文章目录
- 引言
- 一、二次型的基本概念及其标准型
-
- [1.1 基本概念](#1.1 基本概念)
- 写在最后
引言
所谓二次型即所有项都是二次的多项式，当一个二次型只有平方项而没有交叉项时，该二次型称为标准二次型。
这是线代的最后一个章节了，也确实很久没看线代了，这一章就慢慢来写，中间再去看看概率论，后面的内容应该都是比较轻松的。
一、二次型的基本概念及其标准型
1.1 基本概念
1. 二次型 ------ 含 n n n 个变量 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1,x2,⋯,xn 且每项都是 2 次的齐次多项式 f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ⋯ + a n n x n 2 + 2 a 12 x 1 x 2 + ⋯ + 2 a n − 1 , n x n − 1 x n , f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+\cdots+a_{nn}x_n^2+2a_{12}x_1x_2+\cdots+2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n, f(x1,x2,⋯,xn)=a11x12+a22x22+⋯+annxn2+2a12x1x2+⋯+2an−1,nxn−1xn, 称为二次型，若令 a i j = a j i ( i , j = 1 , 2 , ⋯ , n ) a_{ij}=a_{ji}(i,j=1,2,\cdots,n) aij=aji(i,j=1,2,⋯,n) ，则二次型的矩阵形式为 f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = X T A X , f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\pmb{X}^T\pmb{AX}, f(x1,x2,⋯,xn)=XTAX, 其中 A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n , X = x 1 x 2 ⋮ x n . \pmb{A}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix},\pmb{X}=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}. A= a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann ,X= x1x2⋮xn .
2. 标准二次型 ------ 只含有平方项而不含交叉项的二次型。
3. 二次型的标准化 ------ 设 f ( X ) = X T A X f(\pmb{X})=\pmb{X}^T\pmb{AX} f(X)=XTAX 为一个二次型，经过可逆的线性变换 X = P Y \pmb{X=PY} X=PY ，即 P \pmb{P} P 为可逆矩阵，把二次型 f ( X ) f(\pmb{X}) f(X) 化为 f ( X ) = Y T ( P T A P ) Y = l 1 y 1 2 + l 2 y 2 2 + ⋯ + l m y m 2 , f(\pmb{X})=\pmb{Y}^T(\pmb{P}^T\pmb{AP})\pmb{Y}=l_1y_1^2+l_2y_2^2+\cdots+l_my_m^2, f(X)=YT(PTAP)Y=l1y12+l2y22+⋯+lmym2, 称为二次型的标准化。
任何一个二次型都可以表示为矩阵形式，且有 A T = A \pmb{A}^T=\pmb{A} AT=A ，其中 f ( X ) = X T A X f(\pmb{X})=\pmb{X}^T\pmb{AX} f(X)=XTAX 为标准二次型的充要条件是 A \pmb{A} A 为对角阵；为非标准二次型的充要条件是 A \pmb{A} A 为对称但非对角矩阵。
二次型 f ( X ) = X T A X f(\pmb{X})=\pmb{X}^T\pmb{AX} f(X)=XTAX 标准化的过程即为实对称矩阵 A \pmb{A} A 对角化的过程，其必须遵循两点原则：
- 线性变换 X = P Y \pmb{X=PY} X=PY 中的 P \pmb{P} P 必须为可逆矩阵；
- P T A P \pmb{P}^T\pmb{AP} PTAP 为对角阵。
惯性定理：二次型的标准型不唯一，但标准型中的正负系数的个数是确定的。
4. 规范二次型 ------ 系数为 1 和 -1 的标准型称为二次型的规范性。
5. 可逆的坐标变换 ------ 令 X = x 1 x 2 ⋮ x n , Y = y 1 y 2 ⋮ y n , P = p 11 p 12 ⋯ p 1 n p 21 p 22 ⋯ p 2 n ⋮ ⋮ ⋮ p n 1 p n 2 ⋯ p n n \pmb{X}=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix},\pmb{Y}=\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix},\pmb{P}=\begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n}\\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn} \end{bmatrix} X= x1x2⋮xn ,Y= y1y2⋮yn ,P= p11p21⋮pn1p12p22⋮pn2⋯⋯⋯p1np2n⋮pnn ，若 ∣ P ∣ ≠ 0 |\pmb{P}|\ne 0 ∣P∣=0 ，称 { x 1 = p 11 y 1 + p 12 y 2 + ⋯ + p 1 n y n x 2 = p 21 y 1 + p 22 y 2 + ⋯ + p 2 n y n ⋮ x n = p n 1 y 1 + p n 2 y 2 + ⋯ + p n n y n \begin{cases} x_1=p_{11}y_1+p_{12}y_2+\cdots+p_{1n}y_n \\ x_2=p_{21}y_1+p_{22}y_2+\cdots+p_{2n}y_n \\ \vdots \\ x_n=p_{n1}y_1+p_{n2}y_2+\cdots+p_{nn}y_n \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1=p11y1+p12y2+⋯+p1nynx2=p21y1+p22y2+⋯+p2nyn⋮xn=pn1y1+pn2y2+⋯+pnnyn 为由 X \pmb{X} X 到 Y \pmb{Y} Y 的可逆坐标变换。
6. 矩阵合同 ------ 设 A , B \pmb{A,B} A,B 为 n n n 阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵 P \pmb{P} P ，使得 P T A P = B \pmb{P}^T\pmb{AP=B} PTAP=B ，称矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 合同，记为 A ≃ B \pmb{A\simeq B} A≃B 。
经过可逆线性变换的二次型的矩阵与原矩阵合同，即经过可逆的线性变换 X = P Y \pmb{X=PY} X=PY ，把二次型 f ( X ) f(\pmb{X}) f(X) 化为 f ( X ) = Y T ( P T A P ) Y f(\pmb{X})=\pmb{Y}^T(\pmb{P}^T\pmb{AP})\pmb{Y} f(X)=YT(PTAP)Y ，显然 P T A P \pmb{P}^T\pmb{AP} PTAP 与原矩阵 A \pmb{A} A 合同。
矩阵合同有如下性质：
- （反身性） A ≃ A \pmb{A\simeq A} A≃A ；
- （对称性）若 A ≃ B \pmb{A\simeq B} A≃B ，则 B ≃ A \pmb{B\simeq A} B≃A ；
- （传递性）若 A ≃ B , A ≃ C \pmb{A\simeq B},\pmb{A\simeq C} A≃B,A≃C ，则 B ≃ C \pmb{B\simeq C} B≃C 。
写在最后
果然太久没看了线代了吗，光这些个基本概念我就晕乎乎的了。最后讲到了合同，我想先停一下，出一期三大关系的文章，顺便复习一下前面的内容。