算法与数据结构（二十三）动态规划设计：最长递增子序列

注：此文只在个人总结 labuladong 动态规划框架，仅限于学习交流，版权归原作者所有；

也许有读者看了前文动态规划详解，学会了动态规划的套路：找到了问题的「状态」，明确了 dp 数组/函数的含义，定义了 base case；但是不知道如何确定「选择」，也就是找不到状态转移的关系，依然写不出动态规划解法，怎么办？

不要担心，动态规划的难点本来就在于寻找正确的状态转移方程，本文就借助经典的「最长递增子序列问题」来讲一讲设计动态规划的通用技巧：数学归纳思想。

最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence，简写 LIS）是非常经典的一个算法问题，比较容易想到的是动态规划解法，时间复杂度 O(N^2)，我们借这个问题来由浅入深讲解如何找状态转移方程，如何写出动态规划解法。比较难想到的是利用二分查找，时间复杂度是 O(NlogN)，我们通过一种简单的纸牌游戏来辅助理解这种巧妙的解法。

力扣第 300 题「最长递增子序列open in new window」就是这个问题：

输入一个无序的整数数组，请你找到其中最长的严格递增子序列的长度，函数签名如下：

java 复制代码

int lengthOfLIS(int[] nums);

比如说输入 nums=[10,9,2,5,3,7,101,18]，其中最长的递增子序列是 [2,3,7,101]，所以算法的输出应该是 4。

注意「子序列」和「子串」这两个名词的区别，子串一定是连续的，而子序列不一定是连续的。下面先来设计动态规划算法解决这个问题。

一、动态规划解法

动态规划的核心设计思想是数学归纳法。

相信大家对数学归纳法都不陌生，高中就学过，而且思路很简单。比如我们想证明一个数学结论，那么我们先假设这个结论在 k < n 时成立，然后根据这个假设，想办法推导证明出 k = n 的时候此结论也成立 。如果能够证明出来，那么就说明这个结论对于 k 等于任何数都成立。

类似的，我们设计动态规划算法，不是需要一个 dp 数组吗？我们可以假设 dp[0...i-1] 都已经被算出来了，然后问自己：怎么通过这些结果算出 dp[i]？

直接拿最长递增子序列这个问题举例你就明白了。不过，首先要定义清楚 dp 数组的含义，即 dp[i] 的值到底代表着什么？

我们的定义是这样的：dp[i] 表示以 nums[i] 这个数结尾的最长递增子序列的长度。

Info

为什么这样定义呢？这是解决子序列问题的一个套路，后文动态规划之子序列问题解题模板总结了几种常见套路。你读完本章所有的动态规划问题，就会发现 dp 数组的定义方法也就那几种。

根据这个定义，我们就可以推出 base case：dp[i] 初始值为 1，因为以 nums[i] 结尾的最长递增子序列起码要包含它自己。

举两个例子：

这个 GIF 展示了算法演进的过程：

根据这个定义，我们的最终结果（子序列的最大长度）应该是 dp 数组中的最大值。

java 复制代码

int res = 0;
for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
    res = Math.max(res, dp[i]);
}
return res;

读者也许会问，刚才的算法演进过程中每个 dp[i] 的结果是我们肉眼看出来的，我们应该怎么设计算法逻辑来正确计算每个 dp[i] 呢？

这就是动态规划的重头戏，如何设计算法逻辑进行状态转移，才能正确运行呢？这里需要使用数学归纳的思想：

假设我们已经知道了 dp[0..4] 的所有结果，我们如何通过这些已知结果推出 dp[5] 呢？

根据刚才我们对 dp 数组的定义，现在想求 dp[5] 的值，也就是想求以 nums[5] 为结尾的最长递增子序列。

nums[5] = 3，既然是递增子序列，我们只要找到前面那些结尾比 3 小的子序列，然后把 3 接到这些子序列末尾，就可以形成一个新的递增子序列，而且这个新的子序列长度加一。

nums[5] 前面有哪些元素小于 nums[5]？这个好算，用 for 循环比较一波就能把这些元素找出来。

以这些元素为结尾的最长递增子序列的长度是多少？回顾一下我们对 dp 数组的定义，它记录的正是以每个元素为末尾的最长递增子序列的长度。

以我们举的例子来说，nums[0] 和 nums[4] 都是小于 nums[5] 的，然后对比 dp[0] 和 dp[4] 的值，我们让 nums[5] 和更长的递增子序列结合，得出 dp[5] = 3：

java 复制代码

for (int j = 0; j < i; j++) {
    if (nums[i] > nums[j]) {
        dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
    }
}

