文章目录
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- [第5章 特征值与特征向量、相似矩阵](#第5章 特征值与特征向量、相似矩阵)
- [(一) 特征值与特征向量](#(一) 特征值与特征向量)
- [(二) 相似](#(二) 相似)
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- 1.矩阵相似
- 2.相似对角化
- 3.实对称矩阵的相似对角化
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- 1.实对称矩阵对角化的性质、步骤
- 2.正交矩阵、正交变换
- [3.反求参数、反求矩阵A、 A k A^k Ak](#3.反求参数、反求矩阵A、 A k A^k Ak)
- 4.两矩阵是否相似的判别与证明
- [第6章 二次型](#第6章 二次型)
- [(一) 二次型的定义与矩阵表示](#(一) 二次型的定义与矩阵表示)
- [(二) 化二次型为标准型、规范型](#(二) 化二次型为标准型、规范型)
- [(三) 正定二次型](#(三) 正定二次型)
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- 1.惯性定理
- [2.正定二次型、正定矩阵、 二次型正定性的判别](#2.正定二次型、正定矩阵、 二次型正定性的判别)
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第5章 特征值与特征向量、相似矩阵
(一) 特征值与特征向量
1.定义
设 A A A是 n n n阶方阵， λ λ λ是一个数，若存在 n n n维非零列向量 ξ ξ ξ，使得 A ξ = λ ξ ( ξ ≠ 0 ) Aξ=λξ \quad (ξ≠0) Aξ=λξ(ξ=0)则称 λ λ λ是 A A A的特征值， ξ ξ ξ是 A A A的对应于(属于)特征值 λ λ λ的特征向量。
注：
①只有方阵才有特征值和特征向量
②n阶方阵有n个特征值
A n × n × ξ n × 1 = λ ξ n × 1 A_{n×n}×ξ_{n×1}=λξ_{n×1} An×n×ξn×1=λξn×1：即矩阵A作用在ξ上的效果，和一个数λ作用在ξ上的效果，是划等号的。即可用这个值来代表这个矩阵，即λ为矩阵的特征值。
其他概念：
①特征矩阵：λE-A
②特征多项式 ： f ( λ ) = ∣ λ E − A ∣ f(λ)=|λE-A| f(λ)=∣λE−A∣
③特征方程：f(λ)=|λE-A|=0
2.性质
1.特征值的性质 ：
(1)特征值之和 = 主对角线元素之和，特征值之积 = 行列式
(2)上下三角矩阵、对角阵的主对角线元素，就是特征值
(3)秩为1的实对称矩阵的特征值：λ₁=tr(A)，λ₂=λ₃=0
2.特征向量的性质 ：
①k重特征值至多有k个线性无关的特征向量
②不同特征值对应的特征向量线性无关
③特征向量的线性组合，依然为特征向量 (只要求整体非零) (特征向量就是非零齐次解，齐次解的线性组合仍为齐次解)
3.求解
(1)具体型矩阵
①求特征值：解 ∣ λ E − A ∣ = 0 |λE-A|=0 ∣λE−A∣=0，求出n个 λ i λ_i λi
②求特征向量：将n个 λ i λ_i λi代回齐次线性方程组 ( λ i E − A ) x = 0 (λ_iE-A)x=0 (λiE−A)x=0，分别求出属于每个 λ i λ_i λi的非零解 ξ i ξ_i ξi，这是基础解系。则齐次方程组的通解去掉零解为 λ i λ_i λi的全部特征向量，即 k i ξ i k_iξ_i kiξi(k~i~≠0) 为对应于 λ i λ_i λi的全部特征向量。
试根法、多项式带余除法：三阶多项式分解因式
当该3阶矩阵的特征方程 ∣ λ E − A ∣ = 0 |λE-A|=0 ∣λE−A∣=0 不好求特征根时，可全部展开为3次多项式，使用试根法 先求出一个根，得到 ( λ − λ 1 ) (λ-λ_1) (λ−λ1)，再用多项式带余除法 ，得到 ( λ − λ 2 ) ( λ − λ 3 ) (λ-λ_2)(λ-λ_3) (λ−λ2)(λ−λ3)
1.试根法
对于 f ( λ ) = a k λ k + . . . + a 3 λ 3 + a 2 λ 2 + a 1 λ + a 0 = 0 f(λ)=a_kλ^k+...+a_3λ^3+a_2λ^2+a_1λ+a_0=0 f(λ)=akλk+...+a3λ3+a2λ2+a1λ+a0=0
①若 a 0 = 0 a_0=0 a0=0，则 f ( λ ) = 0 f(λ)=0 f(λ)=0 是根
