元素的队尾元素：
cpp
while(q.size() && a[q.back()] <= a[i])
q.pop_back();
q.push_back(i);这样队列中的元素值就会保持递减，队头始终是当前窗口中的最大值。
完整的核心代码：
cpp
deque<int> q;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
// 维护递减
while(q.size() && a[q.back()] <= a[i])
q.pop_back();
q.push_back(i);
// 删除已经离开窗口的元素
if(i - q.front() + 1 > k)
q.pop_front();
if(i >= k)
cout << a[q.front()] << " ";
}所以可以这样记：
- 求窗口最小值，维护单调递增队列，队头就是最小值。
- 求窗口最大值，维护单调递减队列，队头就是最大值。
五、模板题：P1886 滑动窗口
题目链接：洛谷 P1886 滑动窗口
这道题就是刚才介绍的模板题。
给定一个长度为 n 的整数序列，以及一个长度为 k 的窗口。窗口从左向右移动，每次移动一个位置，分别输出每次窗口中的最小值和最大值。
我们可以使用两个单调队列分别完成。
完整代码：
cpp
#include <iostream>
#include <deque>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int n, k;
int a[N];
int main()
{
cin >> n >> k;
for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
deque<int> q; // 存下标
// 窗口内最小值 - 单调递增的队列 - 存下标
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
while(q.size() && a[q.back()] >= a[i]) q.pop_back();
q.push_back(i);
// 判断队列里面元素是否在合法窗口内
if(q.back() - q.front() + 1 > k) q.pop_front();
if(i >= k) cout << a[q.front()] << " ";
}
cout << endl;
// 窗口内最大值 - 单调递减的队列 - 存下标
q.clear();
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
while(q.size() && a[q.back()] <= a[i]) q.pop_back();
q.push_back(i);
if(q.back() - q.front() + 1 > k) q.pop_front();
if(i >= k) cout << a[q.front()] << " ";
}
cout << endl;
return 0;
}输入：
text
8 3
1 3 -1 -3 5 3 6 7输出：
text
-1 -3 -3 -3 3 3
3 3 5 5 6 7第一行是每个窗口的最小值，第二行是每个窗口的最大值。
这里有个容易忽略的地方：q.clear() 是为了在第二次求最大值之前清空第一次求最小值所用的队列，否则两次计算的数据会互相影响。
六、例题：P2251 质量检测
题目链接：洛谷 P2251 质量检测
这道题把滑动窗口最小值换成了产品质量检测。
一共有 N 件产品，每件产品都有一个质量分数。现在需要统计连续 M 件产品中，质量最差的那件产品的分数。
也就是对于每个长度为 M 的窗口，求出其中的最小值。
例如：
text
输入：
10 4
16 5 6 9 5 13 14 20 8 12第一个窗口：
text
16 5 6 9最小值为 5。
第二个窗口：
text
5 6 9 5最小值仍然为 5。
之后窗口继续向右移动，每次只需要维护当前窗口的最小值即可。
这道题不需要同时求最大值，只使用一个单调递增队列就够了。
参考代码：
cpp
#include <iostream>
#include <deque>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int n, m;
int a[N];
int main()
{
cin >> n >> m;
deque<int> q; // 单调递增的队列 - 存下标
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> a[i];
while(q.size() && a[q.back()] >= a[i]) q.pop_back();
q.push_back(i);
if(q.back() - q.front() + 1 > m) q.pop_front();
if(i >= m) cout << a[q.front()] << endl;
}
return 0;
}这个题和 P1886 的最小值部分几乎完全一样。题目的变化只是把窗口最小值作为质量检测结果输出，并且每个结果单独占一行。
做完这两道题后，基本就能掌握单调队列在滑动窗口最值问题中的用法了。
七、单调队列为什么是 O(n)？
代码中同样出现了 while 循环，乍一看好像每次都可能执行很多次。
但实际上，每个下标在整个过程中：
- 最多入队一次；
- 最多从队尾弹出一次；
- 最多从队头弹出一次。
一个元素一旦从队列中删除，就不会再次进入队列。
因此，虽然每轮循环可能弹出多个元素，但所有元素加起来，入队和出队的次数都是线性的。
所以整个滑动窗口算法的时间复杂度是：O(n)
空间复杂度也是：O(k)
因为队列只需要保存当前窗口内有可能成为最值的下标。
八、总结
单调队列和普通队列最大的区别，就是它在维护队头、队尾的同时，还要保证队列中元素满足单调性。
解决滑动窗口最值问题时，我觉得最重要的就是三个操作：
- 从队尾删除不可能成为答案的元素，维护单调性。
- 将当前元素的下标加入队尾。
- 从队头删除已经离开窗口的元素。
最后，队头就是当前窗口的最值。
这类题目看起来需要不断更新窗口，但实际上并不需要每次重新遍历整个窗口。单调队列会提前把没有必要保留的元素删除掉，只留下可能成为答案的元素。