当 i = 5 时，这段代码的逻辑就可以算出 dp[5]。其实到这里，这道算法题我们就基本做完了。

读者也许会问，我们刚才只是算了 dp[5] 呀，dp[4], dp[3] 这些怎么算呢？类似数学归纳法，你已经可以算出 dp[5] 了，其他的就都可以算出来：

java 复制代码

for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
    for (int j = 0; j < i; j++) {
        // 寻找 nums[0..j-1] 中比 nums[i] 小的元素
        if (nums[i] > nums[j]) {
            // 把 nums[i] 接在后面，即可形成长度为 dp[j] + 1，
            // 且以 nums[i] 为结尾的递增子序列
            dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
        }
    }
}

结合我们刚才说的 base case，下面我们看一下完整代码：

java 复制代码

int lengthOfLIS(int[] nums) {
    // 定义：dp[i] 表示以 nums[i] 这个数结尾的最长递增子序列的长度
    int[] dp = new int[nums.length];
    // base case：dp 数组全都初始化为 1
    Arrays.fill(dp, 1);
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (nums[i] > nums[j]) 
                dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
        }
    }
    
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
        res = Math.max(res, dp[i]);
    }
    return res;
}

至此，这道题就解决了，时间复杂度 O(N^2)。总结一下如何找到动态规划的状态转移关系：

1、明确 dp 数组的定义。这一步对于任何动态规划问题都很重要，如果不得当或者不够清晰，会阻碍之后的步骤。

2、根据 dp 数组的定义，运用数学归纳法的思想，假设 dp[0...i-1] 都已知，想办法求出 dp[i]，一旦这一步完成，整个题目基本就解决了。

但如果无法完成这一步，很可能就是 dp 数组的定义不够恰当，需要重新定义 dp 数组的含义；或者可能是 dp 数组存储的信息还不够，不足以推出下一步的答案，需要把 dp 数组扩大成二维数组甚至三维数组。

目前的解法是标准的动态规划，但对最长递增子序列问题来说，这个解法不是最优的，可能无法通过所有测试用例了，下面讲讲更高效的解法。

注：核心问题是 2 个：

dp 数组的定义：最好能直接对应问题，如最长递增子序列中 dp 数组表示以 nums[i] 结尾的最长的递增最序列；

dp 数组的推理：即知道 dp[0...i-1] 都已知，如何求出 dp[i]；

其中 dp 数组如何定义很重要！

二、拓展到二维

我们看一个经常出现在生活中的有趣问题，力扣第 354 题「俄罗斯套娃信封问题open in new window」，先看下题目：

这道题目其实是最长递增子序列的一个变种，因为每次合法的嵌套是大的套小的，相当于在二维平面中找一个最长递增的子序列，其长度就是最多能嵌套的信封个数。

前面说的标准 LIS 算法只能在一维数组中寻找最长子序列，而我们的信封是由 (w, h) 这样的二维数对形式表示的，如何把 LIS 算法运用过来呢？

读者也许会想，通过 w × h 计算面积，然后对面积进行标准的 LIS 算法。但是稍加思考就会发现这样不行，比如 1 × 10 大于 3 × 3，但是显然这样的两个信封是无法互相嵌套的。

这道题的解法比较巧妙：

先对宽度 w 进行升序排序，如果遇到 w 相同的情况，则按照高度 h 降序排序；之后把所有的 h 作为一个数组，在这个数组上计算 LIS 的长度就是答案。

画个图理解一下，先对这些数对进行排序：

然后在 h 上寻找最长递增子序列，这个子序列就是最优的嵌套方案：

那么为什么这样就可以找到可以互相嵌套的信封序列呢？稍微思考一下就明白了：

首先，对宽度 w 从小到大排序，确保了 w 这个维度可以互相嵌套，所以我们只需要专注高度 h 这个维度能够互相嵌套即可。

其次，两个 w 相同的信封不能相互包含，所以对于宽度 w 相同的信封，对高度 h 进行降序排序，保证二维 LIS 中不存在多个 w 相同的信封（因为题目说了长宽相同也无法嵌套）。

下面看解法代码：

java 复制代码

// envelopes = [[w, h], [w, h]...]
public int maxEnvelopes(int[][] envelopes) {
    int n = envelopes.length;
    // 按宽度升序排列，如果宽度一样，则按高度降序排列
    Arrays.sort(envelopes, new Comparator<int[]>() 
    {
        public int compare(int[] a, int[] b) {
            return a[0] == b[0] ? 
                b[1] - a[1] : a[0] - b[0];
        }
    });
    // 对高度数组寻找 LIS
    int[] height = new int[n];
    for (int i = 0; i < n; i++)
        height[i] = envelopes[i][1];

    return lengthOfLIS(height);
}

int lengthOfLIS(int[] nums) {
    // 见前文
}

为了清晰，我将代码分为了两个函数，你也可以合并，这样可以节省下 height 数组的空间。

此处放上 Leetcode 官方答案，个人觉着解释的更清晰一些：

根据题目的要求, 如果我们选择了 k k k 个信封, 它们的的宽度依次为 w 0 , w 1 , ⋯ , w k − 1 w_0, w_1, \cdots, w_{k-1} w0,w1,⋯,wk−1, 高度依次为
h 0 , h 1 , ⋯ , h k − 1 h_0, h_1, \cdots, h_{k-1} h0,h1,⋯,hk−1, 那么需要满足: { w 0 < w 1 < ⋯ < w k − 1 h 0 < h 1 < ⋯ < h k − 1 \left\{\begin{array}{l} w_0<w_1<\cdots<w_{k-1} \\ h_0<h_1<\cdots<h_{k-1} \end{array}\right. {w0<w1<⋯<wk−1h0<h1<⋯<hk−1