②若 系数之和为0，则 f ( λ ) = 1 f(λ)=1 f(λ)=1 是根
③若 奇次方系数 = 偶次方系数，则 f ( λ ) = − 1 f(λ)=-1 f(λ)=−1 是根
④若 a k = 1 a_k=1 ak=1，各系数均为整数，则 根均为整数，且 根均为 a 0 a_0 a0的因子
2.多项式带余除法
缺项要补位
例题1：入门级别，求特征值和特征向量
答案：
例题2：真题，不太方便直接求出特征值，可考虑直接展开为3次多项式，用试根法+多项式带余除法
例题3：性质证明，不同特征值对应的特征向量线性无关
证明：
(2)抽象型矩阵
①表格
已经A的特征向量为ξ，则kA、A^-1^、A*、A^k^、f(A)的特征向量均为ξ
但仅有 kA、A^-1^的特征向量为ξ时，也有A的特征向量为ξ
② ∣ λ E − A ∣ = 0 |λE-A|=0 ∣λE−A∣=0， ( λ E − A ) ξ = 0 (λE-A)ξ=0 (λE−A)ξ=0
③特征值的性质： ∣ A ∣ = λ 1 λ 2 . . . λ n ， t r ( A ) = λ 1 + λ 2 + . . . + λ n = a 1 + a 2 + . . . + a n |A|=λ_1λ_2...λ_n，tr(A)=λ_1+λ_2+...+λ_n=a_1+a_2+...+a_n ∣A∣=λ1λ2...λn，tr(A)=λ1+λ2+...+λn=a1+a2+...+an
④特征向量的性质：特征向量的非零线性组合，仍为特征向量。【∴求特征向量时，求出基础解系是ξ后，要加k。最终的(全部的) 特征向量为kξ (k≠0)】
例题1：
分析： λ ∗ = ∣ A ∣ λ λ^*=\dfrac{|A|}{λ} λ∗=λ∣A∣
答案：11
例题2：23李林六套卷(六)15. 特征值的性质：主对角线元素之和 = 迹 = 特征值之和
分析：A*的主对角元素为A₁₁、A₂₂、A₃₃
答案：1
例题3：18年13.
分析：特征向量的线性组合也为特征向量
答案：-1
(二) 相似
相似理论：①A~B ②A~Λ ③应用
1.矩阵相似
(1)定义
设A,B为n阶方阵，若存在可逆矩阵P，使得 P^-1^AP = B，则称 矩阵A与B相似，或称A,B是相似矩阵，记为A~B 。称P为A到B的相似变换矩阵或过渡矩阵。
两矩阵相似：①定义法 ②传递法
(2)性质
若A、B相似，则 秩、行列式、迹、特征值相同。若可相似对角化，则相似于同一个对角阵。
(1)若 A ∼ B A\sim B A∼B，则
①行列式相等 ∣ A ∣ = ∣ B ∣ = λ 1 ⋅ λ 2 ⋅ λ 3 |A|=|B|=λ₁·λ₂·λ₃ ∣A∣=∣B∣=λ1⋅λ2⋅λ3 且 ∣ λ E − A ∣ = ∣ λ E − B ∣ |λE-A|=|λE-B| ∣λE−A∣=∣λE−B∣
②迹相等 t r ( A ) = t r ( B ) = λ 1 + λ 2 + λ 3 tr(A)=tr(B)=λ₁+λ₂+λ₃ tr(A)=tr(B)=λ1+λ2+λ3
③ A , B A,B A,B有相同的特征值 (特征值相同+实对称矩阵 → 相似)
④秩相等 r ( A ) = r ( B ) r(A)=r(B) r(A)=r(B) 、 r ( λ E − A ) = r ( λ E − B ) r(λE-A)=r(λE-B) r(λE−A)=r(λE−B)
⑤若A~B，则A等价于B，即A可通过初等变换化为B
这些性质只是必要条件，即使都满足，也无法证明 A~B
(2)若 A ∼ B ，则 { f ( A ) ∼ f ( B ) ， A m ∼ B m A − 1 ∼ B − 1 ( 可逆 ) A ∗ ∼ B ∗ ( 可逆 ) A T ∼ B T A\sim B，则\left\{ \begin{aligned} f(A) &\sim f(B)，A^m \sim B^m \\ A^{-1}& \sim B^{-1} \ (可逆) \\ A^* & \sim B^* \quad (可逆) \\ A^T & \sim B^T \end{aligned} \right. A∼B，则⎩ ⎨ ⎧f(A)A−1A∗AT∼f(B)，Am∼Bm∼B−1 (可逆)∼B∗(可逆)∼BT
A~B，若A可逆，则 AB~BA。
证明：∵A可逆 ∴A^-1^(AB)A=BA ∴AB~BA
例题1：15年21.(1)、20年20.(1)
∵ A ∼ B ∴ { t r ( A ) = t r ( B ) ∣ A ∣ = ∣ B ∣ \quad∵A\sim B \qquad∴\left \{\begin{array}{cc} tr(A) = tr(B)\\ |A|=|B| \end{array}\right. ∵A∼B∴{tr(A)=tr(B)∣A∣=∣B∣
例题2：16年05.
