矩阵及其运算
a 11 ⋯ a 1 n ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 ⋯ a m n \] \\begin{bmatrix} a_{11} \& \\cdots \& a_{1n} \\\\ \\cdots \& \\cdots \& \\cdots \\\\ a_{m1} \& \\cdots \& a_{mn} \\\\ \\end{bmatrix} a11⋯am1⋯⋯⋯a1n⋯amn 矩阵就是二维数组，上面是一个 m 乘 n 的矩阵，它有 m 行，n 列，每行每列上面都有一个 元素，每个元素都有行标 i 和列标 j， 对应的元素就是 a i j a_{ij} aij 矩阵是一种常见的数据结构，它由一堆一维数组（也称为行向量）组成。矩阵是二维数组，由行和列构成。通常用于在数学、计算机科学、统计学等领域进行数据处理和表示。 矩阵可以由一堆行向量组成，这种表示方式称为行向量组成的矩阵；也可以由一堆列向量组成，称为列向量组成的矩阵。矩阵的行数表示矩阵的高度，列数表示矩阵的宽度。行向量组成的矩阵是以横向排列的行向量构成，而列向量组成的矩阵是以纵向排列的列向量构成。 例如，下面是一个由行向量组成的矩阵： [1 2 3] [4 5 6] [7 8 9] 下面是一个由列向量组成的矩阵： [1 4 7] [2 5 8] [3 6 9] 矩阵在线性代数、图像处理、神经网络等领域具有广泛的应用。在计算机中，矩阵也是很多数据处理算法的基础，例如矩阵乘法、矩阵转置等操作。 ### 方阵，对称矩阵，单位矩阵，对角线 #### 方阵 下面介绍几种特殊的矩阵，如果 m 等于 n，那就称为方阵 \[ 1 0 0 0 2 0 0 0 3 \] \\begin{bmatrix} 1 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 2 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 3 \\\\ \\end{bmatrix} 100020003 #### 对称矩阵 对称矩阵转置后不会改变原始矩阵的形状和值。 定义是 a i j a_{ij} aij 等于 a j i a_{ji} aji那么就是对称矩阵(沿着主对角线（左上角到右下角划分的线）的元素对称， 这里的对称是主对角线两侧的元素相等)，并且肯定是个方阵 \[ 1 1 2 1 2 3 2 3 3 \] \\begin{bmatrix} 1 \& 1 \& 2 \\\\ 1 \& 2 \& 3 \\\\ 2 \& 3 \& 3 \\\\ \\end{bmatrix} 112123233 #### 单位矩阵 主对角线都是 1，其它位置是 0，这称之为单位阵，单位矩阵写为 I，一定是方阵，等同于数字里面的 1 \[ 1 ⋯ 0 0 0 ⋯ 1 ⋯ 0 0 0 ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 ⋯ 1 \] \\begin{bmatrix} 1 \& \\cdots \& 0 \& 0 \& 0\\\\ \\cdots \& 1 \& \\cdots \& 0 \& 0\\\\ 0 \& \\cdots \& \\cdots \& \\cdots \& 0\\\\ 0 \& 0 \& \\cdots \& \\cdots \& \\cdots\\\\ 0 \& 0 \& 0 \& \\cdots \& 1\\\\ \\end{bmatrix} 1⋯000⋯1⋯000⋯⋯⋯000⋯⋯⋯000⋯1 单位矩阵对应的方法是numpy模块中的identity和eye方法， `numpy.identity`返回一个单位矩阵，即一个对角线上为1，其他位置为0的方阵。 #### identity方法 参数： * `n`：一个整数，表示输出的单位矩阵的行数和列数。 * `dtype`：一个可选参数，用于指定输出数组的数据类型，默认为`float`类型。 返回值： * `out`：一个大小为`n x n`的NumPy数组，其主对角线为1，其余元素为0。 #### eye方法 `numpy.eye`方法用于创建一个单位矩阵，也称为单位矩阵或恒等矩阵。单位矩阵是一个方阵，它的主对角线上的元素都是1，其余元素都是0。 函数签名： ```python numpy.eye(N, M=None, k=0, dtype=float, order='C') ``` 参数： * `N`：生成矩阵的行数（也是列数，因为是方阵）。 * `M`：可选参数，生成矩阵的列数，默认为`N`，因为是方阵，一般不需要指定。 * `k`：可选参数，对角线的偏移量，默认为0，表示主对角线上的元素为1，其他元素为0；若`k`为正整数，则主对角线在矩阵的上方，若为负整数，则主对角线在矩阵的下方，对角线元素为1。 * `dtype`：可选参数，指定生成矩阵的数据类型，默认为`float`。 * `order`：可选参数，指定数组的内存布局，`'C'`表示C顺序，`'F'`表示Fortran顺序，默认为`'C'`。 返回值： * 返回一个单位矩阵，其形状为`(N, M)`。 示例： ```python import numpy as np # 创建一个3x3的单位矩阵 eye_matrix = np.eye(3) print(eye_matrix) # 输出： # [[1. 0. 0.] # [0. 1. 0.] # [0. 0. 1.]] # 创建一个4x4的单位矩阵，主对角线偏移量为1 eye_matrix_shifted = np.eye(4, k=1) print(eye_matrix_shifted) # 输出： # [[0. 1. 0. 0.] # [0. 0. 1. 0.] # [0. 0. 0. 1.] # [0. 0. 0. 0.]] ``` `numpy.eye`函数非常有用，特别在线性代数和矩阵运算中经常用到。 #### identity和eye方法的区别 `numpy.eye`函数与`numpy.identity`函数都用于创建单位矩阵，但它们有一些区别： 1. 参数不同： * `numpy.eye(N, M=None, k=0, dtype=float)`：`eye`函数可以创建任意大小的单位矩阵，其中`N`表示行数，`M`表示列数，默认情况下`M`等于`N`，`k`表示对角线的偏移量，默认为0，即主对角线。 * `numpy.identity(n, dtype=None)`：`identity`函数创建的是一个方阵（行数等于列数），只需要一个整数`n`作为参数，表示输出单位矩阵的行数和列数。 2. 默认值不同： * `numpy.eye`的默认数据类型为`float`，可以通过`dtype`参数指定其他数据类型。 * `numpy.identity`的默认数据类型也是`float`，可以通过`dtype`参数指定其他数据类型。 示例： ```python import numpy as np # 使用eye创建3x4的单位矩阵，对角线偏移量为1 eye_matrix = np.eye(3, 4, k=1, dtype=int) print(eye_matrix) # 输出： # [[0 1 0 0] # [0 0 1 0] # [0 0 0 1]] # 使用identity创建3x3的单位矩阵，默认数据类型为float identity_matrix = np.identity(3, dtype=int) print(identity_matrix) # 输出： # [[1 0 0] # [0 1 0] # [0 0 1]] ``` 总的来说，`eye`函数比`identity`函数更灵活，可以创建非方阵的单位矩阵，并且可以指定对角线的偏移量，而`identity`函数则专门用于创建方阵的单位矩阵。 #### 对角阵 对角阵，就是主对角线非 0，其它位置是 0  #### dot方法在矩阵中的应用 `numpy.dot`方法用于计算两个数组的矩阵乘法（点积）。在矩阵运算中，矩阵乘法是一种常见的操作，它涉及到两个矩阵的元素相乘和求和的过程。 函数签名： ```python numpy.dot(a, b, out=None) ``` 参数： * `a`：要进行矩阵乘法的数组或矩阵。 * `b`：要进行矩阵乘法的数组或矩阵。 * `out`：可选参数，指定输出结果的数组。如果不指定，结果将会创建一个新的数组。 返回值： * 返回两个数组的矩阵乘法结果。 注意事项： 1. 两个数组的维度必须满足矩阵乘法的条件，即第一个数组的列数要与第二个数组的行数相等。 2. 如果两个数组是一维的，那么`dot`函数将计算它们的点积（内积）。 3. 如果两个数组是二维的，那么`dot`函数将计算它们的矩阵乘法。 示例： ```python import numpy as np # 一维数组的点积（内积） a = np.array([1, 2, 3]) b = np.array([4, 5, 6]) dot_product = np.dot(a, b) print(dot_product) # 输出：32 # 二维数组的矩阵乘法 matrix_a = np.array([[1, 2], [3, 4]]) matrix_b = np.array([[5, 6], [7, 8]]) matrix_product = np.dot(matrix_a, matrix_b) print(matrix_product) # 输出： # [[19 22] # [43 50]] ```