70. 爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例：

输入：n = 3

输出：3

Solution

我们先通过直观的方式思考问题：对于给定的阶梯数n，每次爬1阶或2阶，因此有两种选择，可以分解为以下子问题：

爬上n-1阶，再爬1阶
爬上n-2阶，再爬2阶

所以解就是上述两个子问题的和。

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class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        if n == 1:
            return 1
        if n == 2:
            return 2
        return self.climbStairs(n - 1) + self.climbStairs(n - 2)

上述直接递归的缺点在于重复计算，那么我们可以保存已经计算的子问题的结果。

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class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        memo = [0] * (n + 1)
        return self.climb_with_memoization(n, memo)

    def climb_with_memoization(self, n: int, memo: list) -> int:
        if n == 1:
            return 1
        if n == 2:
            return 2
        if memo[n] > 0:
            return memo[n]
        memo[n] = self.climb_with_memoization(n - 1, memo) + self.climb_with_memoization(n - 2, memo)
        return memo[n]

记忆化递归依然使用了递归结构，而递归结构可以转换为迭代结构。我们可以从底部开始计算，逐步构建解，直到达到n。

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class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        if n <= 2:
            return n
        dp = [0] * (n + 1)
        dp[1], dp[2] = 1, 2
        for i in range(3, n + 1):
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
        return dp[n]

观察上述代码，我们发现每次计算只使用了前两个状态的值。因此，完全没有必要保存所有的值，只需保存最后两个状态。

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class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        if n <= 2:
            return n
        a, b = 1, 2
        for _ in range(3, n + 1):
            a, b = b, a + b
        return b