分析：需要掌握相似性质的证明
已知A~B，则若存在可逆矩阵P使得P^-1^AP = B。此题额外附加了A、B均为可逆矩阵的条件
①证明：A^-1^~B^-1^
∵P^-1^AP = B
对两边取逆
得 P^-1^A^-1^P = B^-1^，即A^-1^~B^-1^
②证明：A^T^~B^T^
∵P^-1^AP=B
对两边取转置
得 P^T^A^T^(P^-1^)^T^ = B^T^
即 [(P^T^)^-1^]^-1^A^T^(P^T^)^-1^ = B^T^
令Q = (P^T^)^-1^ = (P^-1^)^T^，则 Q^-1^A^T^Q = B^T^，则 A^T^~B^T^
③在此题A、B均为可逆矩阵的前提下，D正确
P^-1^AP = B
P^-1^A^-1^P = B^-1^
∴P^-1^(A+A^-1^)P = B+B^-1^
④C，需要A、B均为实对称矩阵
答案：C
2.相似对角化
(1)定义
A可相似于对角阵，称为A可相似对角化，即：
对于n阶矩阵A，存在n阶可逆矩阵P，使得 P − 1 A P = Λ = ( λ 1 λ 2 λ 3 ) P^{-1}AP=Λ=\left(\begin{array}{cc} λ₁ & & \\ & λ₂ & \\ & & λ₃\\ \end{array}\right) P−1AP=Λ= λ1λ2λ3 ，其中 Λ Λ Λ为对角阵，记作 A ∼ Λ A\sim Λ A∼Λ，称A可相似对角化。称 Λ Λ Λ是A的相似标准形。
(2)相似对角化的条件（n阶矩阵A可相似对角化的条件）
|------|-----------------------------------------------|
| n阶矩阵A可相似对角化的条件 ||
| 充要条件 | ①A有n个线性无关的特征向量 |
| 充要条件 | ②A的每一个k重特征值，都有k个线性无关的特征向量 即 k=n-r(λE-A)，λ是k重根 |
| 充分条件 | ①A为实对称矩阵 |
| 充分条件 | ②A有n个互异的特征值 |
② k i = n − r ( λ i E − A ) k_i=n-r(λ_iE-A) ki=n−r(λiE−A)， λ i λ_i λi是 k i k_i ki重根
注：
1.对于普通矩阵A：
①特征值不同 ( λ 1 ≠ λ 2 λ₁≠λ₂ λ1=λ2)：特征向量 ξ 1 ξ 2 ξ₁ξ₂ ξ1ξ2一定线性无关
②特征值相同 ( λ 1 = λ 2 λ₁=λ₂ λ1=λ2)：特征向量 ξ 1 ξ 2 ξ₁ξ₂ ξ1ξ2 可能无关，可能相关
2.A可相似对角化最本质的充要条件：A有n个线性无关的特征向量
(3)相似对角化的性质
相似的两矩阵若均可相似对角化，则可以相似于同一个对角矩阵。该对角矩阵的主对角线元素即为特征值 λ~1~、λ~2~、λ~3~
例题0：给定矩阵A，求可逆矩阵P，使得A可相似对角化，即 P − 1 A P = Λ P^{-1}AP=Λ P−1AP=Λ
步骤：①求特征值与特征向量 λ、ξ ②验证ξ₁,ξ₂,ξ₃线性无关 ③令 P = ( ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) P=(ξ₁,ξ₂,ξ₃) P=(ξ1,ξ2,ξ3)，验可逆 ④若P可逆，则有 P − 1 A P = Λ = ( λ 1 λ 2 λ 3 ) P^{-1}AP=Λ=\left(\begin{array}{cc} λ₁ & & \\ & λ₂ & \\ & & λ₃\\ \end{array}\right) P−1AP=Λ= λ1λ2λ3
例题1：17年6. 相似对角化的条件