同时控制 w w w 和 h h h 两个维度并不是那么容易, 因此我们考虑固定一个维度, 再在另一个维度上进行选择。例如, 我们固定 w w w

维度, 那么我们将数组 envelopes 中的所有信封按照 w w w 升序排序。这样一来,

我们只要按照信封在数组中的出现顺序依次进行选取, 就一定保证满足: w 0 ≤ w 1 ≤ ⋯ ≤ w k − 1 w_0 \leq w_1 \leq \cdots \leq w_{k-1} w0≤w1≤⋯≤wk−1 了。然而小于等于 ≤ \leq ≤ 和小于 < < < 还是有区别的，但我们不妨首先考虑一个简化版本的问题:

如果我们保证所有信封的 w 值互不相同, 那么我们可以设计出一种得到答案的方法吗? 在 w w w 值互不相同的前提下，小于等于 ≤ \leq ≤

和小于 < < < 是等价的，那么我们在排序后，就可以完全忽略 w w w 维度, 只需要考虑 h h h 维度了。此时, 我们需要解决的问题即为:

给定一个序列, 我们需要找到一个最长的子序列, 使得这个子序列中的元素严格单调递增, 即上面要求的:
h 0 < h 1 < ⋯ < h k − 1 > h_0<h_1<\cdots<h_{k-1}> h0<h1<⋯<hk−1> 那么这个问题就是经典的「最长严格递增子序列」问题了, 读者可以参考力扣平台的 300 . 最长递增子序列及其官方题解。最长严格递增子序列的详细解决方法属于解决本题的前置知识点, 不是本文分析的重点, 因此这里不再赘述,会在方法一和方法二中简单提及。当我们解决了简化版本的问题之后, 我们来想一想使用上面的方法解决原问题, 会产生什么错误。当 w w w

值相同时，如果我们不规定 h h h 值的排序顺序，那么可能会有如下的情况：排完序的结果为 [ ( w , h ) ] = [ ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) ] [(w,h)]=[(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)] [(w,h)]=[(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)], 由于这些信封的 w w w 值都相同, 不存在一个信封可以装下另一个信封, 那么我们只能在其中选择 1 个信封。然而如果我们完全忽略 w w w 维度, 剩下的 h h h 维度为 [ 1 , 2 , 3 , 4 ] [1,2,3,4] [1,2,3,4],

这是一个严格递增的序列, 那么我们就可以选择所有的 4 个信封了, 这就产生了错误。因此，我们必须要保证对于每一种 w w w 值，我们最多只能选择 1 个信封。我们可以将 h h h 值作为排序的第二关键字进行降序排序, 这样一来, 对于每一种 w w w 值, 其对应的信封在排序后的数组中是按照 h h h 值递减的顺序出现的, 那么这些 h h h 值不可能组成长度超过 1 的严格递增的序列，这就从根本上杜绝了错误的出现。因此我们就可以得到解决本题需要的方法:

首先我们将所有的信封按照 w w w 值第一关键字升序、 h h h 值第二关键字降序进行排序;

随后我们就可以忽略 w w w 维度, 求出 h h h 维度的最长严格递增子序列, 其长度即为答案。下面简单提及两种计算最长严格递增子序列的方法, 更详细的请参考上文提到的题目以及对应的官方题解。

最后赋上个人题解：
python 复制代码
    def maxEnvelopes(self, envelopes):
        """
        :type envelopes: List[List[int]]
        :rtype: int
        """
        envelopes.sort(key = lambda x: (x[0], -x[1]))
        # heigth = [1] * len(envelopes)
        # for i in range(len(envelopes)):
        #     heigth[i] = envelopes[i][1]
        # return self.lcs(heigth)
        return self.lcsPro(envelopes)
    
    def lcs(self, heigth):
        if len(heigth) <= 1:
            return 1
        dp = [1] * len(heigth)
        for i in range(len(heigth)):
            for j in range(i):
                if heigth[i] > heigth[j]:
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
        return max(dp)


    def lcsPro(self, envelopes):
        if len(envelopes) <= 1:
            return 1
        dp = [1] * len(envelopes)
        for i in range(len(envelopes)):
            for j in range(i):
                if envelopes[i][1] > envelopes[j][1]:
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
        return max(dp) ```

三、参考文献

[1] 动态规划设计：最长递增子序列

[2] Leetcode 官方题解