题目描述：

给你一个字符串 s ，找出其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。子序列定义为：不改变剩余字符顺序的情况下，删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。

示例 1：
复制代码
输入：s = "bbbab"
输出：4
解释：一个可能的最长回文子序列为 "bbbb" 。
示例 2：
复制代码
输入：s = "cbbd"
输出：2
解释：一个可能的最长回文子序列为 "bb" 。
提示：

1 <= s.length <= 1000

s 仅由小写英文字母组成

这道题的知识点是动态规划，可是如果直接从动态规划讲可能有点不容易理解。

所以本篇文章就是从暴力递归到动态规划。

从题目中我们可以得出：本题找的是可以不连续的回文子串然后返回其最大序列的长度。

也就是说：

a2b42a

的最长回文子序列为：a2b2a或a242a 这两个都可以 因为它们返回的都是5

暴力递归：

我们先写一个可以返回最长的回文子序列长度的函数：

java 复制代码

//主函数
public int longestPalindromeSubseq(String s) {
        char[] str = s.toCharArray();
        return maxString(str, 0, str.length-1);
}

//假设该函数可以返回最长回文子序列的长度
public static int maxString(char[] str, int l, int r) {}

我们写的 maxString() 方法可以返回 str 字符串 $l, r$ 区间的最长回文子序列的长度。

通过分析可以得出以下结论：

两种特殊情况：

首先我们可以得到当 l 和 r 相等就证明此时只有一个字符那么它的返回值就是 1 。
如果传入的数组只有两个字符即 l + 1 == r 那么此时如果这两个字符相等就返回 2，如果不相等就返回 1。

普遍情况：

两边的字符都不存在于最长的回文子序列中。例：a1221b -> 1221;
右边的字符****不存在在于最长的回文子序列中。例：1221b -> 1221;
左边的字符****不存在在于最长的回文子序列中。例：a1221 -> 1221;
两边的字符 都存在于最长的回文子序列中。例：1w221 -> 1221。

此时代码就可以这样写：

java 复制代码

//主函数
public int longestPalindromeSubseq(String s) {
        char[] str = s.toCharArray();
        return maxString(str, 0, str.length-1);
}

//假设该函数可以返回最长回文子序列的长度
public static int maxString(char[] str, int l, int r) {
        //先判断两种特殊情况
        if (l == r){
            return 1;
        }
        if (l + 1 == r){
            return str[l] == str[r] ? 2 : 1;
        }
        //余下的四种情况
        int a1 = maxString(str, l + 1, r - 1);
        int a2 = maxString(str, l, r - 1);
        int a3 = maxString(str, l + 1, r);
        int a4 = str[l] == str[r] ? 2 + maxString(str, l + 1, r - 1) : 0;
        
        //因为题目要求返回最长序列长度  所以需要返回这四个的最大值
        return Math.max(Math.max(a1, a2), Math.max(a3, a4));
}

此时我们可以提交以下：

虽然没通过但是从它的报错信息可以看出，我们的思路是没问题的。

动态规划：

我们有了递归版本后就可以根据它来写出动态规划版本了。

因为在maxString() 方法中只有 l 和 r 是变量，而它们两个的取值范围都是 $0，str.length - 1$

此时我们就可以通过创建一个二维数组将 l 和 r所有情况都列举出来然后返回数组 $0，str.length - 1$ 下标的值就可以得出答案了。

我们先假设长度只有 5 ，那么我们就可以创建如下的二维数组l 行，r 列

java 复制代码

public static int maxString(char[] str, int l, int r) {

        int[][] arr = new int[str.length][str.length];
        
}

接下来的填表阶段就可以根据递归函数直接填（以"a1221"为例子）：

此时 $0， 4$ 位置的值就是最终答案。

根据每个位置的关系就将递归优化成：

java 复制代码

public static int maxString(char[] str, int l, int r) {

        int[][] arr = new int[str.length][str.length];
        //因为不存在l < r的情况所以下三角的空间不用
        for (int i = 0; i < str.length; i++) {
            if (i == 0){//填第一条对角线
                int j = 0;
                while(j < str.length) {
                    arr[j][j] = 1;
                    j++;
                }
            }else if (i == 1) {//填第二条斜线
                int j = 1;
                while(j < str.length) {
                    arr[j - 1][j] = (str[j - 1] == str[j]) ? 2 : 1;
                    j++;
                }
            }else {//其他
                int j = i;
                int k = 0;
                while(j < str.length){
                    int a1 = arr[k + 1][j - 1];
                    int a2 = arr[k][j - 1];
                    int a3 = arr[k + 1][j];
                    int a4 = str[k] == str[j] ? 2 + arr[k + 1][j - 1] : 0;
                    arr[k][j] = Math.max(Math.max(a1, a2), Math.max(a3, a4));
                    j++;
                    k++;
                }
            }

        }
        return arr[0][str.length-1];
}

此时再提交就过了。

leetcode 516. 最长回文子序列(JAVA)题解

题目描述：

暴力递归：

动态规划：