分析：
A、B为上三角矩阵，C为对角矩阵。显然，A、B、C的特征值均为 2，2，1。
判断A、B是否与C相似， 即A、B能否相似对角化。
由相似对角化的充要条件：2重根,要有2个线性无关的特征向量，n-r(λE-A)=3-1=2 ∴r(λE-A)=1
显然，r(2E-A)=1，而r(2E-B)=2，∴A可以相似对角化，B不可以
答案：B
例题2：15年21.(2)
求可逆矩阵P，使P^-1^AP为对角矩阵：
只需求出其特征值，以及对应的n个线性无关的特征向量即可
分析：
①求特征值：A~B，∴A和B特征值相同。因为B的0更多，特征值更好求，所以用矩阵B来求特征值。
②求特征向量：分别将3个特征值λ代入λE-A，化简矩阵，得线性无关的特征向量
解题步骤：
①|λE-B|= |三阶行列式| =(λ-1)^2^(λ-5) ∴B的特征值为1，1，5
∵A~B ∴A的特征值也为1，1，5
②将λ=1代入(λE-A)x=0，即(E-A)x=0
E-A =()→()，得A的属于特征值λ=1的线性无关的特征向量为α~1~=( )，α~2~=( )
将λ=5代入(λE-A)x=0，即(5E-A)x=0
5E-A=()→()，得A的属于特征值λ=5的线性无关的特征向量为α~3~=( )
令P=(α~1~,α~2~,α~3~)，则P^-1^AP = ʌ =()
例题3：19年21.(2)
3.实对称矩阵的相似对角化
1.实对称矩阵对角化的性质、步骤
1.实对称矩阵的性质
①实对称矩阵必能相似对角化
②实对称矩阵必有n个线性无关的特征向量
③实对称矩阵 不同特征值对应的特征向量一定正交
④实对称矩阵的特征值都是实数
⑤非零的幂零矩阵一定不能相似对角化
2.对于任一n阶实对称矩阵A，必存在正交矩阵Q，使得 Q − 1 A Q = Q T A Q = Λ = ( λ 1 λ 2 . . . λ n ) Q^{-1}AQ=Q^TAQ=Λ=\left(\begin{array}{cc} λ₁ & & \\ & λ₂ & \\ & & ...\\ &&& λ_n \end{array}\right) Q−1AQ=QTAQ=Λ= λ1λ2...λn
其中 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n λ₁,λ₂,...,λ_n λ1,λ2,...,λn为A的n个实特征值，矩阵Q的列向量为A的依次对应于 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n λ₁,λ₂,...,λ_n λ1,λ2,...,λn的两两正交的单位特征向量
3.根据上述结论，总结出正交变换矩阵Q将实对称矩阵A对角化的步骤为：
(1)求出A的全部特征值 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n λ₁,λ₂,...,λ_n λ1,λ2,...,λn
(2)对每个特征值 λ i λ_i λi，求出其特征向量
(3)将特征向量正交化，再单位化
(4)将这些单位向量作为列向量构成正交矩阵Q，从而有 Q − 1 A Q = Q T A Q = Λ = ( λ 1 λ 2 . . . λ n ) Q^{-1}AQ=Q^TAQ=Λ=\left(\begin{array}{cc} λ₁ & & \\ & λ₂ & \\ & & ...\\ &&& λ_n \end{array}\right) Q−1AQ=QTAQ=Λ= λ1λ2...λn
例题1：证明：实对称矩阵不同特征值对应的特征向量一定正交
例题2：23李林四(一)6.
分析：
答案：B
2.正交矩阵、正交变换
(1)正交矩阵Q
1.正交矩阵定义： Q Q T = Q T Q = E QQ^T=Q^TQ=E QQT=QTQ=E
两向量正交：内积为0
2.正交矩阵性质：(A,B均为n阶正交矩阵)
(1) Q − 1 = Q T Q^{-1}=Q^T Q−1=QT
(2) Q的各行向量两两正交，各列向量两两正交
(3) ∣ Q ∣ = ± 1 |Q|=±1 ∣Q∣=±1
(4) Q − 1 、 Q T 、 Q B Q^{-1}、Q^T、QB Q−1、QT、QB也是正交阵
(5)方阵Q是正交矩阵的充要条件：Q的列向量组或行向量组为标准正交向量组
3.求正交矩阵Q，使得 Q T A Q \rm Q^TAQ QTAQ为对角矩阵：
①求A的特征值 ：即求A的特征方程|λE-A|=0的全部解
②求A的特征向量 ：对求得的每一个特征值，将其代入 ( λ E − A ) x = 0 (λE-A)x=0 (λE−A)x=0，求出每个特征值对应的特征向量
③特征向量正交化
④特征向量单位化。然后组成正交矩阵Q
(2)正交变换
1.定义：
若Q为正交矩阵，则线性变换x=Qy称为正交变换。正交变换属于相似变换，不改变矩阵的特征值。
对任一n阶实对称矩阵A，必存在正交矩阵Q 使得A可以相似对角化，即 Q − 1 A Q = Q T A Q = Λ = ( λ 1 λ 2 . . . λ n ) Q^{-1}AQ=Q^TAQ=Λ=\left(\begin{array}{cc} λ₁ & & \\ & λ₂ & \\ & & ...\\ &&& λ_n \end{array}\right) Q−1AQ=QTAQ=Λ= λ1λ2...λn
2.性质：
(1)正交变换保持向量的内积不变
(2)正交变换保持向量的长度不变
(3)正交变换保持向量的夹角不变
只会将图形在坐标系中旋转，而不会扭曲图形
正交变换，既相似又合同
例题1：11年13. 正交变换不改变矩阵的特征值、行列式=特征值之积
分析：
答案：1
例题2：22年21.(2) ①二次型的定义 ②求正交矩阵、正交变换法化二次型为标准型 ③配方法
答案：
3.反求参数、反求矩阵A、 A k A^k Ak
P − 1 A P = Λ P^{-1}AP=Λ P−1AP=Λ，则有：
① A = P Λ P − 1 A=PΛP^{-1} A=PΛP−1
② A k = P Λ k P − 1 A^k=PΛ^kP^{-1} Ak=PΛkP−1
③ f ( A ) = P f ( A ) P − 1 f(A)=Pf(A)P^{-1} f(A)=Pf(A)P−1
例题1：
分析：
f ( λ 1 ) = f ( 1 ) = − 2 ， f ( λ 2 ) = f ( 2 ) = − 2 ， f ( λ 3 ) = f ( 3 ) = − 2 f(λ₁)=f(1)=-2，f(λ₂)=f(2)=-2，f(λ₃)=f(3)=-2 f(λ1)=f(1)=−2，f(λ2)=f(2)=−2，f(λ3)=f(3)=−2
B = f ( A ) = P f ( Λ ) P − 1 = P ( f ( λ 1 ) f ( λ 2 ) f ( λ 3 ) ) P − 1 = − 2 P E P − 1 = − 2 E B=f(A)=Pf(Λ)P^{-1}=P\left(\begin{array}{cc} f(λ₁) & & \\ & f(λ₂) & \\ & & f(λ₃)\\ \end{array}\right) P^{-1}=-2PEP^{-1}=-2E B=f(A)=Pf(Λ)P−1=P f(λ1)f(λ2)f(λ3) P−1=−2PEP−1=−2E
答案：-2E
4.两矩阵是否相似的判别与证明
1.判断A B 相似：
①定义法： P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P−1AP=B，则 A ∼ B A \sim B A∼B
②传递法： A ∼ Λ 1 , B ∼ Λ 2 ， λ A = λ B A\sim Λ₁,B\sim Λ₂，λ_A=λ_B A∼Λ1,B∼Λ2，λA=λB，则 Λ 1 = Λ 2 Λ₁=Λ₂ Λ1=Λ2，即 A ∼ Λ ∼ B A \sim Λ \sim B A∼Λ∼B
(1)两个实对称/可相似对角化的矩阵相似的充要条件：
两实对称矩阵/两可相似对角化的矩阵 相似 ⇦⇨ 特征多项式相同 ⇦⇨ 特征值全部相同
对于普通矩阵来说，特征多项式相同、特征值相同，只是相似的必要条件。
但对于两个 实对称/可对角化 的矩阵 来说，特征多项式相同、特征值相同等相似的必要条件，就变成了相似的充分必要条件。
证明：
1.若A、B均可相似对角化，且A、B特征值相同，则A、B相似于同一个对角阵。则 P − 1 A P = Λ ， A ∼ Λ P − 1 B P = Λ ， B ∼ Λ P^{-1}AP=Λ，A\sim Λ \qquad P^{-1}BP=Λ，B\sim Λ P−1AP=Λ，A∼ΛP−1BP=Λ，B∼Λ
由相似的传递性，可知 A ∼ Λ ∼ B ， ∴ A ∼ B A\sim Λ \sim B，∴A\sim B A∼Λ∼B，∴A∼B
2.若A、B均为实对称矩阵。实对称矩阵一定可以相似对角化，再接1的证明
条件由强到弱依次是：
①实对称
②不对称但可相似对角化
③不对称，也不可相似对角化
(2)非实对称矩阵相似
(1)充要条件：若两矩阵相似，则特征矩阵也相似，则特征矩阵的秩相等。即 A ∼ B ⇦⇨ k E − A ∼ k E − B A\sim B \ \ ⇦⇨ \ \ kE-A\sim kE-B A∼B ⇦⇨ kE−A∼kE−B
(2)必要条件：A~B → r(A)=r(B)
λE-A ~ λE-B → r(λE-A) = r(λE-B)
证明：
例题1：18年5.
分析：
显然，M、A、B、C、D的特征值均为1，1，1。 M ∼ A ⇦⇨ k E − M ∼ k E − A → r ( k E − M ) = r ( k E − A ) M\sim A\ \ ⇦⇨\ \ kE-M\sim kE-A \ → r(kE-M)=r(kE-A) M∼A ⇦⇨ kE−M∼kE−A →r(kE−M)=r(kE−A)
r(E-M)=2，r(E-A)=2，r(E-B)=r(E-C)=r(E-D)=1，∴E-M~E-A
答案：A
例题2：13年06. 实对称矩阵相似的充要条件：特征值相同
分析：
答案：B
第6章 二次型
(一) 二次型的定义与矩阵表示
1.二次型定义
二次型的矩阵表达式： f ( x ) = x T A x f(x)=x^TAx f(x)=xTAx
即 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 1 , x 2 , x 3 ) ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) ( x 1 x 2 x 3 ) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a 33 x 3 2 + f(x_1,x_2,x_3)=(x_1,x_2,x_3)\left(\begin{array}{cc} a₁₁ & a₁₂ & a₁₃ \\ a₂₁ & a₂₂ & a₂₃ \\ a₃₁ & a₃₂ & a₃₃ \\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)=a₁₁x₁^2+ a₂₂x₂^2+a₃₃x_3^2+ f(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3) a11a21a31a12a22a32a13a23a33 x1x2x3 =a11x12+a22x22+a33x32+ ( a 12 + a 21 ) x 1 x 2 + ( a 13 + a 31 ) x 1 x 3 + ( a 23 + a 32 ) x 2 x 3 (a₁₂+a₂₁)x_1x_2+(a₁₃+a₃₁)x_1x_3+(a₂₃+a₃₂)x_2x_3 (a12+a21)x1x2+(a13+a31)x1x3+(a23+a32)x2x3
A为实对称矩阵 ( A = A T A=A^T A=AT)，称为二次型的系数矩阵。
平方项： x i 2 x^2_i xi2、交叉项(混合项)： x i x j 、 x j x i x_ix_j、x_jx_i xixj、xjxi
2.二次型的矩阵表示：二次型与矩阵的对应关系
1.看到二次型能写出矩阵，看到矩阵能写出它的二次型。
2.二次型f的矩阵，就是A，不能带x。二次型的定义是 f ( x ) = x T A x f(x)=x^TAx f(x)=xTAx
例题1：02年4.
分析：对二次型进行正交变换得标准形 ，实际上就是对矩阵进行相似对角化 。正交变换得到的标准形对应矩阵都是对角矩阵，标准形系数都是特征值。
答案：2
例题2：23李林六套卷(五)15. 二次型定义、合同的定义及性质
答案：
3.二次型与二次曲面
二次型与二次曲面：直接求特征值，根据特征值正负判断曲面类型
例题1：16年06. 二次型与二次曲面
分析：求特征值，看正负惯性指数，判断曲面类型
答案：B
(二) 化二次型为标准型、规范型
1.可逆线性变换 X=CY
2.合同
(1)定义
设A,B为n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得 B = C T A C B=C^TAC B=CTAC，则称 矩阵A与B合同 。记作 A ≃ B A\simeq B A≃B。此时称对应的二次型f(x)与g(y)为合同二次型。
(2)性质
1.两是对称矩阵A、B合同：
⇦⇨ A、B 正、负惯性指数 相同 【两合同矩阵的正负特征值个数相同】
⇦⇨ A、B 正惯性指数相同 + 秩相同
⇦⇨ p、q、r均相同
2.对称矩阵和不对称矩阵，不可能合同
证明：设A与B合同，A=A^T^，B≠B^T^。
存在可逆矩阵C，使得 C^T^AC=B①。两边取转置得，C^T^A^T^C=B^T^
∵A=A^T^，得C^T^AC=B^T^②
∵B≠B^T^ ∴①与②矛盾。故对称矩阵与不对称矩阵不合同。
(3)相似与合同
(两实对称矩阵)相似→合同：(实对称矩阵)相似 ⇨ 特征值相同 ⇨ 正负特征值个数一定相同 ⇨ 合同
两实对称矩阵：若相似，则一定合同。
对称矩阵与非对称矩阵，一定不合同。
例题1：
例题2：07年8. 
分析：相似还是合同，只需要看特征值
由|λE-A|=0求得A的特征值为3,3,0。对角阵B的特征值为1,1,0。可见AB特征值不相同，不相似。但是 正惯性指数和秩相同，因此AB合同。
答案：B
例题3：01年9.
分析：A、B均为实对称矩阵
由|λE-A|=0求得A的特征值为 λ₁=4,λ₂=λ₃=λ₄=0
对角阵B的特征值也为λ₁=4,λ₂=λ₃=λ₄=0
特征值相同，∴A、B相似。
特征值相同，则正负惯性指数也必然相同，∴A、B合同
答案：A
3.标准形、规范形
1.标准形：
与对角矩阵对应的二次型f( 只含有平方项)，即为标准形。
2.规范形：
平方项的系数为+1或-1
①为什么要化为"标准形"、"规范形"？
答：标准形、规范形只含平方项，二次型对应的二次曲面方便找出最大值。
②如何化为标准形、规范形？
对A做相似对角化，化为相似的对角阵，主对角线元素均为特征值。满足只含平方项。
例题1：18年20(2) 线性方程组、规范形
分析：
(1)平方和为0，则每个括号内都为0
(2)
(1)正交变换法 化二次型为标准形：得对角阵，系数为特征值
1.定理
任意给定实二次型 f = x T A x ( A T = A ) f=x^TAx\quad(A^T=A) f=xTAx(AT=A)，一定存在正交变换 x = Q y x=Qy x=Qy，使f 化为标准形 f = λ 1 y 1 2 + λ 2 y 2 2 + . . . + λ n y n 2 f= λ_1y_1^2+λ_2y_2^2+...+λ_ny_n^2 f=λ1y12+λ2y22+...+λnyn2 。其中 λ i ( i = 1 , 2 , . . . , n ) λ_i(i=1,2,...,n) λi(i=1,2,...,n)为二次型矩阵A的特征值。
2.性质
①正交变换相当于对实对称矩阵A做了相似对角化，得到的平方项系数即为A的特征值。【而配方法得到的系数一般不是特征值。】
②正交变换法只能化二次型为标准形，不能化为规范形（除非特征值都属于{1,-1,0}）
3.用正交变换化二次型为标准形的步骤：
(1)写出二次型对应的实对称矩阵A
(2)求出A的所有特征值和特征向量
(3)将特征向量正交化、单位化，得η~1~,η~2~,...,η~n~，得正交矩阵Q=(η~1~,η~2~,...,η~n~)
(4)作正交变换 x=Qy，得f的标准形： f = x T A x = x = Q y ( Q y ) T A Q y = y T ( Q T A Q ) y = y T ( Q − 1 A Q ) y = y T Λ y = λ 1 y 1 2 + λ 2 y 2 2 + . . . + λ n y n 2 f=x^TAx\xlongequal{\rm x=Qy}(Qy)^TAQy=y^T(Q^TAQ)y=y^T(Q^{-1}AQ)y=y^TΛy=λ_1y_1^2+λ_2y_2^2+...+λ_ny_n^2 f=xTAxx=Qy (Qy)TAQy=yT(QTAQ)y=yT(Q−1AQ)y=yTΛy=λ1y12+λ2y22+...+λnyn2
其中正交变换为 x = Q y = ( 正交矩阵 Q ) ( 列向量 y ) x=Qy=(正交矩阵Q)(列向量y) x=Qy=(正交矩阵Q)(列向量y)
例题0：
例题1：15年6.
分析：
答案：A
例题2：20年20.
分析：
(1)①二次型与矩阵的对应关系 ②正交变换也是相似变换
(2) ∵二阶矩阵A、B均有2个互异的特征值，∴A、B均可相似对角化
且∵A~B，∴A、B相似于同一个对角矩阵
设A ~ Λ，则存在可逆矩阵P~1~使得 P 1 − 1 A P 1 = Λ P_1^{-1}AP_1=Λ P1−1AP1=Λ
设B ~ Λ，则存在可逆矩阵P~2~使得 P 2 − 1 B P 2 = Λ P_2^{-1}BP_2=Λ P2−1BP2=Λ
∴ B = P 2 Λ P 2 − 1 = P 2 P 1 − 1 A P 1 P 2 − 1 ∴B=P_2ΛP_2^{-1}=P_2P_1^{-1}AP_1P_2^{-1} ∴B=P2ΛP2−1=P2P1−1AP1P2−1
令 P = P 1 P 2 − 1 P=P_1P_2^{-1} P=P1P2−1， ∴ B = P − 1 A P ∴B=P^{-1}AP ∴B=P−1AP
所以，求出P~1~、P~2~，得 P = P 1 P 2 − 1 P=P_1P_2^{-1} P=P1P2−1。对P进行正交化单位化，得正交矩阵Q
例题3：12年21.
分析：秩的性质、正交变换的步骤
答案：(1)a = -1
(2)配方法 化二次型为标准形、规范形
配方法：
①将某个 x i x_i xi的平方项及与其有关的混合项，一次性配成一个完全平方。如此，直到全部配成完全平方项。
②n元要n换，缺项要补项(+0倍 x 3 x_3 x3，令 y 3 = x 3 y_3=x_3 y3=x3)，得到 Y = C − 1 X Y=C^{-1}X Y=C−1X
③反解出C，即 X=CY
若要化二次型为规范形，只可使用配方法。正交变换法只能化到标准形，正交变换化的标准形的系数是实对称矩阵A的特征值。
例题1：没有平方项，创造平方项
分析：化为规范形，只能使用配方法
答案：
例题2：14年13. 配方法求二次型的标准形
分析：初等变换改变特征值，相似变换不改变特征值
答案：[-2,2]
(三) 正定二次型
1.惯性定理
惯性定理：可逆线性变换，不改变正负惯性指数
①正惯性指数p：正特征值的个数
②负惯性指数q：负特征值的个数。满秩时，负惯性指数为奇数，行列式<0
③ r = p + q r=p+q r=p+q
例题1：14年13.
分析：
求特征值时，不可进行初等变换(初等变换会改变特征值)，不要化为行最简。此题直接求特征值困难。
满秩时，负惯性指数为奇数，行列式<0
答案：[-2,2]
2.正定二次型、正定矩阵、 二次型正定性的判别
(1)概念
设 f = x T A x ( A T = A ) f=x^TAx \ (A^T=A) f=xTAx (AT=A)为实二次型，若对于任意非零向量 x x x，
(1)恒有 x^T^Ax >0 ，则称 f=x^T^Ax 为正定二次型 ，称矩阵A为正定矩阵 ；
恒有 x^T^Ax <0，则称f=x^T^Ax 为负定二次型，称矩阵A为负定矩阵；
(2)恒有 x^T^Ax ≥ 0，则称 f=x^T^Ax为 半正定二次型，称矩阵A为半正定矩阵；
恒有 x^T^Ax ≤ 0，则称 f=x^T^Ax为 半负定二次型，称矩阵A为半负定矩阵；
(3)若f=x^T^Ax的值时而为正，时而为负，则称 f=x^T^Ax 为不定二次型
(2)性质(充要条件)
矩阵A正定 (抽象型矩阵：先说A是实对称， A T = A A^T=A AT=A，再用充要条件)
⇦⇨ ①A的各阶顺序主子式 Δ i > 0 Δ_i>0 Δi>0 (从左上角或右下角开始都可) 【具体型矩阵】
⇦⇨ ②A的所有特征值均为正值 λ i > 0 λ_i>0 λi>0 【具体型、抽象型】
⇦⇨ ③A的正惯性指数 p = r = n p=r=n p=r=n 【配方法求】
⇦⇨ ④对任意n维非零列向量 x x x，总有 f = x T A x > 0 f=x^TAx>0 f=xTAx>0 (正定的定义)
⇦⇨ ⑤A与单位阵E合同，即 P T A P = E P^TAP=E PTAP=E
⇦⇨ ⑥存在可逆矩阵Q，使得 A = Q T Q A=Q^TQ A=QTQ
